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Theorem rrnmet 33628
Description: Euclidean space is a metric space. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rrnval.1 |- X = ( RR ^m I )
Assertion
Ref Expression
rrnmet |- ( I e. Fin -> ( Rn ` I ) e. ( Met ` X ) )
Proof of Theorem rrnmet
Dummy variables k x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 473 . . . . . . 7 |- ( ( I e. Fin /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> I e. Fin )
2 simprl 794 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I e. Fin /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> x e. X )
3 rrnval.1 . . . . . . . . . . . 12 |- X = ( RR ^m I )
42, 3syl6eleq 2711 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( I e. Fin /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> x e. ( RR ^m I ) )
5 elmapi 7879 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( RR ^m I ) -> x : I --> RR )
64, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. Fin /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> x : I --> RR )
76ffvelrnda 6359 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. Fin /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ k e. I ) -> ( x ` k ) e. RR )
8 simprr 796 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I e. Fin /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> y e. X )
98, 3syl6eleq 2711 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( I e. Fin /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> y e. ( RR ^m I ) )
10 elmapi 7879 . . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( RR ^m I ) -> y : I --> RR )
119, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. Fin /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> y : I --> RR )
1211ffvelrnda 6359 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. Fin /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ k e. I ) -> ( y ` k ) e. RR )
137, 12resubcld 10458 . . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. Fin /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ k e. I ) -> ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) e. RR )
1413resqcld 13035 . . . . . . 7 |- ( ( ( I e. Fin /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ k e. I ) -> ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) e. RR )
151, 14fsumrecl 14465 . . . . . 6 |- ( ( I e. Fin /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> sum_ k e. I ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) e. RR )
1613sqge0d 13036 . . . . . . 7 |- ( ( ( I e. Fin /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ k e. I ) -> 0 <_ ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) )
171, 14, 16fsumge0 14527 . . . . . 6 |- ( ( I e. Fin /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> 0 <_ sum_ k e. I ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) )
1815, 17resqrtcld 14156 . . . . 5 |- ( ( I e. Fin /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( sqr ` sum_ k e. I ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) e. RR )
1918ralrimivva 2971 . . . 4 |- ( I e. Fin -> A. x e. X A. y e. X ( sqr ` sum_ k e. I ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) e. RR )
20 eqid 2622 . . . . 5 |- ( x e. X , y e. X |-> ( sqr ` sum_ k e. I ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) ) = ( x e. X , y e. X |-> ( sqr ` sum_ k e. I ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) )
2120fmpt2 7237 . . . 4 |- ( A. x e. X A. y e. X ( sqr ` sum_ k e. I ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) e. RR <-> ( x e. X , y e. X |-> ( sqr ` sum_ k e. I ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) ) : ( X X. X ) --> RR )
2219, 21sylib 208 . . 3 |- ( I e. Fin -> ( x e. X , y e. X |-> ( sqr ` sum_ k e. I ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) ) : ( X X. X ) --> RR )
233rrnval 33626 . . . 4 |- ( I e. Fin -> ( Rn ` I ) = ( x e. X , y e. X |-> ( sqr ` sum_ k e. I ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) ) )
2423feq1d 6030 . . 3 |- ( I e. Fin -> ( ( Rn ` I ) : ( X X. X ) --> RR <-> ( x e. X , y e. X |-> ( sqr ` sum_ k e. I ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) ) : ( X X. X ) --> RR ) )
2522, 24mpbird 247 . 2 |- ( I e. Fin -> ( Rn ` I ) : ( X X. X ) --> RR )
