Theorem itg2const2 23508

Description: When the base set of a constant function has infinite volume, the integral is also infinite and vice-versa. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itg2const2	⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ↔ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem itg2const2

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 790	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ dom vol)
2		simpr 477	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ)
3		rpre 11839	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	ad2antlr 763	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		rpge0 11845	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐵)
6	5	ad2antlr 763	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → 0 ≤ 𝐵)
7		elrege0 12278	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
8	4, 6, 7	sylanbrc 698	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
9		itg2const 23507	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) = (𝐵 · (vol‘𝐴)))
10	1, 2, 8, 9	syl3anc 1326	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) = (𝐵 · (vol‘𝐴)))
11	4, 2	remulcld 10070	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐵 · (vol‘𝐴)) ∈ ℝ)
12	10, 11	eqeltrd 2701	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ)
13		mblvol 23298	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))
14	13	ad2antrr 762	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))
15		mblss 23299	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
16	15	ad3antrrr 766	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (vol*‘𝐴) ≤ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
17		peano2re 10209	. . . . . . . 8 ⊢ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) ∈ ℝ)
18	17	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) ∈ ℝ)
19		simplr 792	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ+)
20	18, 19	rerpdivcld 11903	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ ℝ)
21	20	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (vol*‘𝐴) ≤ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)) → (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ ℝ)
22		simpr 477	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (vol*‘𝐴) ≤ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)) → (vol*‘𝐴) ≤ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵))
23		ovollecl 23251	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ≤ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
24	16, 21, 22, 23	syl3anc 1326	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (vol*‘𝐴) ≤ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
25		simplll 798	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴)) → 𝐴 ∈ dom vol)
26	20	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴)) → (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ ℝ)
27	26	rexrd 10089	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴)) → (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ ℝ*)
28		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ)
29	3	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
30	29	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
31	5	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ 𝐵)
32		elxrge0 12281	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵))
33	30, 31, 32	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
34		0e0iccpnf 12283	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
35		ifcl 4130	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ (0[,]+∞))
36	33, 34, 35	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ (0[,]+∞))
37		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
38	36, 37	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
39	38	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
40		itg2ge0 23502	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) → 0 ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))))
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → 0 ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))))
42	28, 41	ge0p1rpd 11902	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) ∈ ℝ+)
43	42, 19	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ ℝ+)
44	43	rpge0d 11876	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → 0 ≤ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵))
45	44	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴)) → 0 ≤ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵))
46	14	breq2d 4665	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → ((((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol‘𝐴) ↔ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴)))
47	46	biimpar 502	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴)) → (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol‘𝐴))
48		0xr 10086	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ*
49		iccssxr 12256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
50		volf 23297	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ vol:dom vol⟶(0[,]+∞)
51	50	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
52	49, 51	sseldi 3601	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) ∈ ℝ*)
53	25, 52	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴)) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ*)
54		elicc1 12219	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ*) → ((((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ (0[,](vol‘𝐴)) ↔ ((((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol‘𝐴))))
55	48, 53, 54	sylancr 695	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴)) → ((((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ (0[,](vol‘𝐴)) ↔ ((((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol‘𝐴))))
56	27, 45, 47, 55	mpbir3and 1245	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴)) → (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ (0[,](vol‘𝐴)))
57		volivth 23375	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ (0[,](vol‘𝐴))) → ∃𝑧 ∈ dom vol(𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))
58	25, 56, 57	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴)) → ∃𝑧 ∈ dom vol(𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))
59	58	ex 450	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → ((((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴) → ∃𝑧 ∈ dom vol(𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵))))
60		simprl 794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → 𝑧 ∈ dom vol)
61		simprrr 805	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵))
62	20	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ ℝ)
63	61, 62	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (vol‘𝑧) ∈ ℝ)
64	3	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
65	64	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
66	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → 𝐵 ∈ ℝ+)
67	66	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → 0 ≤ 𝐵)
68	65, 67, 7	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
69		itg2const 23507	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑧, 𝐵, 0))) = (𝐵 · (vol‘𝑧)))
70	60, 63, 68, 69	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑧, 𝐵, 0))) = (𝐵 · (vol‘𝑧)))
71	61	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (𝐵 · (vol‘𝑧)) = (𝐵 · (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))
72	18	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) ∈ ℂ)
73	64	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
74		rpne0 11848	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ≠ 0)
75	74	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → 𝐵 ≠ 0)
76	72, 73, 75	divcan2d 10803	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → (𝐵 · (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1))
