areacirc - Mathbox for Brendan Leahy

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Theorem areacirc 33505

Description: The area of a circle of radius 𝑅 is π · 𝑅↑2. This is Metamath 100 proof #9. (Contributed by Brendan Leahy, 31-Aug-2017.) (Revised by Brendan Leahy, 22-Sep-2017.) (Revised by Brendan Leahy, 11-Jul-2018.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
areacirc.1	⊢ 𝑆 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ≤ (𝑅↑2))}

**Assertion**
Ref	Expression
areacirc	⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (area‘𝑆) = (π · (𝑅↑2)))

Distinct variable group: 𝑥,𝑦,𝑅 Allowed substitution hints: 𝑆(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem areacirc Dummy variables 𝑡 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		areacirc.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ≤ (𝑅↑2))}
2		opabssxp 5193	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ≤ (𝑅↑2))} ⊆ (ℝ × ℝ)
3	1, 2	eqsstri 3635	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ⊆ (ℝ × ℝ)
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → 𝑆 ⊆ (ℝ × ℝ))
5	1	areacirclem5 33504	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑆 “ {𝑡}) = if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅))
6		resqcl 12931	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
7	6	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
8		resqcl 12931	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → (𝑡↑2) ∈ ℝ)
9	8	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡↑2) ∈ ℝ)
10	7, 9	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ∈ ℝ)
11	10	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ∈ ℝ)
12		absresq 14042	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → ((abs‘𝑡)↑2) = (𝑡↑2))
13	12	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡)↑2) = (𝑡↑2))
14	13	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((abs‘𝑡)↑2) ≤ (𝑅↑2) ↔ (𝑡↑2) ≤ (𝑅↑2)))
15		recn 10026	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → 𝑡 ∈ ℂ)
16	15	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → (abs‘𝑡) ∈ ℝ)
17	16	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘𝑡) ∈ ℝ)
18		simp1 1061	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ)
19	15	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → 0 ≤ (abs‘𝑡))
20	19	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘𝑡))
21		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ 𝑅)
22	17, 18, 20, 21	le2sqd 13044	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) ≤ 𝑅 ↔ ((abs‘𝑡)↑2) ≤ (𝑅↑2)))
23	7, 9	subge0d 10617	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ↔ (𝑡↑2) ≤ (𝑅↑2)))
24	14, 22, 23	3bitr4d 300	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) ≤ 𝑅 ↔ 0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
25	24	biimpa 501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → 0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))
26	11, 25	resqrtcld 14156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℝ)
27	26	renegcld 10457	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℝ)
28		iccmbl 23334	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℝ ∧ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℝ) → (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ dom vol)
29	27, 26, 28	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ dom vol)
30		mblvol 23298	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ dom vol → (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = (vol*‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = (vol*‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
32	11, 25	sqrtge0d 14159	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → 0 ≤ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
33	26, 26, 32, 32	addge0d 10603	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → 0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
34		recn 10026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → 𝑅 ∈ ℂ)
35	34	sqcld 13006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
36	35	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
37	15	sqcld 13006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → (𝑡↑2) ∈ ℂ)
38	37	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡↑2) ∈ ℂ)
39	36, 38	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ∈ ℂ)
40	39	sqrtcld 14176	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℂ)
41	40	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℂ)
42	41, 41	subnegd 10399	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) = ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
43	42	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → (0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ↔ 0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
44	26, 27	subge0d 10617	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → (0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ↔ -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ≤ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
45	43, 44	bitr3d 270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → (0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ↔ -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ≤ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
46	33, 45	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ≤ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
47		ovolicc 23291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℝ ∧ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℝ ∧ -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ≤ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) → (vol*‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
48	27, 26, 46, 47	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → (vol*‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
49	31, 48	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
50	26, 27	resubcld 10458	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ ℝ)
51	49, 50	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) ∈ ℝ)
52		volf 23297	. . . . . . . . . 10 ⊢ vol:dom vol⟶(0[,]+∞)
53		ffn 6045	. . . . . . . . . 10 ⊢ (vol:dom vol⟶(0[,]+∞) → vol Fn dom vol)
54		elpreima 6337	. . . . . . . . . 10 ⊢ (vol Fn dom vol → ((-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ (^◡vol “ ℝ) ↔ ((-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ dom vol ∧ (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) ∈ ℝ)))
55	52, 53, 54	mp2b 10	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ (^◡vol “ ℝ) ↔ ((-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ dom vol ∧ (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) ∈ ℝ))
56	29, 51, 55	sylanbrc 698	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ (^◡vol “ ℝ))
57		0mbl 23307	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ dom vol
58		mblvol 23298	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∅ ∈ dom vol → (vol‘∅) = (vol*‘∅))
59	57, 58	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (vol‘∅) = (vol*‘∅)
60		ovol0 23261	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (vol*‘∅) = 0
61	59, 60	eqtri 2644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (vol‘∅) = 0
62		0re 10040	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
63	61, 62	eqeltri 2697	. . . . . . . . . 10 ⊢ (vol‘∅) ∈ ℝ
64		elpreima 6337	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (vol Fn dom vol → (∅ ∈ (^◡vol “ ℝ) ↔ (∅ ∈ dom vol ∧ (vol‘∅) ∈ ℝ)))
65	52, 53, 64	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∅ ∈ (^◡vol “ ℝ) ↔ (∅ ∈ dom vol ∧ (vol‘∅) ∈ ℝ))
