Theorem rlimcnp 24692

Description: Relate a limit of a real-valued sequence at infinity to the continuity of the function 𝑆(𝑦) = 𝑅(1 / 𝑦) at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimcnp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (0[,)+∞))
rlimcnp.0	⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐴)
rlimcnp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ+)
rlimcnp.r	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑅 ∈ ℂ)
rlimcnp.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (1 / 𝑥) ∈ 𝐵))
rlimcnp.c	⊢ (𝑥 = 0 → 𝑅 = 𝐶)
rlimcnp.s	⊢ (𝑥 = (1 / 𝑦) → 𝑅 = 𝑆)
rlimcnp.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
rlimcnp.k	⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
rlimcnp	⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘0)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑦,𝑅   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem rlimcnp

Dummy variables 𝑤 𝑟 𝑧 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpreccl 11857	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑟) ∈ ℝ+)
2	1	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑟) ∈ ℝ+)
3		rpreccl 11857	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑡) ∈ ℝ+)
4	3	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑡) ∈ ℝ+)
5		rpcnne0 11850	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0))
6	5	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0))
7		recrec 10722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0) → (1 / (1 / 𝑡)) = 𝑡)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (1 / (1 / 𝑡)) = 𝑡)
9	8	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑡 = (1 / (1 / 𝑡)))
10		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = (1 / 𝑡) → (1 / 𝑟) = (1 / (1 / 𝑡)))
11	10	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = (1 / 𝑡) → (𝑡 = (1 / 𝑟) ↔ 𝑡 = (1 / (1 / 𝑡))))
12	11	rspcev 3309	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 𝑡) ∈ ℝ+ ∧ 𝑡 = (1 / (1 / 𝑡))) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑡 = (1 / 𝑟))
13	4, 9, 12	syl2anc 693	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑡 = (1 / 𝑟))
14		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = (1 / 𝑟)) → 𝑡 = (1 / 𝑟))
15	14	breq1d 4663	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = (1 / 𝑟)) → (𝑡 < 𝑦 ↔ (1 / 𝑟) < 𝑦))
16	15	imbi1d 331	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = (1 / 𝑟)) → ((𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ((1 / 𝑟) < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧)))
17	16	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = (1 / 𝑟)) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((1 / 𝑟) < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧)))
18	2, 13, 17	rexxfrd 4881	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((1 / 𝑟) < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧)))
19	18	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((1 / 𝑟) < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧)))
20		simplr 792	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑟 ∈ ℝ+)
21		rlimcnp.b	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ+)
22	21	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ+)
23	22	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ+)
24		elrp 11834	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ ↔ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑟))
25		elrp 11834	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑦))
26		ltrec1 10910	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑟 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑦)) → ((1 / 𝑟) < 𝑦 ↔ (1 / 𝑦) < 𝑟))
27	24, 25, 26	syl2anb 496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((1 / 𝑟) < 𝑦 ↔ (1 / 𝑦) < 𝑟))
28	20, 23, 27	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((1 / 𝑟) < 𝑦 ↔ (1 / 𝑦) < 𝑟))
29	28	imbi1d 331	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (((1 / 𝑟) < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ((1 / 𝑦) < 𝑟 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧)))
30	29	ralbidva 2985	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ((1 / 𝑟) < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((1 / 𝑦) < 𝑟 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧)))
31	30	adantlr 751	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ((1 / 𝑟) < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((1 / 𝑦) < 𝑟 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧)))
32		rpcn 11841	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ∈ ℂ)
33		rpne0 11848	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ≠ 0)
34	32, 33	recrecd 10798	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (1 / (1 / 𝑦)) = 𝑦)
35	22, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (1 / (1 / 𝑦)) = 𝑦)
36		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
37	35, 36	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (1 / (1 / 𝑦)) ∈ 𝐵)
38		rpreccl 11857	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑦) ∈ ℝ+)
39	22, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ+)
40		rlimcnp.d	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (1 / 𝑥) ∈ 𝐵))
41	40	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (1 / 𝑥) ∈ 𝐵))
42	41	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (1 / 𝑥) ∈ 𝐵))
43		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = (1 / 𝑦) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (1 / 𝑦) ∈ 𝐴))
44		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = (1 / 𝑦) → (1 / 𝑥) = (1 / (1 / 𝑦)))
45	44	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = (1 / 𝑦) → ((1 / 𝑥) ∈ 𝐵 ↔ (1 / (1 / 𝑦)) ∈ 𝐵))
