Theorem sqrtpwpw2p 41450

Description: The floor of the square root of 2 to the power of 2 to the power of a positive integer plus a bounded nonnegative integer. (Contributed by AV, 28-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
sqrtpwpw2p	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → (⌊‘(√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))))

Proof of Theorem sqrtpwpw2p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
3		npcan1 10455	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
5	4	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1))
6	5	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) = (2↑((𝑁 − 1) + 1)))
7		2cnd 11093	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
8		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
9	8	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
10	7, 9	expp1d 13009	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑((𝑁 − 1) + 1)) = ((2↑(𝑁 − 1)) · 2))
11	6, 10	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) = ((2↑(𝑁 − 1)) · 2))
12	11	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(2↑𝑁)) = (2↑((2↑(𝑁 − 1)) · 2)))
13		2nn0 11309	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14	13	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ0)
15	13	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ0)
16	15, 8	nn0expcld 13031	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℕ0)
17	16	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℕ0)
18	7, 14, 17	expmuld 13011	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2))
19	12, 18	eqtrd 2656	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(2↑𝑁)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2))
20		nn0ge0 11318	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑀)
21	20	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑀)
22		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
23	15, 22	nn0expcld 13031	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑁) ∈ ℕ0)
24	15, 23	nn0expcld 13031	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℕ0)
25	24	nn0red 11352	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℝ)
26		nn0re 11301	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ)
27	25, 26	anim12i 590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
28		addge01 10538	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑀 ↔ (2↑(2↑𝑁)) ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)))
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝑀 ↔ (2↑(2↑𝑁)) ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)))
30	21, 29	mpbid 222	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(2↑𝑁)) ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))
31	19, 30	eqbrtrrd 4677	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))
32	24	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℕ0)
33		simpr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
34	32, 33	nn0addcld 11355	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) ∈ ℕ0)
35		nn0re 11301	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) ∈ ℝ)
36		nn0ge0 11318	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) ∈ ℕ0 → 0 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))
37	35, 36	jca 554	. . . . . . . 8 ⊢ (((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) ∈ ℕ0 → (((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)))
38	34, 37	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)))
39		resqrtth 13996	. . . . . . 7 ⊢ ((((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) → ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))↑2) = ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))
40	38, 39	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))↑2) = ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))
41	31, 40	breqtrrd 4681	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) ≤ ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))↑2))
42	15, 16	nn0expcld 13031	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℕ0)
43		nn0re 11301	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℕ0 → (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
44		nn0ge0 11318	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (2↑(2↑(𝑁 − 1))))
45	43, 44	jca 554	. . . . . . . 8 ⊢ ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑(2↑(𝑁 − 1)))))
46	42, 45	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑(2↑(𝑁 − 1)))))
47	46	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑(2↑(𝑁 − 1)))))
48		resqrtcl 13994	. . . . . . 7 ⊢ ((((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) → (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ∈ ℝ)
49	38, 48	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ∈ ℝ)
50		sqrtge0 13998	. . . . . . 7 ⊢ ((((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) → 0 ≤ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)))
51	38, 50	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)))
52		le2sq 12938	. . . . . 6 ⊢ ((((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) ∧ ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)))) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ≤ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ↔ ((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) ≤ ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))↑2)))
53	47, 49, 51, 52	syl12anc 1324	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ≤ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ↔ ((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) ≤ ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))↑2)))
54	41, 53	mpbird 247	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ≤ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)))
55	54	3adant3 1081	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ≤ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)))
56	26	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
57		peano2nn0 11333	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℕ0 → ((2↑(𝑁 − 1)) + 1) ∈ ℕ0)
58	16, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑(𝑁 − 1)) + 1) ∈ ℕ0)
59	15, 58	nn0expcld 13031	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ∈ ℕ0)
60	59	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ∈ ℕ0)
61		peano2nn0 11333	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ∈ ℕ0 → ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1) ∈ ℕ0)
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1) ∈ ℕ0)
63	62	nn0red 11352	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1) ∈ ℝ)
64	32	nn0red 11352	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℝ)
65		axltadd 10111	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1) ∈ ℝ ∧ (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℝ) → (𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1) → ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) < ((2↑(2↑𝑁)) + ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1))))
66	56, 63, 64, 65	syl3anc 1326	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1) → ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) < ((2↑(2↑𝑁)) + ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1))))
67	66	3impia 1261	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) < ((2↑(2↑𝑁)) + ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)))
68	24	nn0cnd 11353	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℂ)
69	68	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℂ)
70	59	nn0cnd 11353	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ∈ ℂ)
