Theorem rrnmet 33628

Description: Euclidean space is a metric space. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rrnval.1	⊢ 𝑋 = (ℝ ↑𝑚 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
rrnmet	⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋))

Proof of Theorem rrnmet

Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 473	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝐼 ∈ Fin)
2		simprl 794	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
3		rrnval.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑋 = (ℝ ↑𝑚 𝐼)
4	2, 3	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
5		elmapi 7879	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) → 𝑥:𝐼⟶ℝ)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑥:𝐼⟶ℝ)
7	6	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑥‘𝑘) ∈ ℝ)
8		simprr 796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑦 ∈ 𝑋)
9	8, 3	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑦 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
10		elmapi 7879	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) → 𝑦:𝐼⟶ℝ)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑦:𝐼⟶ℝ)
12	11	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑦‘𝑘) ∈ ℝ)
13	7, 12	resubcld 10458	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘)) ∈ ℝ)
14	13	resqcld 13035	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2) ∈ ℝ)
15	1, 14	fsumrecl 14465	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2) ∈ ℝ)
16	13	sqge0d 13036	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → 0 ≤ (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))
17	1, 14, 16	fsumge0 14527	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))
18	15, 17	resqrtcld 14156	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)) ∈ ℝ)
19	18	ralrimivva 2971	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)) ∈ ℝ)
20		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)))
21	20	fmpt2 7237	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)) ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
22	19, 21	sylib 208	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
23	3	rrnval 33626	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝn‘𝐼) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))))
24	23	feq1d 6030	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → ((ℝn‘𝐼):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ↔ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
25	22, 24	mpbird 247	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝn‘𝐼):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
26		sqrt00 14004	. . . . . . . 8 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)) → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)) = 0 ↔ Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2) = 0))
27	15, 17, 26	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)) = 0 ↔ Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2) = 0))
28	1, 14, 16	fsum00 14530	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2) = 0 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2) = 0))
29	27, 28	bitrd 268	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)) = 0 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2) = 0))
30	13	recnd 10068	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘)) ∈ ℂ)
31		sqeq0 12927	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘)) ∈ ℂ → ((((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2) = 0 ↔ ((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘)) = 0))
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2) = 0 ↔ ((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘)) = 0))
33	7	recnd 10068	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑥‘𝑘) ∈ ℂ)
34	12	recnd 10068	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑦‘𝑘) ∈ ℂ)
35	33, 34	subeq0ad 10402	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘)) = 0 ↔ (𝑥‘𝑘) = (𝑦‘𝑘)))
36	32, 35	bitrd 268	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2) = 0 ↔ (𝑥‘𝑘) = (𝑦‘𝑘)))
37	36	ralbidva 2985	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (∀𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2) = 0 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑥‘𝑘) = (𝑦‘𝑘)))
38	29, 37	bitrd 268	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)) = 0 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑥‘𝑘) = (𝑦‘𝑘)))
39	3	rrnmval 33627	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)))
40	39	3expb 1266	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)))
41	40	eqeq1d 2624	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) = 0 ↔ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)) = 0))
42		ffn 6045	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥:𝐼⟶ℝ → 𝑥 Fn 𝐼)
43	6, 42	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑥 Fn 𝐼)
44		ffn 6045	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦:𝐼⟶ℝ → 𝑦 Fn 𝐼)
45	11, 44	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑦 Fn 𝐼)
46		eqfnfv 6311	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 Fn 𝐼 ∧ 𝑦 Fn 𝐼) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑥‘𝑘) = (𝑦‘𝑘)))
47	43, 45, 46	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑥‘𝑘) = (𝑦‘𝑘)))
48	38, 41, 47	3bitr4d 300	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
49		simpll 790	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝐼 ∈ Fin)
50	7	adantlr 751	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑥‘𝑘) ∈ ℝ)
51		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑧 ∈ 𝑋)
52	51, 3	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑧 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
53		elmapi 7879	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) → 𝑧:𝐼⟶ℝ)
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑧:𝐼⟶ℝ)
55	54	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑧‘𝑘) ∈ ℝ)