66	57, 63, 65	mpbir2an 955	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ (^◡vol “ ℝ)
67	66	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ¬ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → ∅ ∈ (^◡vol “ ℝ))
68	56, 67	ifclda 4120	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅) ∈ (^◡vol “ ℝ))
69	5, 68	eqeltrd 2701	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑆 “ {𝑡}) ∈ (^◡vol “ ℝ))
70	69	3expa 1265	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑆 “ {𝑡}) ∈ (^◡vol “ ℝ))
71	70	ralrimiva 2966	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → ∀𝑡 ∈ ℝ (𝑆 “ {𝑡}) ∈ (^◡vol “ ℝ))
72	5	fveq2d 6195	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (vol‘(𝑆 “ {𝑡})) = (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)))
73	72	3expa 1265	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (vol‘(𝑆 “ {𝑡})) = (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)))
74	73	mpteq2dva 4744	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (vol‘(𝑆 “ {𝑡}))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅))))
75		renegcl 10344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → -𝑅 ∈ ℝ)
76	75	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → -𝑅 ∈ ℝ)
77		simpl 473	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → 𝑅 ∈ ℝ)
78		iccssre 12255	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℝ)
79	76, 77, 78	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℝ)
80		rembl 23308	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ dom vol
81	80	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → ℝ ∈ dom vol)
82		fvexd 6203	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) ∈ V)
83		eldif 3584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ (ℝ ∖ (-𝑅[,]𝑅)) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)))
84		3anass 1042	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ (-𝑅 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑅)))
85	84	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ (-𝑅 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑅))))
86	75	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → -𝑅 ∈ ℝ)
87		elicc2 12238	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑅)))
88	86, 18, 87	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑅)))
89		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℝ)
90	89, 18	absled 14169	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) ≤ 𝑅 ↔ (-𝑅 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑅)))
91	89	biantrurd 529	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((-𝑅 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ (-𝑅 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑅))))
92	90, 91	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) ≤ 𝑅 ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ (-𝑅 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑅))))
93	85, 88, 92	3bitr4rd 301	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) ≤ 𝑅 ↔ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)))
94	93	biimpd 219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) ≤ 𝑅 → 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)))
95	94	con3d 148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (¬ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) → ¬ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅))
96	95	3expia 1267	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ ℝ → (¬ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) → ¬ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅)))
97	96	impd 447	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → ((𝑡 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ¬ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅))
98	83, 97	syl5bi 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ (ℝ ∖ (-𝑅[,]𝑅)) → ¬ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅))
99	98	imp 445	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ ∖ (-𝑅[,]𝑅))) → ¬ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅)
100		iffalse 4095	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅 → if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅) = ∅)
101	100	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅 → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = (vol‘∅))
102	101, 61	syl6eq 2672	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅 → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = 0)
103	99, 102	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ ∖ (-𝑅[,]𝑅))) → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = 0)
104	76, 77, 87	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑅)))
105	90	biimprd 238	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((-𝑅 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑅) → (abs‘𝑡) ≤ 𝑅))
106	105	expd 452	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (-𝑅 ≤ 𝑡 → (𝑡 ≤ 𝑅 → (abs‘𝑡) ≤ 𝑅)))
107	106	3expia 1267	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ ℝ → (-𝑅 ≤ 𝑡 → (𝑡 ≤ 𝑅 → (abs‘𝑡) ≤ 𝑅))))
108	107	3impd 1281	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → ((𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑅) → (abs‘𝑡) ≤ 𝑅))
109	104, 108	sylbid 230	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) → (abs‘𝑡) ≤ 𝑅))
110	109	3impia 1261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (abs‘𝑡) ≤ 𝑅)
111		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((abs‘𝑡) ≤ 𝑅 → if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅) = (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
112	111	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((abs‘𝑡) ≤ 𝑅 → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
113	110, 112	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
114	6	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
115	75, 78	mpancom 703	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℝ)
116	115	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 𝑡 ∈ ℝ)
117	116	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 𝑡 ∈ ℝ)
118	117	resqcld 13035	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑡↑2) ∈ ℝ)
119	114, 118	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ∈ ℝ)
120	75, 87	mpancom 703	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑅)))
121	120	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑅)))
122	22, 90, 14	3bitr3rd 299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡↑2) ≤ (𝑅↑2) ↔ (-𝑅 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑅)))
123	23, 122	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ↔ (-𝑅 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑅)))
124	123	biimprd 238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((-𝑅 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑅) → 0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
125	124	expd 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (-𝑅 ≤ 𝑡 → (𝑡 ≤ 𝑅 → 0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
126	125	3expia 1267	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ ℝ → (-𝑅 ≤ 𝑡 → (𝑡 ≤ 𝑅 → 0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
127	126	3impd 1281	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → ((𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑅) → 0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
128	121, 127	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) → 0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
129	128	3impia 1261	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))
130	119, 129	resqrtcld 14156	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℝ)