46	43, 45	bibi12d 335	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = (1 / 𝑦) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (1 / 𝑥) ∈ 𝐵) ↔ ((1 / 𝑦) ∈ 𝐴 ↔ (1 / (1 / 𝑦)) ∈ 𝐵)))
47	46	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 / 𝑦) ∈ ℝ+ → (∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (1 / 𝑥) ∈ 𝐵) → ((1 / 𝑦) ∈ 𝐴 ↔ (1 / (1 / 𝑦)) ∈ 𝐵)))
48	39, 42, 47	sylc 65	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((1 / 𝑦) ∈ 𝐴 ↔ (1 / (1 / 𝑦)) ∈ 𝐵))
49	37, 48	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (1 / 𝑦) ∈ 𝐴)
50	39	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (1 / 𝑦) ≠ 0)
51		eldifsn 4317	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 / 𝑦) ∈ (𝐴 ∖ {0}) ↔ ((1 / 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ (1 / 𝑦) ≠ 0))
52	49, 50, 51	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (1 / 𝑦) ∈ (𝐴 ∖ {0}))
53		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0}) → 𝑥 ∈ 𝐴)
54	53	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})) → 𝑥 ∈ 𝐴)
55		rge0ssre 12280	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
56		rlimcnp.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (0[,)+∞))
57	56	ssdifssd 3748	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ {0}) ⊆ (0[,)+∞))
58	57	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})) → 𝑥 ∈ (0[,)+∞))
59	55, 58	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})) → 𝑥 ∈ ℝ)
60		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 ∈ ℝ
61		pnfxr 10092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
62		elico2 12237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞)))
63	60, 61, 62	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))
64	63	simp2bi 1077	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ 𝑥)
65	58, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})) → 0 ≤ 𝑥)
66		eldifsni 4320	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0}) → 𝑥 ≠ 0)
67	66	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})) → 𝑥 ≠ 0)
68	59, 65, 67	ne0gt0d 10174	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})) → 0 < 𝑥)
69	59, 68	elrpd 11869	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})) → 𝑥 ∈ ℝ+)
70	69, 40	syldan 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (1 / 𝑥) ∈ 𝐵))
71	54, 70	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})) → (1 / 𝑥) ∈ 𝐵)
72		rpcn 11841	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℂ)
73		rpne0 11848	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ≠ 0)
74	72, 73	recrecd 10798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (1 / (1 / 𝑥)) = 𝑥)
75	69, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})) → (1 / (1 / 𝑥)) = 𝑥)
76	75	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})) → 𝑥 = (1 / (1 / 𝑥)))
77		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = (1 / 𝑥) → (1 / 𝑦) = (1 / (1 / 𝑥)))
78	77	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (1 / 𝑥) → (𝑥 = (1 / 𝑦) ↔ 𝑥 = (1 / (1 / 𝑥))))
79	78	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 / 𝑥) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = (1 / (1 / 𝑥))) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (1 / 𝑦))
80	71, 76, 79	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (1 / 𝑦))
81		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (1 / 𝑦) → (𝑥 < 𝑟 ↔ (1 / 𝑦) < 𝑟))
82		rlimcnp.s	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = (1 / 𝑦) → 𝑅 = 𝑆)
83	82	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = (1 / 𝑦) → (𝑅 − 𝐶) = (𝑆 − 𝐶))
84	83	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (1 / 𝑦) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) = (abs‘(𝑆 − 𝐶)))
85	84	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (1 / 𝑦) → ((abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧))
86	81, 85	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (1 / 𝑦) → ((𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ((1 / 𝑦) < 𝑟 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧)))
87	86	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (1 / 𝑦)) → ((𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ((1 / 𝑦) < 𝑟 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧)))
88	52, 80, 87	ralxfrd 4879	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})(𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((1 / 𝑦) < 𝑟 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧)))
89	88	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})(𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((1 / 𝑦) < 𝑟 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧)))
90	31, 89	bitr4d 271	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ((1 / 𝑟) < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})(𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧)))
91		elsni 4194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ {0} → 𝑥 = 0)
92	91	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ {0}) → 𝑥 = 0)
93		rlimcnp.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 0 → 𝑅 = 𝐶)
94	92, 93	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ {0}) → 𝑅 = 𝐶)
95	94	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ {0}) → (𝑅 − 𝐶) = (𝐶 − 𝐶))
96		rlimcnp.0	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐴)
97		rlimcnp.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑅 ∈ ℂ)
98	97	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ∈ ℂ)
99	93	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑅 ∈ ℂ ↔ 𝐶 ∈ ℂ))
100	99	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (0 ∈ 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ∈ ℂ → 𝐶 ∈ ℂ))
101	96, 98, 100	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
