Theorem sqrtpwpw2p 41450

Description: The floor of the square root of 2 to the power of 2 to the power of a positive integer plus a bounded nonnegative integer. (Contributed by AV, 28-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
sqrtpwpw2p	|- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 /\ M < ( ( 2 ^ ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) -> ( |_ ` ( sqr ` ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) ) ) = ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) )

Proof of Theorem sqrtpwpw2p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> N e. CC )
2	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 ) -> N e. CC )
3		npcan1 10455	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. CC -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
5	4	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 ) -> N = ( ( N - 1 ) + 1 ) )
6	5	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ N ) = ( 2 ^ ( ( N - 1 ) + 1 ) ) )
7		2cnd 11093	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 ) -> 2 e. CC )
8		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )
9	8	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 ) -> ( N - 1 ) e. NN0 )
10	7, 9	expp1d 13009	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) )
11	6, 10	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ N ) = ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) )
12	11	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) = ( 2 ^ ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) )
13		2nn0 11309	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. NN0
14	13	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 ) -> 2 e. NN0 )
15	13	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> 2 e. NN0 )
16	15, 8	nn0expcld 13031	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> ( 2 ^ ( N - 1 ) ) e. NN0 )
17	16	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( N - 1 ) ) e. NN0 )
18	7, 14, 17	expmuld 13011	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) = ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ^ 2 ) )
19	12, 18	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) = ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ^ 2 ) )
20		nn0ge0 11318	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN0 -> 0 <_ M )
21	20	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 ) -> 0 <_ M )
22		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
23	15, 22	nn0expcld 13031	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> ( 2 ^ N ) e. NN0 )
24	15, 23	nn0expcld 13031	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) e. NN0 )
25	24	nn0red 11352	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) e. RR )
26		nn0re 11301	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN0 -> M e. RR )
27	25, 26	anim12i 590	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) e. RR /\ M e. RR ) )
28		addge01 10538	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) e. RR /\ M e. RR ) -> ( 0 <_ M <-> ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) <_ ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) ) )
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 ) -> ( 0 <_ M <-> ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) <_ ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) ) )
30	21, 29	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) <_ ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) )
31	19, 30	eqbrtrrd 4677	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ^ 2 ) <_ ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) )
32	24	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) e. NN0 )
33		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 ) -> M e. NN0 )
34	32, 33	nn0addcld 11355	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) e. NN0 )
35		nn0re 11301	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) e. NN0 -> ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) e. RR )
36		nn0ge0 11318	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) e. NN0 -> 0 <_ ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) )
37	35, 36	jca 554	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) e. NN0 -> ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) e. RR /\ 0 <_ ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) ) )
38	34, 37	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) e. RR /\ 0 <_ ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) ) )
39		resqrtth 13996	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) e. RR /\ 0 <_ ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) ) -> ( ( sqr ` ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) ) ^ 2 ) = ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) )
40	38, 39	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 ) -> ( ( sqr ` ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) ) ^ 2 ) = ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) )
41	31, 40	breqtrrd 4681	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ^ 2 ) <_ ( ( sqr ` ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) ) ^ 2 ) )
42	15, 16	nn0expcld 13031	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) e. NN0 )
43		nn0re 11301	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) e. NN0 -> ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) e. RR )
44		nn0ge0 11318	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) e. NN0 -> 0 <_ ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) )
45	43, 44	jca 554	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) e. NN0 -> ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
46	42, 45	syl 17	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
47	46	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
48		resqrtcl 13994	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) e. RR /\ 0 <_ ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) ) -> ( sqr ` ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) ) e. RR )
49	38, 48	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 ) -> ( sqr ` ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) ) e. RR )
50		sqrtge0 13998	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) e. RR /\ 0 <_ ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) ) -> 0 <_ ( sqr ` ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) ) )
51	38, 50	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 ) -> 0 <_ ( sqr ` ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) ) )
52		le2sq 12938	. . . . . 6 |- ( ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) /\ ( ( sqr ` ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) ) ) ) -> ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) <_ ( sqr ` ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) ) <-> ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ^ 2 ) <_ ( ( sqr ` ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) ) ^ 2 ) ) )
53	47, 49, 51, 52	syl12anc 1324	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) <_ ( sqr ` ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) ) <-> ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ^ 2 ) <_ ( ( sqr ` ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) ) ^ 2 ) ) )
54	41, 53	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) <_ ( sqr ` ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) ) )
55	54	3adant3 1081	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 /\ M < ( ( 2 ^ ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) -> ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) <_ ( sqr ` ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) ) )
56	26	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 ) -> M e. RR )
57		peano2nn0 11333	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) e. NN0 -> ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) + 1 ) e. NN0 )
58	16, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) + 1 ) e. NN0 )