131	130	renegcld 10457	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℝ)
132	131, 130, 28	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ dom vol)
133	132, 30	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = (vol*‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
134	119	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ∈ ℂ)
135	134	sqrtcld 14176	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℂ)
136	135, 135	subnegd 10399	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) = ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
137	119, 129	sqrtge0d 14159	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 0 ≤ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
138	130, 130, 137, 137	addge0d 10603	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
139	136	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ↔ 0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
140	130, 131	subge0d 10617	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ↔ -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ≤ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
141	139, 140	bitr3d 270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ↔ -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ≤ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
142	138, 141	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ≤ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
143	131, 130, 142, 47	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (vol*‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
144	135	2timesd 11275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) = ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
145	136, 143, 144	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (vol*‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
146	113, 133, 145	3eqtrd 2660	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
147	146	3expa 1265	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
148	147	mpteq2dva 4744	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅))) = (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
149		areacirclem3 33502	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) ∈ 𝐿¹)
150	148, 149	eqeltrd 2701	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅))) ∈ 𝐿¹)
151	79, 81, 82, 103, 150	iblss2 23572	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅))) ∈ 𝐿¹)
152	74, 151	eqeltrd 2701	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (vol‘(𝑆 “ {𝑡}))) ∈ 𝐿¹)
153		dmarea 24684	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ dom area ↔ (𝑆 ⊆ (ℝ × ℝ) ∧ ∀𝑡 ∈ ℝ (𝑆 “ {𝑡}) ∈ (^◡vol “ ℝ) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ↦ (vol‘(𝑆 “ {𝑡}))) ∈ 𝐿¹))
154	4, 71, 152, 153	syl3anbrc 1246	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → 𝑆 ∈ dom area)
155		areaval 24691	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ dom area → (area‘𝑆) = ∫ℝ(vol‘(𝑆 “ {𝑡})) d𝑡)
156	154, 155	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (area‘𝑆) = ∫ℝ(vol‘(𝑆 “ {𝑡})) d𝑡)
157		elioore 12205	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) → 𝑡 ∈ ℝ)
158	5	3expa 1265	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑆 “ {𝑡}) = if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅))
159	157, 158	sylan2 491	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (𝑆 “ {𝑡}) = if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅))
160	159	fveq2d 6195	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (vol‘(𝑆 “ {𝑡})) = (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)))
161	160	itgeq2dv 23548	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → ∫(-𝑅(,)𝑅)(vol‘(𝑆 “ {𝑡})) d𝑡 = ∫(-𝑅(,)𝑅)(vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) d𝑡)
162		ioossre 12235	. . . . 5 ⊢ (-𝑅(,)𝑅) ⊆ ℝ
163	162	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (-𝑅(,)𝑅) ⊆ ℝ)
164		eldif 3584	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 ∈ (ℝ ∖ (-𝑅(,)𝑅)) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)))
165	75	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → -𝑅 ∈ ℝ^*)
166		rexr 10085	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → 𝑅 ∈ ℝ^*)
167		elioo2 12216	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-𝑅 ∈ ℝ^* ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) → (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑅)))
168	165, 166, 167	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑅)))
169	168	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑅)))
170	89	biantrurd 529	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((-𝑅 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ (-𝑅 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑅))))
171	89, 18	absltd 14168	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) < 𝑅 ↔ (-𝑅 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑅)))
172		3anass 1042	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ (-𝑅 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑅)))
173	172	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ (-𝑅 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑅))))
174	170, 171, 173	3bitr4rd 301	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑅) ↔ (abs‘𝑡) < 𝑅))
175	169, 174	bitrd 268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↔ (abs‘𝑡) < 𝑅))
176	175	notbid 308	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (¬ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↔ ¬ (abs‘𝑡) < 𝑅))
177	18, 17	lenltd 10183	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑅 ≤ (abs‘𝑡) ↔ ¬ (abs‘𝑡) < 𝑅))
178	176, 177	bitr4d 271	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (¬ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↔ 𝑅 ≤ (abs‘𝑡)))
179	5	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ≤ (abs‘𝑡)) → (𝑆 “ {𝑡}) = if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅))
180	179	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ≤ (abs‘𝑡)) → (vol‘(𝑆 “ {𝑡})) = (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)))
181	17	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) = 𝑅) → ((abs‘𝑡) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝑡) = 𝑅))
182		eqle 10139	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((abs‘𝑡) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝑡) = 𝑅) → (abs‘𝑡) ≤ 𝑅)
183	181, 182, 112	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) = 𝑅) → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
184		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((abs‘𝑡) = 𝑅 → ((abs‘𝑡)↑2) = (𝑅↑2))
185	184	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) = 𝑅) → ((abs‘𝑡)↑2) = (𝑅↑2))
186	13	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) = 𝑅) → ((abs‘𝑡)↑2) = (𝑡↑2))
187	185, 186	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) = 𝑅) → (𝑅↑2) = (𝑡↑2))
188		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑅↑2) = (𝑡↑2) → ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) = ((𝑡↑2) − (𝑡↑2)))
189	188	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑅↑2) = (𝑡↑2) → (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) = (√‘((𝑡↑2) − (𝑡↑2))))
190	189	negeqd 10275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑅↑2) = (𝑡↑2) → -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) = -(√‘((𝑡↑2) − (𝑡↑2))))
191	190, 189	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅↑2) = (𝑡↑2) → (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) = (-(√‘((𝑡↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑡↑2) − (𝑡↑2)))))
192	8	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → (𝑡↑2) ∈ ℂ)