102	101	subidd 10380	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐶) = 0)
103	102	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ {0}) → (𝐶 − 𝐶) = 0)
104	95, 103	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ {0}) → (𝑅 − 𝐶) = 0)
105	104	abs00bd 14031	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ {0}) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) = 0)
106		rpgt0 11844	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑧)
107	106	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ {0}) → 0 < 𝑧)
108	105, 107	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ {0}) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧)
109	108	a1d 25	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ {0}) → (𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧))
110	109	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ∀𝑥 ∈ {0} (𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧))
111	110	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∀𝑥 ∈ {0} (𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧))
112	111	biantrud 528	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})(𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ (∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})(𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧) ∧ ∀𝑥 ∈ {0} (𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧))))
113		ralunb 3794	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ ((𝐴 ∖ {0}) ∪ {0})(𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ (∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})(𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧) ∧ ∀𝑥 ∈ {0} (𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧)))
114	112, 113	syl6bbr 278	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})(𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝐴 ∖ {0}) ∪ {0})(𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧)))
115		undif1 4043	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∖ {0}) ∪ {0}) = (𝐴 ∪ {0})
116	96	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 0 ∈ 𝐴)
117	116	snssd 4340	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → {0} ⊆ 𝐴)
118		ssequn2 3786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({0} ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∪ {0}) = 𝐴)
119	117, 118	sylib 208	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝐴 ∪ {0}) = 𝐴)
120	115, 119	syl5eq 2668	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝐴 ∖ {0}) ∪ {0}) = 𝐴)
121	120	raleqdv 3144	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑥 ∈ ((𝐴 ∖ {0}) ∪ {0})(𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧)))
122	90, 114, 121	3bitrd 294	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ((1 / 𝑟) < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧)))
123	122	rexbidva 3049	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((1 / 𝑟) < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧)))
124	19, 123	bitrd 268	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧)))
125	124	ralbidva 2985	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧)))
126		nfv 1843	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑤((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟
127		nffvmpt1 6199	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑤)
128		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥(abs ∘ − )
129		nffvmpt1 6199	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)
130	127, 128, 129	nfov 6676	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑤)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0))
131		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥 <
132		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
133	130, 131, 132	nfbr 4699	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥(((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑤)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) < 𝑧
134	126, 133	nfim 1825	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑤((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑤)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) < 𝑧)
135		nfv 1843	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑤((𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) < 𝑧)
136		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) = (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0))
137	136	breq1d 4663	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((𝑤((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 ↔ (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟))
138		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑤) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑥))
139	138	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑤)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) = (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)))
140	139	breq1d 4663	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑤)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) < 𝑧 ↔ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) < 𝑧))
141	137, 140	imbi12d 334	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (((𝑤((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑤)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) < 𝑧) ↔ ((𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) < 𝑧)))
142	134, 135, 141	cbvral 3167	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑤)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) < 𝑧) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) < 𝑧))
143		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
