Theorem sge0gtfsumgt 40660

Description: If the generalized sum of nonnegative reals is larger than a given number, then that number can be dominated by a finite subsum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0gtfsumgt.k	|- F/ k ph
sge0gtfsumgt.a	|- ( ph -> A e. V )
sge0gtfsumgt.b	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,) +oo ) )
sge0gtfsumgt.c	|- ( ph -> C e. RR )
sge0gtfsumgt.l	|- ( ph -> C < (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) )

Assertion

Ref	Expression
sge0gtfsumgt	|- ( ph -> E. y e. ( ~P A i^i Fin ) C < sum_ k e. y B )

Distinct variable groups:   A, k, y   y, B   y, C   ph, y

Allowed substitution hints:   ph( k)   B( k)   C( k)   V( y, k)

Proof of Theorem sge0gtfsumgt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0gtfsumgt.k	. . . . 5 |- F/ k ph
2		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ kΣ^
3		nfmpt1 4747	. . . . . . 7 |- F/_ k ( k e. A |-> B )
4	2, 3	nffv 6198	. . . . . 6 |- F/_ k (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) )
5		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ k RR
6	4, 5	nfel 2777	. . . . 5 |- F/ k (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR
7	1, 6	nfan 1828	. . . 4 |- F/ k ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR )
8		sge0gtfsumgt.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. V )
9	8	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR ) -> A e. V )
10		icossicc 12260	. . . . . 6 |- ( 0 [,) +oo ) C_ ( 0 [,] +oo )
11		sge0gtfsumgt.b	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,) +oo ) )
12	10, 11	sseldi 3601	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
13	12	adantlr 751	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR ) /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
14		sge0gtfsumgt.l	. . . . . 6 |- ( ph -> C < (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) )
15	14	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR ) -> C < (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) )
16		sge0gtfsumgt.c	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. RR )
17	16	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR ) -> C e. RR )
18		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR ) -> (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR )
19		difrp 11868	. . . . . 6 |- ( ( C e. RR /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR ) -> ( C < (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) <-> ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) - C ) e. RR+ ) )
20	17, 18, 19	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR ) -> ( C < (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) <-> ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) - C ) e. RR+ ) )
21	15, 20	mpbid 222	. . . 4 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR ) -> ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) - C ) e. RR+ )
22	7, 9, 13, 21, 18	sge0ltfirpmpt2 40643	. . 3 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR ) -> E. y e. ( ~P A i^i Fin ) (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. y B + ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) - C ) ) )
23		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. y B + ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) - C ) ) ) -> (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. y B + ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) - C ) ) )
24		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ k y e. ( ~P A i^i Fin )
25	1, 24	nfan 1828	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ k ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) )
26		elinel2 3800	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( ~P A i^i Fin ) -> y e. Fin )
27	26	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> y e. Fin )
28		simpll 790	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. y ) -> ph )
29		elpwinss 39216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. ( ~P A i^i Fin ) -> y C_ A )
30	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ k e. y ) -> y C_ A )
31		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ k e. y ) -> k e. y )
32	30, 31	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ k e. y ) -> k e. A )
33	32	adantll 750	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. y ) -> k e. A )
34		rge0ssre 12280	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
35	34, 11	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. RR )
36	28, 33, 35	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. y ) -> B e. RR )
37	25, 27, 36	fsumreclf 39808	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ k e. y B e. RR )
38	37	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ k e. y B e. CC )
39	38	ad4ant13 1292	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. y B + ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) - C ) ) ) -> sum_ k e. y B e. CC )
40	18	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. y B + ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) - C ) ) ) -> (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR )
41	40	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. y B + ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) - C ) ) ) -> (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. CC )
42	17	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. y B + ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) - C ) ) ) -> C e. RR )
43	42	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. y B + ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) - C ) ) ) -> C e. CC )
44	41, 43	subcld 10392	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. y B + ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) - C ) ) ) -> ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) - C ) e. CC )