193	192	subidd 10380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → ((𝑡↑2) − (𝑡↑2)) = 0)
194	193	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → (√‘((𝑡↑2) − (𝑡↑2))) = (√‘0))
195	194	negeqd 10275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → -(√‘((𝑡↑2) − (𝑡↑2))) = -(√‘0))
196		sqrt0 13982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (√‘0) = 0
197	196	negeqi 10274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ -(√‘0) = -0
198		neg0 10327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ -0 = 0
199	197, 198	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ -(√‘0) = 0
200	195, 199	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → -(√‘((𝑡↑2) − (𝑡↑2))) = 0)
201	194, 196	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → (√‘((𝑡↑2) − (𝑡↑2))) = 0)
202	200, 201	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → (-(√‘((𝑡↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑡↑2) − (𝑡↑2)))) = (0[,]0))
203	202	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (-(√‘((𝑡↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑡↑2) − (𝑡↑2)))) = (0[,]0))
204	191, 203	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑅↑2) = (𝑡↑2)) → (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) = (0[,]0))
205	204	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑅↑2) = (𝑡↑2)) → (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = (vol‘(0[,]0)))
206		iccmbl 23334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (0[,]0) ∈ dom vol)
207	62, 62, 206	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (0[,]0) ∈ dom vol
208		mblvol 23298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((0[,]0) ∈ dom vol → (vol‘(0[,]0)) = (vol*‘(0[,]0)))
209	207, 208	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (vol‘(0[,]0)) = (vol*‘(0[,]0))
210		0xr 10086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 0 ∈ ℝ^*
211		iccid 12220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (0 ∈ ℝ^* → (0[,]0) = {0})
212	211	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (0 ∈ ℝ^* → (vol‘(0[,]0)) = (vol‘{0}))
213	210, 212	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (vol‘(0[,]0)) = (vol‘{0})
214		ovolsn 23263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (0 ∈ ℝ → (vol*‘{0}) = 0)
215	62, 214	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (vol*‘{0}) = 0
216	213, 215	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (vol*‘(0[,]0)) = 0
217	209, 216	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (vol‘(0[,]0)) = 0
218	205, 217	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑅↑2) = (𝑡↑2)) → (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = 0)
219	187, 218	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) = 𝑅) → (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = 0)
220	183, 219	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) = 𝑅) → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = 0)
221	220	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) = 𝑅 → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = 0))
222	221	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ≤ (abs‘𝑡)) → ((abs‘𝑡) = 𝑅 → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = 0))
223	18, 17	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑅 < (abs‘𝑡) ↔ ¬ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅))
224	223	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ≤ (abs‘𝑡)) → (𝑅 < (abs‘𝑡) ↔ ¬ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅))
225		simpl1 1064	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ≤ (abs‘𝑡)) → 𝑅 ∈ ℝ)
226	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ≤ (abs‘𝑡)) → (abs‘𝑡) ∈ ℝ)
227		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ≤ (abs‘𝑡)) → 𝑅 ≤ (abs‘𝑡))
228	225, 226, 227	leltned 10190	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ≤ (abs‘𝑡)) → (𝑅 < (abs‘𝑡) ↔ (abs‘𝑡) ≠ 𝑅))
229	224, 228	bitr3d 270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ≤ (abs‘𝑡)) → (¬ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅 ↔ (abs‘𝑡) ≠ 𝑅))
230	229, 102	syl6bir 244	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ≤ (abs‘𝑡)) → ((abs‘𝑡) ≠ 𝑅 → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = 0))
231	222, 230	pm2.61dne 2880	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ≤ (abs‘𝑡)) → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = 0)
232	180, 231	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ≤ (abs‘𝑡)) → (vol‘(𝑆 “ {𝑡})) = 0)
233	232	ex 450	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑅 ≤ (abs‘𝑡) → (vol‘(𝑆 “ {𝑡})) = 0))
234	178, 233	sylbid 230	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (¬ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) → (vol‘(𝑆 “ {𝑡})) = 0))
235	234	3expia 1267	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ ℝ → (¬ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) → (vol‘(𝑆 “ {𝑡})) = 0)))
236	235	impd 447	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → ((𝑡 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (vol‘(𝑆 “ {𝑡})) = 0))
237	164, 236	syl5bi 232	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ (ℝ ∖ (-𝑅(,)𝑅)) → (vol‘(𝑆 “ {𝑡})) = 0))
238	237	imp 445	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ ∖ (-𝑅(,)𝑅))) → (vol‘(𝑆 “ {𝑡})) = 0)
239	163, 238	itgss 23578	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → ∫(-𝑅(,)𝑅)(vol‘(𝑆 “ {𝑡})) d𝑡 = ∫ℝ(vol‘(𝑆 “ {𝑡})) d𝑡)
240		negeq 10273	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 = 0 → -𝑅 = -0)
241	240, 198	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 = 0 → -𝑅 = 0)
242		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 = 0 → 𝑅 = 0)
243	241, 242	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 = 0 → (-𝑅(,)𝑅) = (0(,)0))
244		iooid 12203	. . . . . . . 8 ⊢ (0(,)0) = ∅
245	243, 244	syl6eq 2672	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 = 0 → (-𝑅(,)𝑅) = ∅)
246	245	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑅 = 0) → (-𝑅(,)𝑅) = ∅)
247		itgeq1 23539	. . . . . 6 ⊢ ((-𝑅(,)𝑅) = ∅ → ∫(-𝑅(,)𝑅)(vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) d𝑡 = ∫∅(vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) d𝑡)
248	246, 247	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑅 = 0) → ∫(-𝑅(,)𝑅)(vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) d𝑡 = ∫∅(vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) d𝑡)
249		itg0 23546	. . . . . 6 ⊢ ∫∅(vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) d𝑡 = 0
250		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 = 0 → (𝑅↑2) = (0↑2))
251	250	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 = 0 → (π · (𝑅↑2)) = (π · (0↑2)))
252		sq0 12955	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0↑2) = 0
253	252	oveq2i 6661	. . . . . . . . 9 ⊢ (π · (0↑2)) = (π · 0)
254		picn 24211	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℂ
255	254	mul01i 10226	. . . . . . . . 9 ⊢ (π · 0) = 0
256	253, 255	eqtr2i 2645	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (π · (0↑2))
257	251, 256	syl6reqr 2675	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 = 0 → 0 = (π · (𝑅↑2)))
258	257	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑅 = 0) → 0 = (π · (𝑅↑2)))
259	249, 258	syl5eq 2668	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑅 = 0) → ∫∅(vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) d𝑡 = (π · (𝑅↑2)))
260	248, 259	eqtrd 2656	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑅 = 0) → ∫(-𝑅(,)𝑅)(vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) d𝑡 = (π · (𝑅↑2)))