144	96	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ∈ 𝐴)
145	143, 144	ovresd 6801	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) = (𝑥(abs ∘ − )0))
146	56, 55	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
147		ax-resscn 9993	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
148	146, 147	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
149	148	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
150		0cnd 10033	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ∈ ℂ)
151		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
152	151	cnmetdval 22574	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑥 − 0)))
153	149, 150, 152	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑥 − 0)))
154	149	subid1d 10381	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 − 0) = 𝑥)
155	154	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘𝑥))
156	145, 153, 155	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) = (abs‘𝑥))
157	146	sselda 3603	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
158	56	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (0[,)+∞))
159	158, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝑥)
160	157, 159	absidd 14161	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘𝑥) = 𝑥)
161	156, 160	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) = 𝑥)
162	161	breq1d 4663	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 ↔ 𝑥 < 𝑟))
163		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)
164	163	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑥) = 𝑅)
165	143, 97, 164	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑥) = 𝑅)
166	101	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
167	93, 163	fvmptg 6280	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0) = 𝐶)
168	144, 166, 167	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0) = 𝐶)
169	165, 168	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) = (𝑅(abs ∘ − )𝐶))
170	151	cnmetdval 22574	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝑅(abs ∘ − )𝐶) = (abs‘(𝑅 − 𝐶)))
171	97, 166, 170	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑅(abs ∘ − )𝐶) = (abs‘(𝑅 − 𝐶)))
172	169, 171	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) = (abs‘(𝑅 − 𝐶)))
173	172	breq1d 4663	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧))
174	162, 173	imbi12d 334	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) < 𝑧) ↔ (𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧)))
175	174	ralbidva 2985	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) < 𝑧) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧)))
176	142, 175	syl5bb 272	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑤)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) < 𝑧) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧)))
177	176	rexbidv 3052	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑤)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) < 𝑧) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧)))
178	177	ralbidv 2986	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑤)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) < 𝑧) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧)))
179	97, 163	fmptd 6385	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅):𝐴⟶ℂ)
180	179	biantrurd 529	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑤)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) < 𝑧) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅):𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑤)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) < 𝑧))))
181	125, 178, 180	3bitr2d 296	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅):𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑤)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) < 𝑧))))
182	98	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ∈ ℂ)
183	82	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (1 / 𝑦) → (𝑅 ∈ ℂ ↔ 𝑆 ∈ ℂ))
184	183	rspcv 3305	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 𝑦) ∈ 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ∈ ℂ → 𝑆 ∈ ℂ))
185	49, 182, 184	sylc 65	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑆 ∈ ℂ)
186	185	ralrimiva 2966	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑆 ∈ ℂ)
187		rpssre 11843	. . . . . . 7 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
188	21, 187	syl6ss 3615	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
189		1red 10055	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
190	186, 188, 101, 189	rlim3 14229	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑡 ∈ (1[,)+∞)∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧)))
191		0xr 10086	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ*
192		0lt1 10550	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 1
193		df-ioo 12179	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
194		df-ico 12181	. . . . . . . . . . 11 ⊢ [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
195		xrltletr 11988	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑤) → 0 < 𝑤))
196	193, 194, 195	ixxss1 12193	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 0 < 1) → (1[,)+∞) ⊆ (0(,)+∞))
197	191, 192, 196	mp2an 708	. . . . . . . . 9 ⊢ (1[,)+∞) ⊆ (0(,)+∞)
198		ioorp 12251	. . . . . . . . 9 ⊢ (0(,)+∞) = ℝ+
199	197, 198	sseqtri 3637	. . . . . . . 8 ⊢ (1[,)+∞) ⊆ ℝ+
200		ssrexv 3667	. . . . . . . 8 ⊢ ((1[,)+∞) ⊆ ℝ+ → (∃𝑡 ∈ (1[,)+∞)∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) → ∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧)))
