Theorem re2ndc 22604

Description: The standard topology on the reals is second-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
re2ndc	⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ 2nd𝜔

Proof of Theorem re2ndc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . 3 ⊢ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
2	1	tgqioo 22603	. 2 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
3		qtopbas 22563	. . 3 ⊢ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases
4		omelon 8543	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ On
5		qnnen 14942	. . . . . . . . 9 ⊢ ℚ ≈ ℕ
6		xpen 8123	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℚ ≈ ℕ ∧ ℚ ≈ ℕ) → (ℚ × ℚ) ≈ (ℕ × ℕ))
7	5, 5, 6	mp2an 708	. . . . . . . 8 ⊢ (ℚ × ℚ) ≈ (ℕ × ℕ)
8		xpnnen 14939	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ × ℕ) ≈ ℕ
9	7, 8	entri 8010	. . . . . . 7 ⊢ (ℚ × ℚ) ≈ ℕ
10		nnenom 12779	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ≈ ω
11	9, 10	entr2i 8011	. . . . . 6 ⊢ ω ≈ (ℚ × ℚ)
12		isnumi 8772	. . . . . 6 ⊢ ((ω ∈ On ∧ ω ≈ (ℚ × ℚ)) → (ℚ × ℚ) ∈ dom card)
13	4, 11, 12	mp2an 708	. . . . 5 ⊢ (ℚ × ℚ) ∈ dom card
14		ioof 12271	. . . . . . 7 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
15		ffun 6048	. . . . . . 7 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → Fun (,))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ Fun (,)
17		qssre 11798	. . . . . . . . 9 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
18		ressxr 10083	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
19	17, 18	sstri 3612	. . . . . . . 8 ⊢ ℚ ⊆ ℝ*
20		xpss12 5225	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℚ ⊆ ℝ* ∧ ℚ ⊆ ℝ*) → (ℚ × ℚ) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
21	19, 19, 20	mp2an 708	. . . . . . 7 ⊢ (ℚ × ℚ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
22	14	fdmi 6052	. . . . . . 7 ⊢ dom (,) = (ℝ* × ℝ*)
23	21, 22	sseqtr4i 3638	. . . . . 6 ⊢ (ℚ × ℚ) ⊆ dom (,)
24		fores 6124	. . . . . 6 ⊢ ((Fun (,) ∧ (ℚ × ℚ) ⊆ dom (,)) → ((,) ↾ (ℚ × ℚ)):(ℚ × ℚ)–onto→((,) “ (ℚ × ℚ)))
25	16, 23, 24	mp2an 708	. . . . 5 ⊢ ((,) ↾ (ℚ × ℚ)):(ℚ × ℚ)–onto→((,) “ (ℚ × ℚ))
26		fodomnum 8880	. . . . 5 ⊢ ((ℚ × ℚ) ∈ dom card → (((,) ↾ (ℚ × ℚ)):(ℚ × ℚ)–onto→((,) “ (ℚ × ℚ)) → ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ (ℚ × ℚ)))
27	13, 25, 26	mp2 9	. . . 4 ⊢ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ (ℚ × ℚ)
28	9, 10	entri 8010	. . . 4 ⊢ (ℚ × ℚ) ≈ ω
29		domentr 8015	. . . 4 ⊢ ((((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ (ℚ × ℚ) ∧ (ℚ × ℚ) ≈ ω) → ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ ω)
30	27, 28, 29	mp2an 708	. . 3 ⊢ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ ω
31		2ndci 21251	. . 3 ⊢ ((((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases ∧ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ ω) → (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ∈ 2nd𝜔)
32	3, 30, 31	mp2an 708	. 2 ⊢ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ∈ 2nd𝜔
33	2, 32	eqeltri 2697	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ 2nd𝜔

Syntax hints:   ∈ wcel 1990   ⊆ wss 3574  𝒫 cpw 4158   class class class wbr 4653   × cxp 5112  dom cdm 5114  ran crn 5115   ↾ cres 5116   “ cima 5117  Oncon0 5723  Fun wfun 5882  ⟶wf 5884  –onto→wfo 5886  ‘cfv 5888  ωcom 7065   ≈ cen 7952   ≼ cdom 7953  cardccrd 8761  ℝcr 9935  ℝ^*cxr 10073  ℕcn 11020  ℚcq 11788  (,)cioo 12175  topGenctg 16098  TopBasesctb 20749  2^nd𝜔c2ndc 21241

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-ioo 12179  df-topgen 16104  df-bases 20750  df-2ndc 21243

This theorem is referenced by: (None)