261		simp1 1061	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑅 ≠ 0) → 𝑅 ∈ ℝ)
262		0red 10041	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → 0 ∈ ℝ)
263		simpr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → 0 ≤ 𝑅)
264	262, 77, 263	leltned 10190	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (0 < 𝑅 ↔ 𝑅 ≠ 0))
265	264	biimp3ar 1433	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑅 ≠ 0) → 0 < 𝑅)
266	261, 265	elrpd 11869	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑅 ≠ 0) → 𝑅 ∈ ℝ⁺)
267	266	3expa 1265	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑅 ≠ 0) → 𝑅 ∈ ℝ⁺)
268	157, 16	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) → (abs‘𝑡) ∈ ℝ)
269	268	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (abs‘𝑡) ∈ ℝ)
270		rpre 11839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 𝑅 ∈ ℝ)
271	270	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ)
272	270	renegcld 10457	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → -𝑅 ∈ ℝ)
273	272	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → -𝑅 ∈ ℝ^*)
274		rpxr 11840	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 𝑅 ∈ ℝ^*)
275	273, 274, 167	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑅)))
276		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℝ)
277	270	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ)
278	276, 277	absltd 14168	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) < 𝑅 ↔ (-𝑅 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑅)))
279	278	biimprd 238	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((-𝑅 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑅) → (abs‘𝑡) < 𝑅))
280	279	exp4b 632	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ ℝ → (-𝑅 < 𝑡 → (𝑡 < 𝑅 → (abs‘𝑡) < 𝑅))))
281	280	3impd 1281	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑅) → (abs‘𝑡) < 𝑅))
282	275, 281	sylbid 230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) → (abs‘𝑡) < 𝑅))
283	282	imp 445	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (abs‘𝑡) < 𝑅)
284	269, 271, 283	ltled 10185	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (abs‘𝑡) ≤ 𝑅)
285	284, 112	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
286	270	resqcld 13035	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
287	286	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
288	287	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
289	192	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡↑2) ∈ ℂ)
290	288, 289	subcld 10392	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ∈ ℂ)
291	290	sqrtcld 14176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℂ)
292	291, 291	subnegd 10399	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) = ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
293	157, 292	sylan2 491	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) = ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
294	286	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
295	8	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡↑2) ∈ ℝ)
296	294, 295	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ∈ ℝ)
297	157, 296	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ∈ ℝ)
298		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → 0 ∈ ℝ)
299	16	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘𝑡) ∈ ℝ)
300	19	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘𝑡))
301		rpge0 11845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 0 ≤ 𝑅)
302	301	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ 𝑅)
303	299, 277, 300, 302	lt2sqd 13043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) < 𝑅 ↔ ((abs‘𝑡)↑2) < (𝑅↑2)))
304	12	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡)↑2) = (𝑡↑2))
305	304	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((abs‘𝑡)↑2) < (𝑅↑2) ↔ (𝑡↑2) < (𝑅↑2)))
306	303, 278, 305	3bitr3rd 299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡↑2) < (𝑅↑2) ↔ (-𝑅 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑅)))
307	295, 294	posdifd 10614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡↑2) < (𝑅↑2) ↔ 0 < ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
308	306, 307	bitr3d 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((-𝑅 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑅) ↔ 0 < ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
309	308	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((-𝑅 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑅) → 0 < ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
310	309	exp4b 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ ℝ → (-𝑅 < 𝑡 → (𝑡 < 𝑅 → 0 < ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
311	310	3impd 1281	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑅) → 0 < ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
312	275, 311	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) → 0 < ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
313	312	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → 0 < ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))
314	298, 297, 313	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → 0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))
315	297, 314	resqrtcld 14156	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℝ)
316	315	renegcld 10457	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℝ)
317	316, 315, 28	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ dom vol)
318	317, 30	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = (vol*‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
319	297, 314	sqrtge0d 14159	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → 0 ≤ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
320	315, 315, 319, 319	addge0d 10603	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → 0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
321	293	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ↔ 0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
322	315, 316	subge0d 10617	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ↔ -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ≤ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
323	321, 322	bitr3d 270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ↔ -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ≤ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
324	320, 323	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ≤ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
325	316, 315, 324, 47	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (vol*‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
326	318, 325	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
327		ax-resscn 9993	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
328	327	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ℝ ⊆ ℂ)
329	272, 270, 78	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℝ)
330		rpcn 11841	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 𝑅 ∈ ℂ)
331	330	sqcld 13006	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
332	331	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
333	329	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 𝑢 ∈ ℝ)
334	333	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 𝑢 ∈ ℂ)
335	330	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 𝑅 ∈ ℂ)
336		rpne0 11848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 𝑅 ≠ 0)
337	336	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 𝑅 ≠ 0)
338	334, 335, 337	divcld 10801	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑢 / 𝑅) ∈ ℂ)