45	39, 44	addcomd 10238	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. y B + ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) - C ) ) ) -> ( sum_ k e. y B + ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) - C ) ) = ( ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) - C ) + sum_ k e. y B ) )
46	23, 45	breqtrd 4679	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. y B + ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) - C ) ) ) -> (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) - C ) + sum_ k e. y B ) )
47	40, 42	resubcld 10458	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. y B + ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) - C ) ) ) -> ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) - C ) e. RR )
48	37	ad4ant13 1292	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. y B + ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) - C ) ) ) -> sum_ k e. y B e. RR )
49	40, 47, 48	ltsubadd2d 10625	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. y B + ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) - C ) ) ) -> ( ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) - ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) - C ) ) < sum_ k e. y B <-> (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) - C ) + sum_ k e. y B ) ) )
50	46, 49	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. y B + ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) - C ) ) ) -> ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) - ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) - C ) ) < sum_ k e. y B )
51	41, 43	nncand 10397	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. y B + ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) - C ) ) ) -> ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) - ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) - C ) ) = C )
52	51	breq1d 4663	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. y B + ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) - C ) ) ) -> ( ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) - ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) - C ) ) < sum_ k e. y B <-> C < sum_ k e. y B ) )
53	50, 52	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. y B + ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) - C ) ) ) -> C < sum_ k e. y B )
54	53	ex 450	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. y B + ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) - C ) ) -> C < sum_ k e. y B ) )
55	54	reximdva 3017	. . 3 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR ) -> ( E. y e. ( ~P A i^i Fin ) (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. y B + ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) - C ) ) -> E. y e. ( ~P A i^i Fin ) C < sum_ k e. y B ) )
56	22, 55	mpd 15	. 2 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR ) -> E. y e. ( ~P A i^i Fin ) C < sum_ k e. y B )
57		simpl 473	. . 3 |- ( ( ph /\ -. (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR ) -> ph )
58		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR ) -> -. (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR )
59		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( k e. A |-> B ) = ( k e. A |-> B )
60	1, 11, 59	fmptdf 6387	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( k e. A |-> B ) : A --> ( 0 [,) +oo ) )
61	10	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 0 [,) +oo ) C_ ( 0 [,] +oo ) )
62	60, 61	fssd 6057	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( k e. A |-> B ) : A --> ( 0 [,] +oo ) )
63	8, 62	sge0repnf 40603	. . . . . 6 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR <-> -. (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = +oo ) )
64	63	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR ) -> ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR <-> -. (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = +oo ) )
65	58, 64	mtbid 314	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR ) -> -. -. (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = +oo )
66		notnotb 304	. . . 4 |- ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = +oo <-> -. -. (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = +oo )
67	65, 66	sylibr 224	. . 3 |- ( ( ph /\ -. (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR ) -> (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = +oo )
68	4	nfeq1 2778	. . . . 5 |- F/ k (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = +oo
69	1, 68	nfan 1828	. . . 4 |- F/ k ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = +oo )
70	8	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = +oo ) -> A e. V )
71	11	adantlr 751	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = +oo ) /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,) +oo ) )
72		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = +oo ) -> (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = +oo )
73	16	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = +oo ) -> C e. RR )
74	69, 70, 71, 72, 73	sge0pnffsumgt 40659	. . 3 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = +oo ) -> E. y e. ( ~P A i^i Fin ) C < sum_ k e. y B )
75	57, 67, 74	syl2anc 693	. 2 |- ( ( ph /\ -. (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR ) -> E. y e. ( ~P A i^i Fin ) C < sum_ k e. y B )
76	56, 75	pm2.61dan 832	1 |- ( ph -> E. y e. ( ~P A i^i Fin ) C < sum_ k e. y B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   +oocpnf 10071   < clt 10074   - cmin 10266   RR+crp 11832   [,)cico 12177   [,]cicc 12178   sum_csu 14416  Σ^{^}csumge0 40579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-sumge0 40580

This theorem is referenced by:  sge0uzfsumgt  40661  sge0seq  40663