Theorem lttrd 10198

Description: Transitive law deduction for 'less than'. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lttrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
lttrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
lttrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem lttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lttrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		lttrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
3		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		lttr 10114	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1326	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 715	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653  ℝcr 9935   < clt 10074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079

This theorem is referenced by:  expgt1  12898  ltexp2a  12912  expcan  12913  ltexp2  12914  leexp2  12915  expnlbnd2  12995  expmulnbnd  12996  reccn2  14327  efgt1  14846  tanhlt1  14890  ruclem2  14961  isprm7  15420  pythagtriplem13  15532  fldivp1  15601  4sqlem12  15660  sylow1lem1  18013  telgsums  18390  chfacffsupp  20661  chfacfscmul0  20663  chfacfpmmul0  20667  nrginvrcnlem  22495  iccntr  22624  icccmplem2  22626  opnreen  22634  pjthlem1  23208  pmltpclem2  23218  ovollb2lem  23256  opnmbllem  23369  volivth  23375  lhop1lem  23776  dvcnvrelem1  23780  dvcvx  23783  ftc1lem4  23802  aaliou3lem7  24104  ulmdvlem1  24154  reeff1olem  24200  pilem2  24206  pilem3  24207  tangtx  24257  tanord1  24283  tanord  24284  rplogcl  24350  logimul  24360  logcnlem3  24390  efopnlem1  24402  cxplt  24440  cxple  24441  cxpcn3lem  24488  asinsin  24619  atanlogaddlem  24640  atanlogsublem  24642  cxp2limlem  24702  cxp2lim  24703  zetacvg  24741  lgamucov  24764  lgamcvg2  24781  ftalem1  24799  mersenne  24952  bposlem2  25010  bposlem6  25014  bposlem9  25017  lgsqrlem2  25072  lgsquadlem2  25106  chebbnd1lem2  25159  chebbnd1lem3  25160  chebbnd1  25161  chtppilimlem1  25162  chto1ub  25165  mulog2sumlem2  25224  chpdifbndlem1  25242  selberg3lem1  25246  pntrlog2bndlem2  25267  pntrlog2bndlem4  25269  pntpbnd1a  25274  pntpbnd1  25275  pntpbnd2  25276  pntibndlem1  25278  pntibndlem2  25280  pntibndlem3  25281  pntibnd  25282  pntlemb  25286  pntlemr  25291  pntlemf  25294  pnt  25303  ostth2lem1  25307  ostth2lem3  25324  ostth2lem4  25325  wwlksext2clwwlk  26924  frgrogt3nreg  27255  friendshipgt3  27256  pjhthlem1  28250  psgnfzto1stlem  29850  1smat1  29870  sqsscirc1  29954  xrge0iifiso  29981  sgnsub  30606  signslema  30639  chtvalz  30707  hgt750lemd  30726  knoppndvlem12  32514  knoppndvlem14  32516  knoppndvlem15  32517  knoppndvlem17  32519  knoppndvlem20  32522  poimirlem6  33415  poimirlem7  33416  poimirlem8  33417  poimirlem15  33424  poimirlem20  33429  poimirlem28  33437  opnmbllem0  33445  itg2gt0cn  33465  ftc1cnnclem  33483  ftc1anc  33493  cntotbnd  33595  pellexlem5  37397  pellfundex  37450  pellfundrp  37452  rmspecfund  37474  monotuz  37506  jm3.1lem2  37585  jm3.1lem3  37586  imo72b2  38475  prmunb2  38510  neglt  39496  ltadd12dd  39559  infleinflem2  39587  sqrlearg  39780  lptre2pt  39872  0ellimcdiv  39881  limsup10exlem  40004  ioodvbdlimc1lem1  40146  iblspltprt  40189  itgspltprt  40195  stoweidlem7  40224  stoweidlem11  40228  stoweidlem13  40230  stoweidlem14  40231  stoweidlem26  40243  stoweidlem42  40259  stoweidlem52  40269  stoweidlem59  40276  stoweidlem60  40277  stoweidlem62  40279  wallispilem4  40285  wallispi  40287  stirlinglem1  40291  stirlinglem3  40293  stirlinglem6  40296  stirlinglem7  40297  stirlinglem10  40300  stirlinglem11  40301  dirkercncflem1  40320  dirkercncflem2  40321  fourierdlem10  40334  fourierdlem11  40335  fourierdlem12  40336  fourierdlem42  40366  fourierdlem47  40370  fourierdlem50  40373  fourierdlem51  40374  fourierdlem73  40396  fourierdlem79  40402  fourierdlem83  40406  fourierdlem103  40426  fourierdlem104  40427  sqwvfoura  40445  sqwvfourb  40446  fouriersw  40448  hoidmvlelem1  40809  hoiqssbllem2  40837  hspmbllem1  40840  pimrecltpos  40919  pimrecltneg  40933  smfaddlem1  40971  smflimlem3  40981  smflimlem4  40982  smfmullem1  40998