339		asincl 24600	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑢 / 𝑅) ∈ ℂ → (arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) ∈ ℂ)
340	338, 339	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) ∈ ℂ)
341		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 1 ∈ ℂ)
342	338	sqcld 13006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑢 / 𝑅)↑2) ∈ ℂ)
343	341, 342	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)) ∈ ℂ)
344	343	sqrtcld 14176	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))) ∈ ℂ)
345	338, 344	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℂ)
346	340, 345	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))))) ∈ ℂ)
347	332, 346	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))) ∈ ℂ)
348		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = (TopOpen‘ℂ_fld)
349	348	tgioo2 22606	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ)
350		iccntr 22624	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(-𝑅[,]𝑅)) = (-𝑅(,)𝑅))
351	272, 270, 350	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(-𝑅[,]𝑅)) = (-𝑅(,)𝑅))
352	328, 329, 347, 349, 348, 351	dvmptntr 23734	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))) = (ℝ D (𝑢 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))))
353		areacirclem1 33500	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (𝑢 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))) = (𝑢 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2))))))
354	352, 353	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))) = (𝑢 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2))))))
355	354	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (ℝ D (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))) = (𝑢 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2))))))
356		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → (𝑢↑2) = (𝑡↑2))
357	356	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → ((𝑅↑2) − (𝑢↑2)) = ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))
358	357	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2))) = (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
359	358	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2)))) = (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
360	359	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) ∧ 𝑢 = 𝑡) → (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2)))) = (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
361		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅))
362		ovexd 6680	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ V)
363	355, 360, 361, 362	fvmptd 6288	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → ((ℝ D (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))))))))‘𝑡) = (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
364	157, 291	sylan2 491	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℂ)
365	364	2timesd 11275	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) = ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
366	363, 365	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → ((ℝ D (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))))))))‘𝑡) = ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
367	293, 326, 366	3eqtr4rd 2667	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → ((ℝ D (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))))))))‘𝑡) = (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
368	285, 367	eqtr4d 2659	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = ((ℝ D (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))))))))‘𝑡))
369	368	itgeq2dv 23548	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ∫(-𝑅(,)𝑅)(vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) d𝑡 = ∫(-𝑅(,)𝑅)((ℝ D (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))))))))‘𝑡) d𝑡)
370	270, 270, 301, 301	addge0d 10603	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 0 ≤ (𝑅 + 𝑅))
371	330, 330	subnegd 10399	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑅 − -𝑅) = (𝑅 + 𝑅))
372	371	breq2d 4665	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (0 ≤ (𝑅 − -𝑅) ↔ 0 ≤ (𝑅 + 𝑅)))
373	270, 272	subge0d 10617	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (0 ≤ (𝑅 − -𝑅) ↔ -𝑅 ≤ 𝑅))
374	372, 373	bitr3d 270	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (0 ≤ (𝑅 + 𝑅) ↔ -𝑅 ≤ 𝑅))
375	370, 374	mpbid 222	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → -𝑅 ≤ 𝑅)
376		2cn 11091	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
377	162, 327	sstri 3612	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-𝑅(,)𝑅) ⊆ ℂ
378		ssid 3624	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
379	376, 377, 378	3pm3.2i 1239	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ (-𝑅(,)𝑅) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ)
380		cncfmptc 22714	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (-𝑅(,)𝑅) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑢 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ 2) ∈ ((-𝑅(,)𝑅)–cn→ℂ))
381	379, 380	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑢 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ 2) ∈ ((-𝑅(,)𝑅)–cn→ℂ))
382		ioossicc 12259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-𝑅(,)𝑅) ⊆ (-𝑅[,]𝑅)
383		resmpt 5449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-𝑅(,)𝑅) ⊆ (-𝑅[,]𝑅) → ((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2)))) ↾ (-𝑅(,)𝑅)) = (𝑢 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2)))))
384	382, 383	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2)))) ↾ (-𝑅(,)𝑅)) = (𝑢 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2))))
385		areacirclem2 33501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2)))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
386	270, 301, 385	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2)))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
387		rescncf 22700	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-𝑅(,)𝑅) ⊆ (-𝑅[,]𝑅) → ((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2)))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ) → ((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2)))) ↾ (-𝑅(,)𝑅)) ∈ ((-𝑅(,)𝑅)–cn→ℂ)))
388	382, 386, 387	mpsyl 68	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2)))) ↾ (-𝑅(,)𝑅)) ∈ ((-𝑅(,)𝑅)–cn→ℂ))
389	384, 388	syl5eqelr 2706	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑢 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2)))) ∈ ((-𝑅(,)𝑅)–cn→ℂ))
390	381, 389	mulcncf 23215	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑢 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2))))) ∈ ((-𝑅(,)𝑅)–cn→ℂ))
391	354, 390	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))) ∈ ((-𝑅(,)𝑅)–cn→ℂ))
392	382	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (-𝑅(,)𝑅) ⊆ (-𝑅[,]𝑅))
393		ioombl 23333	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-𝑅(,)𝑅) ∈ dom vol
394	393	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (-𝑅(,)𝑅) ∈ dom vol)
395		ovexd 6680	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2)))) ∈ V)
396		areacirclem3 33502	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2))))) ∈ 𝐿¹)
397	392, 394, 395, 396	iblss 23571	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑢 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2))))) ∈ 𝐿¹)
398	270, 301, 397	syl2anc 693	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑢 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2))))) ∈ 𝐿¹)
399	354, 398	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))) ∈ 𝐿¹)