26 sqrt00 14004 . . . . . . . 8 |- ( ( sum_ k e. I ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) e. RR /\ 0 <_ sum_ k e. I ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) -> ( ( sqr ` sum_ k e. I ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) = 0 <-> sum_ k e. I ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) = 0 ) )
2715, 17, 26syl2anc 693 . . . . . . 7 |- ( ( I e. Fin /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( sqr ` sum_ k e. I ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) = 0 <-> sum_ k e. I ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) = 0 ) )
281, 14, 16fsum00 14530 . . . . . . 7 |- ( ( I e. Fin /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( sum_ k e. I ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) = 0 <-> A. k e. I ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) = 0 ) )
2927, 28bitrd 268 . . . . . 6 |- ( ( I e. Fin /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( sqr ` sum_ k e. I ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) = 0 <-> A. k e. I ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) = 0 ) )
3013recnd 10068 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. Fin /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ k e. I ) -> ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) e. CC )
31 sqeq0 12927 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) e. CC -> ( ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) = 0 <-> ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) = 0 ) )
3230, 31syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. Fin /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ k e. I ) -> ( ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) = 0 <-> ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) = 0 ) )
337recnd 10068 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. Fin /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ k e. I ) -> ( x ` k ) e. CC )
3412recnd 10068 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. Fin /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ k e. I ) -> ( y ` k ) e. CC )
3533, 34subeq0ad 10402 . . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. Fin /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ k e. I ) -> ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) = 0 <-> ( x ` k ) = ( y ` k ) ) )
3632, 35bitrd 268 . . . . . . 7 |- ( ( ( I e. Fin /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ k e. I ) -> ( ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) = 0 <-> ( x ` k ) = ( y ` k ) ) )
3736ralbidva 2985 . . . . . 6 |- ( ( I e. Fin /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( A. k e. I ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) = 0 <-> A. k e. I ( x ` k ) = ( y ` k ) ) )
3829, 37bitrd 268 . . . . 5 |- ( ( I e. Fin /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( sqr ` sum_ k e. I ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) = 0 <-> A. k e. I ( x ` k ) = ( y ` k ) ) )
393rrnmval 33627 . . . . . . 7 |- ( ( I e. Fin /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( x ( Rn ` I ) y ) = ( sqr ` sum_ k e. I ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) )
40393expb 1266 . . . . . 6 |- ( ( I e. Fin /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x ( Rn ` I ) y ) = ( sqr ` sum_ k e. I ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) )
4140eqeq1d 2624 . . . . 5 |- ( ( I e. Fin /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( x ( Rn ` I ) y ) = 0 <-> ( sqr ` sum_ k e. I ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) = 0 ) )
42 ffn 6045 . . . . . . 7 |- ( x : I --> RR -> x Fn I )
436, 42syl 17 . . . . . 6 |- ( ( I e. Fin /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> x Fn I )
44 ffn 6045 . . . . . . 7 |- ( y : I --> RR -> y Fn I )
4511, 44syl 17 . . . . . 6 |- ( ( I e. Fin /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> y Fn I )
46 eqfnfv 6311 . . . . . 6 |- ( ( x Fn I /\ y Fn I ) -> ( x = y <-> A. k e. I ( x ` k ) = ( y ` k ) ) )
4743, 45, 46syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ( I e. Fin /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x = y <-> A. k e. I ( x ` k ) = ( y ` k ) ) )
4838, 41, 473bitr4d 300 . . . 4 |- ( ( I e. Fin /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( x ( Rn ` I ) y ) = 0 <-> x = y ) )
49 simpll 790 . . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. Fin /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) -> I e. Fin )
507adantlr 751 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( I e. Fin /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) /\ k e. I ) -> ( x ` k ) e. RR )
