Theorem prdsmet 22175

Description: The product metric is a metric when the index set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsmet.y	|- Y = ( S X_s ( x e. I |-> R ) )
prdsmet.b	|- B = ( Base ` Y )
prdsmet.v	|- V = ( Base ` R )
prdsmet.e	|- E = ( ( dist ` R ) |` ( V X. V ) )
prdsmet.d	|- D = ( dist ` Y )
prdsmet.s	|- ( ph -> S e. W )
prdsmet.i	|- ( ph -> I e. Fin )
prdsmet.r	|- ( ( ph /\ x e. I ) -> R e. Z )
prdsmet.m	|- ( ( ph /\ x e. I ) -> E e. ( Met ` V ) )

Assertion

Ref	Expression
prdsmet	|- ( ph -> D e. ( Met ` B ) )

Distinct variable groups:   x, I   ph, x

Allowed substitution hints:   B( x)   D( x)   R( x)   S( x)   E( x)   V( x)   W( x)   Y( x)   Z( x)

Proof of Theorem prdsmet

Dummy variables f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsmet.y	. . 3 |- Y = ( S X_s ( x e. I |-> R ) )
2		prdsmet.b	. . 3 |- B = ( Base ` Y )
3		prdsmet.v	. . 3 |- V = ( Base ` R )
4		prdsmet.e	. . 3 |- E = ( ( dist ` R ) |` ( V X. V ) )
5		prdsmet.d	. . 3 |- D = ( dist ` Y )
6		prdsmet.s	. . 3 |- ( ph -> S e. W )
7		prdsmet.i	. . 3 |- ( ph -> I e. Fin )
8		prdsmet.r	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> R e. Z )
9		prdsmet.m	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> E e. ( Met ` V ) )
10		metxmet 22139	. . . 4 |- ( E e. ( Met ` V ) -> E e. ( *Met ` V ) )
11	9, 10	syl 17	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> E e. ( *Met ` V ) )
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11	prdsxmet 22174	. 2 |- ( ph -> D e. ( *Met ` B ) )
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11	prdsdsf 22172	. . . 4 |- ( ph -> D : ( B X. B ) --> ( 0 [,] +oo ) )
14		ffn 6045	. . . 4 |- ( D : ( B X. B ) --> ( 0 [,] +oo ) -> D Fn ( B X. B ) )
15	13, 14	syl 17	. . 3 |- ( ph -> D Fn ( B X. B ) )
16	6	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> S e. W )
17	7	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> I e. Fin )
18	8	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. I R e. Z )
19	18	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> A. x e. I R e. Z )
20		simprl 794	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> f e. B )
21		simprr 796	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> g e. B )
22	1, 2, 16, 17, 19, 20, 21, 3, 4, 5	prdsdsval3 16145	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( f D g ) = sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
23	1, 2, 16, 17, 19, 3, 20	prdsbascl 16143	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> A. x e. I ( f ` x ) e. V )
24	1, 2, 16, 17, 19, 3, 21	prdsbascl 16143	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> A. x e. I ( g ` x ) e. V )
25		r19.26 3064	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. I ( ( f ` x ) e. V /\ ( g ` x ) e. V ) <-> ( A. x e. I ( f ` x ) e. V /\ A. x e. I ( g ` x ) e. V ) )
26		metcl 22137	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( E e. ( Met ` V ) /\ ( f ` x ) e. V /\ ( g ` x ) e. V ) -> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR )
27	26	3expib 1268	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E e. ( Met ` V ) -> ( ( ( f ` x ) e. V /\ ( g ` x ) e. V ) -> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR ) )
28	9, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( ( ( f ` x ) e. V /\ ( g ` x ) e. V ) -> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR ) )
29	28	ralimdva 2962	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A. x e. I ( ( f ` x ) e. V /\ ( g ` x ) e. V ) -> A. x e. I ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR ) )
30	29	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( A. x e. I ( ( f ` x ) e. V /\ ( g ` x ) e. V ) -> A. x e. I ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR ) )
31	25, 30	syl5bir 233	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( ( A. x e. I ( f ` x ) e. V /\ A. x e. I ( g ` x ) e. V ) -> A. x e. I ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR ) )
32	23, 24, 31	mp2and 715	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> A. x e. I ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR )
33		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) = ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) )
34	33	fmpt 6381	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. I ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR <-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) : I --> RR )
35	32, 34	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) : I --> RR )
36		frn 6053	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) : I --> RR -> ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) C_ RR )
37	35, 36	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) C_ RR )
38		0red 10041	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> 0 e. RR )
39	38	snssd 4340	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> { 0 } C_ RR )
40	37, 39	unssd 3789	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR )
41		xrltso 11974	. . . . . . . 8 |- < Or RR*
42	41	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> < Or RR* )
43		mptfi 8265	. . . . . . . . 9 |- ( I e. Fin -> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) e. Fin )
44		rnfi 8249	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) e. Fin -> ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) e. Fin )
45	17, 43, 44	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) e. Fin )
46		snfi 8038	. . . . . . . 8 |- { 0 } e. Fin
47		unfi 8227	. . . . . . . 8 |- ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) e. Fin /\ { 0 } e. Fin ) -> ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) e. Fin )
48	45, 46, 47	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) e. Fin )
49		ssun2 3777	. . . . . . . . 9 |- { 0 } C_ ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } )
50		c0ex 10034	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. _V
51	50	snss 4316	. . . . . . . . 9 |- ( 0 e. ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) <-> { 0 } C_ ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) )
52	49, 51	mpbir 221	. . . . . . . 8 |- 0 e. ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } )
53		ne0i 3921	. . . . . . . 8 |- ( 0 e. ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) -> ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) =/= (/) )
54	52, 53	mp1i 13	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) =/= (/) )
55		ressxr 10083	. . . . . . . 8 |- RR C_ RR*
56	40, 55	syl6ss 3615	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR* )
57		fisupcl 8375	. . . . . . 7 |- ( ( < Or RR* /\ ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) e. Fin /\ ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) =/= (/) /\ ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR* ) ) -> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) e. ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) )
58	42, 48, 54, 56, 57	syl13anc 1328	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) e. ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) )
59	40, 58	sseldd 3604	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) e. RR )
60	22, 59	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( f D g ) e. RR )
61	60	ralrimivva 2971	. . 3 |- ( ph -> A. f e. B A. g e. B ( f D g ) e. RR )
62		ffnov 6764	. . 3 |- ( D : ( B X. B ) --> RR <-> ( D Fn ( B X. B ) /\ A. f e. B A. g e. B ( f D g ) e. RR ) )
63	15, 61, 62	sylanbrc 698	. 2 |- ( ph -> D : ( B X. B ) --> RR )
64		ismet2 22138	. 2 |- ( D e. ( Met ` B ) <-> ( D e. ( *Met ` B ) /\ D : ( B X. B ) --> RR ) )
65	12, 63, 64	sylanbrc 698	1 |- ( ph -> D e. ( Met ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   |-> cmpt 4729   Or wor 5034   X. cxp 5112   ran crn 5115   |` cres 5116   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   supcsup 8346   RRcr 9935   0cc0 9936   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   [,]cicc 12178   Basecbs 15857   distcds 15950   X__scprds 16106   *Metcxmt 19731   Metcme 19732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-icc 12182  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-prds 16108  df-xmet 19739  df-met 19740

This theorem is referenced by:  xpsmet  22187  prdsmslem1  22332  prdsbnd  33592  prdstotbnd  33593  prdsbnd2  33594  repwsmet  33633