400		areacirclem4 33503	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
401	272, 270, 375, 391, 399, 400	ftc2nc 33494	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ∫(-𝑅(,)𝑅)((ℝ D (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))))))))‘𝑡) d𝑡 = (((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))‘𝑅) − ((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))‘-𝑅)))
402		eqidd 2623	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))))))) = (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))))))))
403		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = 𝑅 → (𝑢 / 𝑅) = (𝑅 / 𝑅))
404	403	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = 𝑅 → (arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) = (arcsin‘(𝑅 / 𝑅)))
405	403	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑢 = 𝑅 → ((𝑢 / 𝑅)↑2) = ((𝑅 / 𝑅)↑2))
406	405	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 = 𝑅 → (1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)) = (1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2)))
407	406	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = 𝑅 → (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))) = (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2))))
408	403, 407	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = 𝑅 → ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))) = ((𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2)))))
409	404, 408	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝑅 → ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))))) = ((arcsin‘(𝑅 / 𝑅)) + ((𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2))))))
410	409	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑅 → ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))) = ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑅 / 𝑅)) + ((𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2)))))))
411	410	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 = 𝑅) → ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))) = ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑅 / 𝑅)) + ((𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2)))))))
412		ubicc2 12289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-𝑅 ∈ ℝ^* ∧ 𝑅 ∈ ℝ^* ∧ -𝑅 ≤ 𝑅) → 𝑅 ∈ (-𝑅[,]𝑅))
413	273, 274, 375, 412	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 𝑅 ∈ (-𝑅[,]𝑅))
414		ovexd 6680	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑅 / 𝑅)) + ((𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2)))))) ∈ V)
415	402, 411, 413, 414	fvmptd 6288	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))‘𝑅) = ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑅 / 𝑅)) + ((𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2)))))))
416	330, 336	dividd 10799	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑅 / 𝑅) = 1)
417	416	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (arcsin‘(𝑅 / 𝑅)) = (arcsin‘1))
418		asin1 24621	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (arcsin‘1) = (π / 2)
419	417, 418	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (arcsin‘(𝑅 / 𝑅)) = (π / 2))
420	416	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((𝑅 / 𝑅)↑2) = (1↑2))
421		sq1 12958	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1↑2) = 1
422	420, 421	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((𝑅 / 𝑅)↑2) = 1)
423	422	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2)) = (1 − 1))
424		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 1 ∈ ℂ)
425	424	subidd 10380	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (1 − 1) = 0)
426	423, 425	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2)) = 0)
427	426	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2))) = (√‘0))
428	427, 196	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2))) = 0)
429	428	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2)))) = ((𝑅 / 𝑅) · 0))
430	330, 330, 336	divcld 10801	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑅 / 𝑅) ∈ ℂ)
431	430	mul01d 10235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((𝑅 / 𝑅) · 0) = 0)
432	429, 431	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2)))) = 0)
433	419, 432	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((arcsin‘(𝑅 / 𝑅)) + ((𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2))))) = ((π / 2) + 0))
434		2ne0 11113	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ≠ 0
435	254, 376, 434	divcli 10767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
436	435	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (π / 2) ∈ ℂ)
437	436	addid1d 10236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((π / 2) + 0) = (π / 2))
438	433, 437	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((arcsin‘(𝑅 / 𝑅)) + ((𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2))))) = (π / 2))
439	438	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑅 / 𝑅)) + ((𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2)))))) = ((𝑅↑2) · (π / 2)))
440	415, 439	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))‘𝑅) = ((𝑅↑2) · (π / 2)))
441		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = -𝑅 → (𝑢 / 𝑅) = (-𝑅 / 𝑅))
442	441	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = -𝑅 → (arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) = (arcsin‘(-𝑅 / 𝑅)))
443	441	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑢 = -𝑅 → ((𝑢 / 𝑅)↑2) = ((-𝑅 / 𝑅)↑2))
444	443	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 = -𝑅 → (1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)) = (1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2)))
445	444	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = -𝑅 → (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))) = (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2))))
446	441, 445	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = -𝑅 → ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))) = ((-𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2)))))
447	442, 446	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = -𝑅 → ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))))) = ((arcsin‘(-𝑅 / 𝑅)) + ((-𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2))))))
448	447	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 = -𝑅) → ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))))) = ((arcsin‘(-𝑅 / 𝑅)) + ((-𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2))))))
449	448	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 = -𝑅) → ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))) = ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(-𝑅 / 𝑅)) + ((-𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2)))))))
450		lbicc2 12288	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-𝑅 ∈ ℝ^* ∧ 𝑅 ∈ ℝ^* ∧ -𝑅 ≤ 𝑅) → -𝑅 ∈ (-𝑅[,]𝑅))
451	273, 274, 375, 450	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → -𝑅 ∈ (-𝑅[,]𝑅))
452		ovexd 6680	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(-𝑅 / 𝑅)) + ((-𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2)))))) ∈ V)
453	402, 449, 451, 452	fvmptd 6288	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))‘-𝑅) = ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(-𝑅 / 𝑅)) + ((-𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2)))))))
454	330, 330, 336	divnegd 10814	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → -(𝑅 / 𝑅) = (-𝑅 / 𝑅))
455	416	negeqd 10275	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → -(𝑅 / 𝑅) = -1)
456	454, 455	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (-𝑅 / 𝑅) = -1)