201	199, 200	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑡 ∈ (1[,)+∞)∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) → ∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧))
202		simplr 792	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑡 ∈ ℝ+)
203	187, 202	sseldi 3601	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑡 ∈ ℝ)
204	188	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝐵 ⊆ ℝ)
205	204	sselda 3603	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ)
206		ltle 10126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑡 < 𝑦 → 𝑡 ≤ 𝑦))
207	203, 205, 206	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑡 < 𝑦 → 𝑡 ≤ 𝑦))
208	207	imim1d 82	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑡 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) → (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧)))
209	208	ralimdva 2962	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧)))
210	209	reximdva 3017	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) → ∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧)))
211	201, 210	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ (1[,)+∞)∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) → ∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧)))
212	211	ralimdv 2963	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑡 ∈ (1[,)+∞)∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) → ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧)))
213	190, 212	sylbid 230	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ⇝𝑟 𝐶 → ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧)))
214		ssrexv 3667	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ+ ⊆ ℝ → (∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) → ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧)))
215	187, 214	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) → ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧))
216	215	ralimi 2952	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) → ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧))
217	186, 188, 101	rlim2lt 14228	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧)))
218	216, 217	syl5ibr 236	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ⇝𝑟 𝐶))
219	213, 218	impbid 202	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧)))
220		cnxmet 22576	. . . . 5 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
221		xmetres2 22166	. . . . 5 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (∞Met‘𝐴))
222	220, 148, 221	sylancr 695	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (∞Met‘𝐴))
223	220	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
224		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
225		rlimcnp.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
226	225	cnfldtopn 22585	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
227	224, 226	metcnp2 22347	. . . 4 ⊢ ((((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (∞Met‘𝐴) ∧ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) ∈ (((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) CnP 𝐽)‘0) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅):𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑤)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) < 𝑧))))
228	222, 223, 96, 227	syl3anc 1326	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) ∈ (((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) CnP 𝐽)‘0) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅):𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑤)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) < 𝑧))))
229	181, 219, 228	3bitr4d 300	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) ∈ (((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) CnP 𝐽)‘0)))
230		rlimcnp.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝐴)
231		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))
232	231, 226, 224	metrest 22329	. . . . . . 7 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t 𝐴) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
233	220, 148, 232	sylancr 695	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t 𝐴) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
234	230, 233	syl5eq 2668	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
235	234	oveq1d 6665	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 CnP 𝐽) = ((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) CnP 𝐽))
236	235	fveq1d 6193	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 CnP 𝐽)‘0) = (((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) CnP 𝐽)‘0))
237	236	eleq2d 2687	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘0) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) ∈ (((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) CnP 𝐽)‘0)))
238	229, 237	bitr4d 271	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘0)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  ∃wrex 2913   ∖ cdif 3571   ∪ cun 3572   ⊆ wss 3574  {csn 4177   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729   × cxp 5112   ↾ cres 5116   ∘ ccom 5118  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937  +∞cpnf 10071  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266   / cdiv 10684  ℝ⁺crp 11832  (,)cioo 12175  [,)cico 12177  abscabs 13974   ⇝_𝑟 crli 14216   ↾_t crest 16081  TopOpenctopn 16082  ∞Metcxmt 19731  MetOpencmopn 19736  ℂ_fldccnfld 19746   CnP ccnp 21029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-rlim 14220  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-rest 16083  df-topn 16084  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cnp 21032

This theorem is referenced by:  rlimcnp2  24693