Theorem pwssub 17529

Description: Subtraction in a group power. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsgrp.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsinvg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwssub.m	⊢ 𝑀 = (-g‘𝑅)
pwssub.n	⊢ − = (-g‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
pwssub	⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → (𝐹 − 𝐺) = (𝐹 ∘𝑓 𝑀𝐺))

Proof of Theorem pwssub

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 792	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → 𝐼 ∈ 𝑉)
2		pwsgrp.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
3		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		pwsinvg.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
5		simpll 790	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Grp)
6		simprl 794	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → 𝐹 ∈ 𝐵)
7	2, 3, 4, 5, 1, 6	pwselbas 16149	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → 𝐹:𝐼⟶(Base‘𝑅))
8	7	ffvelrnda 6359	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
9		fvexd 6203	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((invg‘𝑅)‘(𝐺‘𝑥)) ∈ V)
10	7	feqmptd 6249	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹‘𝑥)))
11		simprr 796	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ 𝐵)
12		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
13		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘𝑌) = (invg‘𝑌)
14	2, 4, 12, 13	pwsinvg 17528	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑌)‘𝐺) = ((invg‘𝑅) ∘ 𝐺))
15	5, 1, 11, 14	syl3anc 1326	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝑌)‘𝐺) = ((invg‘𝑅) ∘ 𝐺))
16	2, 3, 4, 5, 1, 11	pwselbas 16149	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → 𝐺:𝐼⟶(Base‘𝑅))
17	16	ffvelrnda 6359	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
18	16	feqmptd 6249	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐺‘𝑥)))
19	3, 12	grpinvf 17466	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (invg‘𝑅):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
20	19	ad2antrr 762	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → (invg‘𝑅):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
21	20	feqmptd 6249	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → (invg‘𝑅) = (𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝑦)))
22		fveq2 6191	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐺‘𝑥) → ((invg‘𝑅)‘𝑦) = ((invg‘𝑅)‘(𝐺‘𝑥)))
23	17, 18, 21, 22	fmptco 6396	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝑅) ∘ 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘𝑅)‘(𝐺‘𝑥))))
24	15, 23	eqtrd 2656	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝑌)‘𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘𝑅)‘(𝐺‘𝑥))))
25	1, 8, 9, 10, 24	offval2 6914	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → (𝐹 ∘𝑓 (+g‘𝑅)((invg‘𝑌)‘𝐺)) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝐺‘𝑥)))))
26	2	pwsgrp 17527	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ Grp)
27	26	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ Grp)
28	4, 13	grpinvcl 17467	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑌)‘𝐺) ∈ 𝐵)
29	27, 11, 28	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝑌)‘𝐺) ∈ 𝐵)
30		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
31		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑌) = (+g‘𝑌)
32	2, 4, 5, 1, 6, 29, 30, 31	pwsplusgval 16150	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → (𝐹(+g‘𝑌)((invg‘𝑌)‘𝐺)) = (𝐹 ∘𝑓 (+g‘𝑅)((invg‘𝑌)‘𝐺)))
33		pwssub.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (-g‘𝑅)
34	3, 30, 12, 33	grpsubval 17465	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐹‘𝑥)𝑀(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝐺‘𝑥))))
35	8, 17, 34	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑥)𝑀(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝐺‘𝑥))))
36	35	mpteq2dva 4744	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝑀(𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝐺‘𝑥)))))
37	25, 32, 36	3eqtr4d 2666	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → (𝐹(+g‘𝑌)((invg‘𝑌)‘𝐺)) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝑀(𝐺‘𝑥))))
38		pwssub.n	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑌)
39	4, 31, 13, 38	grpsubval 17465	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 − 𝐺) = (𝐹(+g‘𝑌)((invg‘𝑌)‘𝐺)))
40	39	adantl 482	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → (𝐹 − 𝐺) = (𝐹(+g‘𝑌)((invg‘𝑌)‘𝐺)))
41	1, 8, 17, 10, 18	offval2 6914	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → (𝐹 ∘𝑓 𝑀𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝑀(𝐺‘𝑥))))
42	37, 40, 41	3eqtr4d 2666	1 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → (𝐹 − 𝐺) = (𝐹 ∘𝑓 𝑀𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200   ↦ cmpt 4729   ∘ ccom 5118  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ∘_𝑓 cof 6895  Basecbs 15857  +_gcplusg 15941   ↑_s cpws 16107  Grpcgrp 17422  inv_gcminusg 17423  -_gcsg 17424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427

This theorem is referenced by:  evl1subd  19706  frlmsubgval  20108