77	76	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (𝐵 · (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1))
78	70, 71, 77	3eqtrd 2660	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑧, 𝐵, 0))) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1))
79	3	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
80	79	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ*)
81	5	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝐵)
82	80, 81, 32	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
83		ifcl 4130	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) → if(𝑥 ∈ 𝑧, 𝐵, 0) ∈ (0[,]+∞))
84	82, 34, 83	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → if(𝑥 ∈ 𝑧, 𝐵, 0) ∈ (0[,]+∞))
85	84	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝑧, 𝐵, 0) ∈ (0[,]+∞))
86		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑧, 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑧, 𝐵, 0))
87	85, 86	fmptd 6385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑧, 𝐵, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
88	87	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑧, 𝐵, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
89	39	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
90		simpl 473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+))
91		simprl 794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵))) → 𝑧 ⊆ 𝐴)
92	79	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝐵 ∈ ℝ)
93	92	leidd 10594	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝐵 ≤ 𝐵)
94		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑧 → if(𝑥 ∈ 𝑧, 𝐵, 0) = 𝐵)
95	94	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → if(𝑥 ∈ 𝑧, 𝐵, 0) = 𝐵)
96		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑧 ⊆ 𝐴)
97	96	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝐴)
98	97	iftrued 4094	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) = 𝐵)
99	93, 95, 98	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → if(𝑥 ∈ 𝑧, 𝐵, 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
100		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝑧 → if(𝑥 ∈ 𝑧, 𝐵, 0) = 0)
101	100	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → if(𝑥 ∈ 𝑧, 𝐵, 0) = 0)
102		0le0 11110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ≤ 0
103		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐵 = if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) → (0 ≤ 𝐵 ↔ 0 ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)))
104		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 = if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) → (0 ≤ 0 ↔ 0 ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)))
105	103, 104	ifboth 4124	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((0 ≤ 𝐵 ∧ 0 ≤ 0) → 0 ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
106	81, 102, 105	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
107	106	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → 0 ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
108	101, 107	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → if(𝑥 ∈ 𝑧, 𝐵, 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
109	99, 108	pm2.61dan 832	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝑧, 𝐵, 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
110	109	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ 𝑧, 𝐵, 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
111		reex 10027	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℝ ∈ V
112	111	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ℝ ∈ V)
113		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑧, 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑧, 𝐵, 0)))
114		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)))
115	112, 85, 36, 113, 114	ofrfval2 6915	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑧, 𝐵, 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ 𝑧, 𝐵, 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)))
116	115	biimpar 502	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ 𝑧, 𝐵, 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑧, 𝐵, 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)))
117	110, 116	syldan 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑧, 𝐵, 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)))
118	90, 91, 117	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑧, 𝐵, 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)))
119		itg2le 23506	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑧, 𝐵, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑧, 𝐵, 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑧, 𝐵, 0))) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))))
120	88, 89, 118, 119	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑧, 𝐵, 0))) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))))
121	78, 120	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))))
122		ltp1 10861	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) < ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1))
123	122	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) < ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1))
124		simplr 792	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ)
125	17	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) ∈ ℝ)
126	124, 125	ltnled 10184	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) < ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) ↔ ¬ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)))))
127	123, 126	mpbid 222	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → ¬ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))))
128	121, 127	pm2.21dd 186	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
129	128	rexlimdvaa 3032	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → (∃𝑧 ∈ dom vol(𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ))
130	59, 129	syld 47	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → ((((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ))
131	130	imp 445	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴)) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
132	52	ad2antrr 762	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ*)
133	14, 132	eqeltrrd 2702	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ*)
134	20	rexrd 10089	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ ℝ*)
135		xrletri 11984	. . . . 5 ⊢ (((vol*‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ ℝ*) → ((vol*‘𝐴) ≤ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∨ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴)))
136	133, 134, 135	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → ((vol*‘𝐴) ≤ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∨ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴)))
137	24, 131, 136	mpjaodan 827	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
138	14, 137	eqeltrd 2701	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ)
139	12, 138	impbida 877	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ↔ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  Vcvv 3200   ⊆ wss 3574  ifcif 4086   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  dom cdm 5114  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ∘_𝑟 cofr 6896  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941  +∞cpnf 10071  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074   ≤ cle 10075   / cdiv 10684  ℝ⁺crp 11832  [,)cico 12177  [,]cicc 12178  vol*covol 23231  volcvol 23232  ∫₂citg2 23385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-cncf 22681  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-0p 23437

This theorem is referenced by:  itg2gt0  23527