Theorem fmpt2 7237

Description: Functionality, domain and range of a class given by the "maps to" notation. (Contributed by FL, 17-May-2010.)

Hypothesis

Ref	Expression
fmpt2.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fmpt2	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ 𝐷 ↔ 𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶𝐷)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem fmpt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpt2.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
2	1	fmpt2x 7236	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ 𝐷 ↔ 𝐹:∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵)⟶𝐷)
3		iunxpconst 5175	. . 3 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵) = (𝐴 × 𝐵)
4	3	feq2i 6037	. 2 ⊢ (𝐹:∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵)⟶𝐷 ↔ 𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶𝐷)
5	2, 4	bitri 264	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ 𝐷 ↔ 𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶𝐷)

Syntax hints:   ↔ wb 196   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  {csn 4177  ∪ ciun 4520   × cxp 5112  ⟶wf 5884   ↦ cmpt2 6652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169

This theorem is referenced by:  fnmpt2  7238  ovmpt2elrn  7241  fmpt2co  7260  eroprf  7845  omxpenlem  8061  mapxpen  8126  dffi3  8337  ixpiunwdom  8496  cantnfvalf  8562  iunfictbso  8937  axdc4lem  9277  axcclem  9279  addpqf  9766  mulpqf  9768  subf  10283  xaddf  12055  xmulf  12102  ixxf  12185  ioof  12271  fzf  12330  fzof  12467  axdc4uzlem  12782  sadcf  15175  smupf  15200  gcdf  15234  eucalgf  15296  vdwapf  15676  prdsval  16115  prdsplusg  16118  prdsmulr  16119  prdsvsca  16120  prdsds  16124  prdshom  16127  imasvscaf  16199  xpsff1o  16228  wunnat  16616  catcoppccl  16758  catcfuccl  16759  catcxpccl  16847  evlfcl  16862  hofcl  16899  plusffval  17247  mgmplusf  17251  grpsubf  17494  subgga  17733  lactghmga  17824  sylow1lem2  18014  sylow3lem1  18042  lsmssv  18058  lsmidm  18077  efgmf  18126  efgtf  18135  frgpuptf  18183  scaffval  18881  lmodscaf  18885  evlslem2  19512  xrsds  19789  ipffval  19993  phlipf  19997  mamucl  20207  matbas2d  20229  mamumat1cl  20245  ordtbas2  20995  iccordt  21018  txuni2  21368  xkotf  21388  txbasval  21409  tx1stc  21453  xkococn  21463  cnmpt12  21470  cnmpt21  21474  cnmpt2t  21476  cnmpt22  21477  cnmptcom  21481  cnmpt2k  21491  txswaphmeo  21608  xpstopnlem1  21612  cnmpt2plusg  21892  cnmpt2vsca  21998  prdsdsf  22172  blfvalps  22188  blfps  22211  blf  22212  stdbdmet  22321  met2ndci  22327  dscmet  22377  xrsxmet  22612  cnmpt2ds  22646  cnmpt2pc  22727  iimulcn  22737  ishtpy  22771  reparphti  22797  cnmpt2ip  23047  bcthlem5  23125  rrxmet  23191  dyadf  23359  itg1addlem2  23464  mbfi1fseqlem1  23482  mbfi1fseqlem3  23484  mbfi1fseqlem4  23485  mbfi1fseqlem5  23486  cxpcn3  24489  sgmf  24871  midf  25668  grpodivf  27392  nvmf  27500  ipf  27568  hvsubf  27872  ofoprabco  29464  sitmf  30414  cvxsconn  31225  cvmlift2lem5  31289  uncf  33388  mblfinlem1  33446  mblfinlem2  33447  sdclem1  33539  metf1o  33551  rrnval  33626  rrnmet  33628  frmx  37478  frmy  37479  icof  39411