Theorem pntibndlem1 25278

Description: Lemma for pntibnd 25282. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntibnd.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntibndlem1.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
pntibndlem1.l	⊢ 𝐿 = ((1 / 4) / (𝐴 + 3))

Assertion

Ref	Expression
pntibndlem1	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))

Proof of Theorem pntibndlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pntibndlem1.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = ((1 / 4) / (𝐴 + 3))
2		4nn 11187	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ
3		nnrp 11842	. . . . . 6 ⊢ (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
4		rpreccl 11857	. . . . . 6 ⊢ (4 ∈ ℝ+ → (1 / 4) ∈ ℝ+)
5	2, 3, 4	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (1 / 4) ∈ ℝ+
6		pntibndlem1.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
7		3nn 11186	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ
8		nnrp 11842	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ → 3 ∈ ℝ+)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ+
10		rpaddcl 11854	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 3) ∈ ℝ+)
11	6, 9, 10	sylancl 694	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 3) ∈ ℝ+)
12		rpdivcl 11856	. . . . 5 ⊢ (((1 / 4) ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 + 3) ∈ ℝ+) → ((1 / 4) / (𝐴 + 3)) ∈ ℝ+)
13	5, 11, 12	sylancr 695	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / 4) / (𝐴 + 3)) ∈ ℝ+)
14	1, 13	syl5eqel 2705	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ+)
15	14	rpred 11872	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
16	14	rpgt0d 11875	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐿)
17		rpcn 11841	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 4) ∈ ℝ+ → (1 / 4) ∈ ℂ)
18	5, 17	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (1 / 4) ∈ ℂ
19	18	div1i 10753	. . . . 5 ⊢ ((1 / 4) / 1) = (1 / 4)
20		rpre 11839	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 4) ∈ ℝ+ → (1 / 4) ∈ ℝ)
21	5, 20	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / 4) ∈ ℝ)
22		3re 11094	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ
23	22	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
24	11	rpred 11872	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 3) ∈ ℝ)
25		1lt4 11199	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 4
26		4re 11097	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ
27		4pos 11116	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 4
28		recgt1 10919	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4) → (1 < 4 ↔ (1 / 4) < 1))
29	26, 27, 28	mp2an 708	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 < 4 ↔ (1 / 4) < 1)
30	25, 29	mpbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 4) < 1
31		1lt3 11196	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 3
32	5, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 4) ∈ ℝ
33		1re 10039	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
34	32, 33, 22	lttri 10163	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 / 4) < 1 ∧ 1 < 3) → (1 / 4) < 3)
35	30, 31, 34	mp2an 708	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 4) < 3
36	35	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / 4) < 3)
37		ltaddrp 11867	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 3 < (3 + 𝐴))
38	22, 6, 37	sylancr 695	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 3 < (3 + 𝐴))
39		3cn 11095	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
40	6	rpcnd 11874	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
41		addcom 10222	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (3 + 𝐴) = (𝐴 + 3))
42	39, 40, 41	sylancr 695	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (3 + 𝐴) = (𝐴 + 3))
43	38, 42	breqtrd 4679	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 3 < (𝐴 + 3))
44	21, 23, 24, 36, 43	lttrd 10198	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / 4) < (𝐴 + 3))
45	19, 44	syl5eqbr 4688	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / 4) / 1) < (𝐴 + 3))
46	33	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
47		0lt1 10550	. . . . . 6 ⊢ 0 < 1
48	47	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
49	11	rpregt0d 11878	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 3) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 3)))
50		ltdiv23 10914	. . . . 5 ⊢ (((1 / 4) ∈ ℝ ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ ((𝐴 + 3) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 3))) → (((1 / 4) / 1) < (𝐴 + 3) ↔ ((1 / 4) / (𝐴 + 3)) < 1))
51	21, 46, 48, 49, 50	syl121anc 1331	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((1 / 4) / 1) < (𝐴 + 3) ↔ ((1 / 4) / (𝐴 + 3)) < 1))
52	45, 51	mpbid 222	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 / 4) / (𝐴 + 3)) < 1)
53	1, 52	syl5eqbr 4688	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 < 1)
54		0xr 10086	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
55	33	rexri 10097	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ*
56		elioo2 12216	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝐿 ∈ (0(,)1) ↔ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿 ∧ 𝐿 < 1)))
57	54, 55, 56	mp2an 708	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ (0(,)1) ↔ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿 ∧ 𝐿 < 1))
58	15, 16, 53, 57	syl3anbrc 1246	1 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074   − cmin 10266   / cdiv 10684  ℕcn 11020  3c3 11071  4c4 11072  ℝ⁺crp 11832  (,)cioo 12175  ψcchp 24819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-rp 11833  df-ioo 12179

This theorem is referenced by:  pntibndlem2a  25279  pntibndlem2  25280  pntibnd  25282