51 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( I e. Fin /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) -> z e. X )
5251, 3syl6eleq 2711 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( I e. Fin /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) -> z e. ( RR ^m I ) )
53 elmapi 7879 . . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( RR ^m I ) -> z : I --> RR )
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I e. Fin /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) -> z : I --> RR )
5554ffvelrnda 6359 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( I e. Fin /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) /\ k e. I ) -> ( z ` k ) e. RR )
5650, 55resubcld 10458 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( I e. Fin /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) /\ k e. I ) -> ( ( x ` k ) - ( z ` k ) ) e. RR )
5712adantlr 751 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( I e. Fin /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) /\ k e. I ) -> ( y ` k ) e. RR )
5855, 57resubcld 10458 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( I e. Fin /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) /\ k e. I ) -> ( ( z ` k ) - ( y ` k ) ) e. RR )
5949, 56, 58trirn 23183 . . . . . . 7 |- ( ( ( I e. Fin /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) -> ( sqr ` sum_ k e. I ( ( ( ( x ` k ) - ( z ` k ) ) + ( ( z ` k ) - ( y ` k ) ) ) ^ 2 ) ) <_ ( ( sqr ` sum_ k e. I ( ( ( x ` k ) - ( z ` k ) ) ^ 2 ) ) + ( sqr ` sum_ k e. I ( ( ( z ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) ) )
6033adantlr 751 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( I e. Fin /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) /\ k e. I ) -> ( x ` k ) e. CC )
6155recnd 10068 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( I e. Fin /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) /\ k e. I ) -> ( z ` k ) e. CC )
6234adantlr 751 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( I e. Fin /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) /\ k e. I ) -> ( y ` k ) e. CC )
6360, 61, 62npncand 10416 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( I e. Fin /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) /\ k e. I ) -> ( ( ( x ` k ) - ( z ` k ) ) + ( ( z ` k ) - ( y ` k ) ) ) = ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) )
6463oveq1d 6665 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( I e. Fin /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) /\ k e. I ) -> ( ( ( ( x ` k ) - ( z ` k ) ) + ( ( z ` k ) - ( y ` k ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) )
6564sumeq2dv 14433 . . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. Fin /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) -> sum_ k e. I ( ( ( ( x ` k ) - ( z ` k ) ) + ( ( z ` k ) - ( y ` k ) ) ) ^ 2 ) = sum_ k e. I ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) )
6665fveq2d 6195 . . . . . . 7 |- ( ( ( I e. Fin /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) -> ( sqr ` sum_ k e. I ( ( ( ( x ` k ) - ( z ` k ) ) + ( ( z ` k ) - ( y ` k ) ) ) ^ 2 ) ) = ( sqr ` sum_ k e. I ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) )
67 sqsubswap 12924 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x ` k ) e. CC /\ ( z ` k ) e. CC ) -> ( ( ( x ` k ) - ( z ` k ) ) ^ 2 ) = ( ( ( z ` k ) - ( x ` k ) ) ^ 2 ) )
6860, 61, 67syl2anc 693 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( I e. Fin /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) /\ k e. I ) -> ( ( ( x ` k ) - ( z ` k ) ) ^ 2 ) = ( ( ( z ` k ) - ( x ` k ) ) ^ 2 ) )
6968sumeq2dv 14433 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. Fin /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) -> sum_ k e. I ( ( ( x ` k ) - ( z ` k ) ) ^ 2 ) = sum_ k e. I ( ( ( z ` k ) - ( x ` k ) ) ^ 2 ) )
7069fveq2d 6195 . . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. Fin /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) -> ( sqr ` sum_ k e. I ( ( ( x ` k ) - ( z ` k ) ) ^ 2 ) ) = ( sqr ` sum_ k e. I ( ( ( z ` k ) - ( x ` k ) ) ^ 2 ) ) )
7170oveq1d 6665 . . . . . . 7 |- ( ( ( I e. Fin /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) -> ( ( sqr ` sum_ k e. I ( ( ( x ` k ) - ( z ` k ) ) ^ 2 ) ) + ( sqr ` sum_ k e. I ( ( ( z ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) ) = ( ( sqr ` sum_ k e. I ( ( ( z ` k ) - ( x ` k ) ) ^ 2 ) ) + ( sqr ` sum_ k e. I ( ( ( z ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) ) )