71	70	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ∈ ℂ)
72		1cnd 10056	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → 1 ∈ ℂ)
73	69, 71, 72	addassd 10062	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → (((2↑(2↑𝑁)) + (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1))) + 1) = ((2↑(2↑𝑁)) + ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)))
74	67, 73	breqtrrd 4681	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) < (((2↑(2↑𝑁)) + (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1))) + 1))
75	42	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
76		binom21 12980	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ → (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2) = ((((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) + 1))
77	75, 76	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2) = ((((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) + 1))
78		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
79	78, 15, 16	expmuld 13011	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2))
80	78, 8	expp1d 13009	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((𝑁 − 1) + 1)) = ((2↑(𝑁 − 1)) · 2))
81	1, 3	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
82	81	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((𝑁 − 1) + 1)) = (2↑𝑁))
83	80, 82	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑(𝑁 − 1)) · 2) = (2↑𝑁))
84	83	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) = (2↑(2↑𝑁)))
85	79, 84	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) = (2↑(2↑𝑁)))
86	78, 75	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2))
87	78, 16	expp1d 13009	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2))
88	86, 87	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) = (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)))
89	85, 88	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) = ((2↑(2↑𝑁)) + (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1))))
90	89	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) + 1) = (((2↑(2↑𝑁)) + (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1))) + 1))
91	77, 90	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2) = (((2↑(2↑𝑁)) + (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1))) + 1))
92	91	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2) = (((2↑(2↑𝑁)) + (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1))) + 1))
93	40, 92	breq12d 4666	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))↑2) < (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2) ↔ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) < (((2↑(2↑𝑁)) + (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1))) + 1)))
94	93	3adant3 1081	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → (((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))↑2) < (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2) ↔ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) < (((2↑(2↑𝑁)) + (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1))) + 1)))
95	74, 94	mpbird 247	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))↑2) < (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2))
96	34	nn0red 11352	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) ∈ ℝ)
97		nn0ge0 11318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (2↑(2↑𝑁)))
98	24, 97	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (2↑(2↑𝑁)))
99	98, 20	anim12i 590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (2↑(2↑𝑁)) ∧ 0 ≤ 𝑀))
100	27, 99	jca 554	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (2↑(2↑𝑁)) ∧ 0 ≤ 𝑀)))
101		addge0 10517	. . . . . . . 8 ⊢ ((((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (2↑(2↑𝑁)) ∧ 0 ≤ 𝑀)) → 0 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))
102	100, 101	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))
103	96, 102	resqrtcld 14156	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ∈ ℝ)
104		peano2nn0 11333	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ∈ ℕ0)
105	42, 104	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ∈ ℕ0)
106		nn0re 11301	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ∈ ℝ)
107		nn0ge0 11318	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ∈ ℕ0 → 0 ≤ ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1))
108	106, 107	jca 554	. . . . . . . 8 ⊢ (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ∈ ℕ0 → (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)))
109	105, 108	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)))
110	109	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)))
111		lt2sq 12937	. . . . . 6 ⊢ ((((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))) ∧ (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1))) → ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) < ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ↔ ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))↑2) < (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2)))
112	103, 51, 110, 111	syl21anc 1325	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) < ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ↔ ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))↑2) < (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2)))
113	112	3adant3 1081	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) < ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ↔ ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))↑2) < (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2)))
114	95, 113	mpbird 247	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) < ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1))
115	55, 114	jca 554	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ≤ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ∧ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) < ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)))
116	42	nn0zd 11480	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℤ)
117	116	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℤ)
118	49, 117	jca 554	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ∈ ℝ ∧ (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℤ))
119	118	3adant3 1081	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ∈ ℝ ∧ (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℤ))
120		flbi 12617	. . 3 ⊢ (((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ∈ ℝ ∧ (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℤ) → ((⌊‘(√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ↔ ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ≤ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ∧ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) < ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1))))
121	119, 120	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → ((⌊‘(√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ↔ ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ≤ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ∧ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) < ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1))))
122	115, 121	mpbird 247	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → (⌊‘(√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266  ℕcn 11020  2c2 11070  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ⌊cfl 12591  ↑cexp 12860  √csqrt 13973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975

This theorem is referenced by:  fmtnosqrt  41451