457	456	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (arcsin‘(-𝑅 / 𝑅)) = (arcsin‘-1))
458		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℂ
459		asinneg 24613	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 ∈ ℂ → (arcsin‘-1) = -(arcsin‘1))
460	458, 459	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (arcsin‘-1) = -(arcsin‘1)
461	418	negeqi 10274	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -(arcsin‘1) = -(π / 2)
462	460, 461	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (arcsin‘-1) = -(π / 2)
463	457, 462	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (arcsin‘(-𝑅 / 𝑅)) = -(π / 2))
464	456	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((-𝑅 / 𝑅)↑2) = (-1↑2))
465		neg1sqe1 12959	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (-1↑2) = 1
466	464, 465	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((-𝑅 / 𝑅)↑2) = 1)
467	466	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2)) = (1 − 1))
468	467, 425	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2)) = 0)
469	468	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2))) = (√‘0))
470	469, 196	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2))) = 0)
471	470	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((-𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2)))) = ((-𝑅 / 𝑅) · 0))
472	272	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → -𝑅 ∈ ℂ)
473	472, 330, 336	divcld 10801	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (-𝑅 / 𝑅) ∈ ℂ)
474	473	mul01d 10235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((-𝑅 / 𝑅) · 0) = 0)
475	471, 474	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((-𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2)))) = 0)
476	463, 475	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((arcsin‘(-𝑅 / 𝑅)) + ((-𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2))))) = (-(π / 2) + 0))
477	435	negcli 10349	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -(π / 2) ∈ ℂ
478	477	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → -(π / 2) ∈ ℂ)
479	478	addid1d 10236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (-(π / 2) + 0) = -(π / 2))
480	476, 479	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((arcsin‘(-𝑅 / 𝑅)) + ((-𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2))))) = -(π / 2))
481	480	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(-𝑅 / 𝑅)) + ((-𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2)))))) = ((𝑅↑2) · -(π / 2)))
482	453, 481	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))‘-𝑅) = ((𝑅↑2) · -(π / 2)))
483	440, 482	oveq12d 6668	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))‘𝑅) − ((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))‘-𝑅)) = (((𝑅↑2) · (π / 2)) − ((𝑅↑2) · -(π / 2))))
484	435, 435	subnegi 10360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((π / 2) − -(π / 2)) = ((π / 2) + (π / 2))
485		pidiv2halves 24219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((π / 2) + (π / 2)) = π
486	484, 485	eqtri 2644	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π / 2) − -(π / 2)) = π
487	486	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((π / 2) − -(π / 2)) = π)
488	487	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((𝑅↑2) · ((π / 2) − -(π / 2))) = ((𝑅↑2) · π))
489	331, 436, 478	subdid 10486	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((𝑅↑2) · ((π / 2) − -(π / 2))) = (((𝑅↑2) · (π / 2)) − ((𝑅↑2) · -(π / 2))))
490	254	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → π ∈ ℂ)
491	331, 490	mulcomd 10061	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((𝑅↑2) · π) = (π · (𝑅↑2)))
492	488, 489, 491	3eqtr3d 2664	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (((𝑅↑2) · (π / 2)) − ((𝑅↑2) · -(π / 2))) = (π · (𝑅↑2)))
493	483, 492	eqtrd 2656	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))‘𝑅) − ((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))‘-𝑅)) = (π · (𝑅↑2)))
494	369, 401, 493	3eqtrd 2660	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ∫(-𝑅(,)𝑅)(vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) d𝑡 = (π · (𝑅↑2)))
495	267, 494	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑅 ≠ 0) → ∫(-𝑅(,)𝑅)(vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) d𝑡 = (π · (𝑅↑2)))
496	260, 495	pm2.61dane 2881	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → ∫(-𝑅(,)𝑅)(vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) d𝑡 = (π · (𝑅↑2)))
497	161, 239, 496	3eqtr3d 2664	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → ∫ℝ(vol‘(𝑆 “ {𝑡})) d𝑡 = (π · (𝑅↑2)))
498	156, 497	eqtrd 2656	1 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (area‘𝑆) = (π · (𝑅↑2)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 196 ∧ wa 384 ∧ w3a 1037 = wceq 1483 ∈ wcel 1990 ≠ wne 2794 ∀wral 2912 Vcvv 3200 ∖ cdif 3571 ⊆ wss 3574 ∅c0 3915 ifcif 4086 {csn 4177 class class class wbr 4653 {copab 4712 ↦ cmpt 4729 × cxp 5112 ^◡ccnv 5113 dom cdm 5114 ran crn 5115 ↾ cres 5116 “ cima 5117 Fn wfn 5883 ⟶wf 5884 ‘cfv 5888 (class class class)co 6650 ℂcc 9934 ℝcr 9935 0cc0 9936 1c1 9937 + caddc 9939 · cmul 9941 +∞cpnf 10071 ℝ^*cxr 10073 < clt 10074 ≤ cle 10075 − cmin 10266 -cneg 10267 / cdiv 10684 2c2 11070 ℝ⁺crp 11832 (,)cioo 12175 [,]cicc 12178 ↑cexp 12860 √csqrt 13973 abscabs 13974 πcpi 14797 TopOpenctopn 16082 topGenctg 16098 ℂ_fldccnfld 19746 intcnt 20821 –cn→ccncf 22679 vol*covol 23231 volcvol 23232 𝐿¹cibl 23386 ∫citg 23387 D cdv 23627 arcsincasin 24589 areacarea 24682

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015 ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-iin 4523 df-disj 4621 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-ofr 6898 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-supp 7296 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-omul 7565 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-ixp 7909 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fsupp 8276 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-acn 8768 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ioo 12179 df-ioc 12180 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-fac 13061 df-bc 13090 df-hash 13118 df-shft 13807 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-limsup 14202 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-sum 14417 df-ef 14798 df-sin 14800 df-cos 14801 df-tan 14802 df-pi 14803 df-struct 15859 df-ndx 15860 df-slot 15861 df-base 15863 df-sets 15864 df-ress 15865 df-plusg 15954 df-mulr 15955 df-starv 15956 df-sca 15957 df-vsca 15958 df-ip 15959 df-tset 15960 df-ple 15961 df-ds 15964 df-unif 15965 df-hom 15966 df-cco 15967 df-rest 16083 df-topn 16084 df-0g 16102 df-gsum 16103 df-topgen 16104 df-pt 16105 df-prds 16108 df-xrs 16162 df-qtop 16167 df-imas 16168 df-xps 16170 df-mre 16246 df-mrc 16247 df-acs 16249 df-mgm 17242 df-sgrp 17284 df-mnd 17295 df-submnd 17336 df-mulg 17541 df-cntz 17750 df-cmn 18195 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-fbas 19743 df-fg 19744 df-cnfld 19747 df-top 20699 df-topon 20716 df-topsp 20737 df-bases 20750 df-cld 20823 df-ntr 20824 df-cls 20825 df-nei 20902 df-lp 20940 df-perf 20941 df-cn 21031 df-cnp 21032 df-haus 21119 df-cmp 21190 df-tx 21365 df-hmeo 21558 df-fil 21650 df-fm 21742 df-flim 21743 df-flf 21744 df-xms 22125 df-ms 22126 df-tms 22127 df-cncf 22681 df-ovol 23233 df-vol 23234 df-mbf 23388 df-itg1 23389 df-itg2 23390 df-ibl 23391 df-itg 23392 df-0p 23437 df-limc 23630 df-dv 23631 df-log 24303 df-cxp 24304 df-asin 24592 df-area 24683

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