7259, 66, 713brtr3d 4684 . . . . . 6 |- ( ( ( I e. Fin /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) -> ( sqr ` sum_ k e. I ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) <_ ( ( sqr ` sum_ k e. I ( ( ( z ` k ) - ( x ` k ) ) ^ 2 ) ) + ( sqr ` sum_ k e. I ( ( ( z ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) ) )
7340adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ( I e. Fin /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) -> ( x ( Rn ` I ) y ) = ( sqr ` sum_ k e. I ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) )
743rrnmval 33627 . . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. Fin /\ z e. X /\ x e. X ) -> ( z ( Rn ` I ) x ) = ( sqr ` sum_ k e. I ( ( ( z ` k ) - ( x ` k ) ) ^ 2 ) ) )
75743adant3r 1323 . . . . . . . . 9 |- ( ( I e. Fin /\ z e. X /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( z ( Rn ` I ) x ) = ( sqr ` sum_ k e. I ( ( ( z ` k ) - ( x ` k ) ) ^ 2 ) ) )
763rrnmval 33627 . . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. Fin /\ z e. X /\ y e. X ) -> ( z ( Rn ` I ) y ) = ( sqr ` sum_ k e. I ( ( ( z ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) )
77763adant3l 1322 . . . . . . . . 9 |- ( ( I e. Fin /\ z e. X /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( z ( Rn ` I ) y ) = ( sqr ` sum_ k e. I ( ( ( z ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) )
7875, 77oveq12d 6668 . . . . . . . 8 |- ( ( I e. Fin /\ z e. X /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( z ( Rn ` I ) x ) + ( z ( Rn ` I ) y ) ) = ( ( sqr ` sum_ k e. I ( ( ( z ` k ) - ( x ` k ) ) ^ 2 ) ) + ( sqr ` sum_ k e. I ( ( ( z ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) ) )
79783expa 1265 . . . . . . 7 |- ( ( ( I e. Fin /\ z e. X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( z ( Rn ` I ) x ) + ( z ( Rn ` I ) y ) ) = ( ( sqr ` sum_ k e. I ( ( ( z ` k ) - ( x ` k ) ) ^ 2 ) ) + ( sqr ` sum_ k e. I ( ( ( z ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) ) )
8079an32s 846 . . . . . 6 |- ( ( ( I e. Fin /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) -> ( ( z ( Rn ` I ) x ) + ( z ( Rn ` I ) y ) ) = ( ( sqr ` sum_ k e. I ( ( ( z ` k ) - ( x ` k ) ) ^ 2 ) ) + ( sqr ` sum_ k e. I ( ( ( z ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) ) )
8172, 73, 803brtr4d 4685 . . . . 5 |- ( ( ( I e. Fin /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) -> ( x ( Rn ` I ) y ) <_ ( ( z ( Rn ` I ) x ) + ( z ( Rn ` I ) y ) ) )
8281ralrimiva 2966 . . . 4 |- ( ( I e. Fin /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> A. z e. X ( x ( Rn ` I ) y ) <_ ( ( z ( Rn ` I ) x ) + ( z ( Rn ` I ) y ) ) )
8348, 82jca 554 . . 3 |- ( ( I e. Fin /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( ( x ( Rn ` I ) y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x ( Rn ` I ) y ) <_ ( ( z ( Rn ` I ) x ) + ( z ( Rn ` I ) y ) ) ) )
8483ralrimivva 2971 . 2 |- ( I e. Fin -> A. x e. X A. y e. X ( ( ( x ( Rn ` I ) y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x ( Rn ` I ) y ) <_ ( ( z ( Rn ` I ) x ) + ( z ( Rn ` I ) y ) ) ) )
85 ovex 6678 . . . 4 |- ( RR ^m I ) e. _V
863, 85eqeltri 2697 . . 3 |- X e. _V
87 ismet 22128 . . 3 |- ( X e. _V -> ( ( Rn ` I ) e. ( Met ` X ) <-> ( ( Rn ` I ) : ( X X. X ) --> RR /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x ( Rn ` I ) y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x ( Rn ` I ) y ) <_ ( ( z ( Rn ` I ) x ) + ( z ( Rn ` I ) y ) ) ) ) ) )
8886, 87ax-mp 5 . 2 |- ( ( Rn ` I ) e. ( Met ` X ) <-> ( ( Rn ` I ) : ( X X. X ) --> RR /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x ( Rn ` I ) y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x ( Rn ` I ) y ) <_ ( ( z ( Rn ` I ) x ) + ( z ( Rn ` I ) y ) ) ) ) )
8925, 84, 88sylanbrc 698 1 |- ( I e. Fin -> ( Rn ` I ) e. ( Met ` X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   <_ cle 10075   - cmin 10266   2c2 11070   ^cexp 12860   sqrcsqrt 13973   sum_csu 14416   Metcme 19732   Rncrrn 33624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-met 19740  df-rrn 33625
This theorem is referenced by:  rrncmslem  33631  rrncms  33632  rrnequiv  33634  rrntotbnd  33635  rrnheibor  33636  ismrer1  33637  reheibor  33638
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