56	50, 55	resubcld 10458	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑘) − (𝑧‘𝑘)) ∈ ℝ)
57	12	adantlr 751	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑦‘𝑘) ∈ ℝ)
58	55, 57	resubcld 10458	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘)) ∈ ℝ)
59	49, 56, 58	trirn 23183	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 ((((𝑥‘𝑘) − (𝑧‘𝑘)) + ((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘)))↑2)) ≤ ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑧‘𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))))
60	33	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑥‘𝑘) ∈ ℂ)
61	55	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑧‘𝑘) ∈ ℂ)
62	34	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑦‘𝑘) ∈ ℂ)
63	60, 61, 62	npncand 10416	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (((𝑥‘𝑘) − (𝑧‘𝑘)) + ((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))) = ((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘)))
64	63	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((((𝑥‘𝑘) − (𝑧‘𝑘)) + ((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘)))↑2) = (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))
65	64	sumeq2dv 14433	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ 𝐼 ((((𝑥‘𝑘) − (𝑧‘𝑘)) + ((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘)))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))
66	65	fveq2d 6195	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 ((((𝑥‘𝑘) − (𝑧‘𝑘)) + ((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘)))↑2)) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)))
67		sqsubswap 12924	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝑧‘𝑘) ∈ ℂ) → (((𝑥‘𝑘) − (𝑧‘𝑘))↑2) = (((𝑧‘𝑘) − (𝑥‘𝑘))↑2))
68	60, 61, 67	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (((𝑥‘𝑘) − (𝑧‘𝑘))↑2) = (((𝑧‘𝑘) − (𝑥‘𝑘))↑2))
69	68	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑧‘𝑘))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑥‘𝑘))↑2))
70	69	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑧‘𝑘))↑2)) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑥‘𝑘))↑2)))
71	70	oveq1d 6665	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑧‘𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))) = ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑥‘𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))))
72	59, 66, 71	3brtr3d 4684	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)) ≤ ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑥‘𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))))
73	40	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)))
74	3	rrnmval 33627	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑧(ℝn‘𝐼)𝑥) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑥‘𝑘))↑2)))
75	74	3adant3r 1323	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑧(ℝn‘𝐼)𝑥) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑥‘𝑘))↑2)))
76	3	rrnmval 33627	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑧(ℝn‘𝐼)𝑦) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)))
77	76	3adant3l 1322	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑧(ℝn‘𝐼)𝑦) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)))
78	75, 77	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑧(ℝn‘𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn‘𝐼)𝑦)) = ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑥‘𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))))
79	78	3expa 1265	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑧(ℝn‘𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn‘𝐼)𝑦)) = ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑥‘𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))))
80	79	an32s 846	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((𝑧(ℝn‘𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn‘𝐼)𝑦)) = ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑥‘𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))))
81	72, 73, 80	3brtr4d 4685	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ≤ ((𝑧(ℝn‘𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn‘𝐼)𝑦)))
82	81	ralrimiva 2966	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ≤ ((𝑧(ℝn‘𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn‘𝐼)𝑦)))
83	48, 82	jca 554	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ≤ ((𝑧(ℝn‘𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn‘𝐼)𝑦))))
84	83	ralrimivva 2971	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ≤ ((𝑧(ℝn‘𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn‘𝐼)𝑦))))
85		ovex 6678	. . . 4 ⊢ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∈ V
86	3, 85	eqeltri 2697	. . 3 ⊢ 𝑋 ∈ V
87		ismet 22128	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → ((ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ↔ ((ℝn‘𝐼):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ≤ ((𝑧(ℝn‘𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn‘𝐼)𝑦))))))
88	86, 87	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ↔ ((ℝn‘𝐼):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ≤ ((𝑧(ℝn‘𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn‘𝐼)𝑦)))))
89	25, 84, 88	sylanbrc 698	1 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  Vcvv 3200   class class class wbr 4653   × cxp 5112   Fn wfn 5883  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ↦ cmpt2 6652   ↑_𝑚 cmap 7857  Fincfn 7955  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936   + caddc 9939   ≤ cle 10075   − cmin 10266  2c2 11070  ↑cexp 12860  √csqrt 13973  Σcsu 14416  Metcme 19732  ℝⁿcrrn 33624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-met 19740  df-rrn 33625

This theorem is referenced by:  rrncmslem  33631  rrncms  33632  rrnequiv  33634  rrntotbnd  33635  rrnheibor  33636  ismrer1  33637  reheibor  33638