sge0gtfsumgt - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem sge0gtfsumgt 40660

Description: If the generalized sum of nonnegative reals is larger than a given number, then that number can be dominated by a finite subsum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
sge0gtfsumgt.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
sge0gtfsumgt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0gtfsumgt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
sge0gtfsumgt.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
sge0gtfsumgt.l	⊢ (𝜑 → 𝐶 < (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))

**Assertion**
Ref	Expression
sge0gtfsumgt	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)

Distinct variable groups: 𝐴,𝑘,𝑦 𝑦,𝐵 𝑦,𝐶 𝜑,𝑦 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑘) 𝐵(𝑘) 𝐶(𝑘) 𝑉(𝑦,𝑘)

**Proof of Theorem sge0gtfsumgt**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0gtfsumgt.k	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		nfcv 2764	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘Σ^{^}
3		nfmpt1 4747	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
4	2, 3	nffv 6198	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
5		nfcv 2764	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘ℝ
6	4, 5	nfel 2777	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ
7	1, 6	nfan 1828	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)
8		sge0gtfsumgt.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
9	8	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ 𝑉)
10		icossicc 12260	. . . . . 6 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
11		sge0gtfsumgt.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
12	10, 11	sseldi 3601	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
13	12	adantlr 751	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
14		sge0gtfsumgt.l	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
15	14	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐶 < (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
16		sge0gtfsumgt.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
17	16	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
18		simpr 477	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)
19		difrp 11868	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐶 < (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ↔ ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶) ∈ ℝ⁺))
20	17, 18, 19	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐶 < (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ↔ ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶) ∈ ℝ⁺))
21	15, 20	mpbid 222	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶) ∈ ℝ⁺)
22	7, 9, 13, 21, 18	sge0ltfirpmpt2 40643	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶)))
23		simpr 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶)))
24		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
25	1, 24	nfan 1828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
26		elinel2 3800	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
27	26	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin)
28		simpll 790	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝜑)
29		elpwinss 39216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
30	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
31		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝑦)
32	30, 31	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝐴)
33	32	adantll 750	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝐴)
34		rge0ssre 12280	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
35	34, 11	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
36	28, 33, 35	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ ℝ)
37	25, 27, 36	fsumreclf 39808	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℝ)
38	37	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℂ)
39	38	ad4ant13 1292	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℂ)
40	18	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)
41	40	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℂ)
42	17	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → 𝐶 ∈ ℝ)
43	42	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → 𝐶 ∈ ℂ)
44	41, 43	subcld 10392	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶) ∈ ℂ)
45	39, 44	addcomd 10238	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶)) = (((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶) + Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵))
46	23, 45	breqtrd 4679	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶) + Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵))
47	40, 42	resubcld 10458	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶) ∈ ℝ)
48	37	ad4ant13 1292	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℝ)
49	40, 47, 48	ltsubadd2d 10625	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → (((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶)) < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ↔ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶) + Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)))
50	46, 49	mpbird 247	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶)) < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)
51	41, 43	nncand 10397	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶)) = 𝐶)
52	51	breq1d 4663	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → (((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶)) < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ↔ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵))
53	50, 52	mpbid 222	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)
54	53	ex 450	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶)) → 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵))
55	54	reximdva 3017	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶)) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵))
56	22, 55	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)
57		simpl 473	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → 𝜑)
58		simpr 477	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → ¬ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)
59		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
60	1, 11, 59	fmptdf 6387	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,)+∞))
61	10	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞))
62	60, 61	fssd 6057	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
63	8, 62	sge0repnf 40603	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞))
64	63	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞))
65	58, 64	mtbid 314	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → ¬ ¬ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞)
66		notnotb 304	. . . 4 ⊢ ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞ ↔ ¬ ¬ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞)
67	65, 66	sylibr 224	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞)
68	4	nfeq1 2778	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞
69	1, 68	nfan 1828	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞)
70	8	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → 𝐴 ∈ 𝑉)
71	11	adantlr 751	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
72		simpr 477	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞)
73	16	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → 𝐶 ∈ ℝ)
74	69, 70, 71, 72, 73	sge0pnffsumgt 40659	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)
75	57, 67, 74	syl2anc 693	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)
76	56, 75	pm2.61dan 832	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 196 ∧ wa 384 = wceq 1483 Ⅎwnf 1708 ∈ wcel 1990 ∃wrex 2913 ∩ cin 3573 ⊆ wss 3574 𝒫 cpw 4158 class class class wbr 4653 ↦ cmpt 4729 ‘cfv 5888 (class class class)co 6650 Fincfn 7955 ℂcc 9934 ℝcr 9935 0cc0 9936 + caddc 9939 +∞cpnf 10071 < clt 10074 − cmin 10266 ℝ⁺crp 11832 [,)cico 12177 [,]cicc 12178 Σcsu 14416 Σ^{^}csumge0 40579

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-oi 8415 df-card 8765 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-sum 14417 df-sumge0 40580

This theorem is referenced by: sge0uzfsumgt 40661 sge0seq 40663

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