59	15, 58	nn0expcld 13031	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> ( 2 ^ ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) + 1 ) ) e. NN0 )
60	59	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) + 1 ) ) e. NN0 )
61		peano2nn0 11333	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 ^ ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) + 1 ) ) e. NN0 -> ( ( 2 ^ ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) + 1 ) ) + 1 ) e. NN0 )
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) + 1 ) ) + 1 ) e. NN0 )
63	62	nn0red 11352	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) + 1 ) ) + 1 ) e. RR )
64	32	nn0red 11352	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) e. RR )
65		axltadd 10111	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. RR /\ ( ( 2 ^ ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) + 1 ) ) + 1 ) e. RR /\ ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) e. RR ) -> ( M < ( ( 2 ^ ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) + 1 ) ) + 1 ) -> ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) < ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + ( ( 2 ^ ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) ) )
66	56, 63, 64, 65	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 ) -> ( M < ( ( 2 ^ ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) + 1 ) ) + 1 ) -> ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) < ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + ( ( 2 ^ ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) ) )
67	66	3impia 1261	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 /\ M < ( ( 2 ^ ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) -> ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) < ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + ( ( 2 ^ ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) )
68	24	nn0cnd 11353	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) e. CC )
69	68	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 /\ M < ( ( 2 ^ ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) -> ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) e. CC )
70	59	nn0cnd 11353	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( 2 ^ ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) + 1 ) ) e. CC )
71	70	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 /\ M < ( ( 2 ^ ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) -> ( 2 ^ ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) + 1 ) ) e. CC )
72		1cnd 10056	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 /\ M < ( ( 2 ^ ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) -> 1 e. CC )
73	69, 71, 72	addassd 10062	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 /\ M < ( ( 2 ^ ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) -> ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + ( 2 ^ ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) + 1 ) ) ) + 1 ) = ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + ( ( 2 ^ ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) )
74	67, 73	breqtrrd 4681	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 /\ M < ( ( 2 ^ ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) -> ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) < ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + ( 2 ^ ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) + 1 ) ) ) + 1 ) )
75	42	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) e. CC )
76		binom21 12980	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) e. CC -> ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) + 1 ) ^ 2 ) = ( ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) ) + 1 ) )
77	75, 76	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) + 1 ) ^ 2 ) = ( ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) ) + 1 ) )
78		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> 2 e. CC )
79	78, 15, 16	expmuld 13011	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> ( 2 ^ ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) = ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ^ 2 ) )
80	78, 8	expp1d 13009	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> ( 2 ^ ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) )
81	1, 3	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. NN -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
82	81	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> ( 2 ^ ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( 2 ^ N ) )
83	80, 82	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) = ( 2 ^ N ) )
84	83	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> ( 2 ^ ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) = ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) )
85	79, 84	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ^ 2 ) = ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) )
86	78, 75	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> ( 2 x. ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) = ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) x. 2 ) )
87	78, 16	expp1d 13009	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> ( 2 ^ ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) + 1 ) ) = ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) x. 2 ) )
88	86, 87	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> ( 2 x. ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) = ( 2 ^ ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) + 1 ) ) )
89	85, 88	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) ) = ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + ( 2 ^ ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) + 1 ) ) ) )
90	89	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) ) + 1 ) = ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + ( 2 ^ ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) + 1 ) ) ) + 1 ) )
91	77, 90	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) + 1 ) ^ 2 ) = ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + ( 2 ^ ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) + 1 ) ) ) + 1 ) )
92	91	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) + 1 ) ^ 2 ) = ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + ( 2 ^ ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) + 1 ) ) ) + 1 ) )
93	40, 92	breq12d 4666	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( sqr ` ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) ) ^ 2 ) < ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) + 1 ) ^ 2 ) <-> ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) < ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + ( 2 ^ ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) + 1 ) ) ) + 1 ) ) )
94	93	3adant3 1081	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 /\ M < ( ( 2 ^ ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) -> ( ( ( sqr ` ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) ) ^ 2 ) < ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) + 1 ) ^ 2 ) <-> ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) < ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + ( 2 ^ ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) + 1 ) ) ) + 1 ) ) )
95	74, 94	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 /\ M < ( ( 2 ^ ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) -> ( ( sqr ` ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) ) ^ 2 ) < ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) + 1 ) ^ 2 ) )
96	34	nn0red 11352	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) e. RR )
97		nn0ge0 11318	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) e. NN0 -> 0 <_ ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) )
98	24, 97	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> 0 <_ ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) )
99	98, 20	anim12i 590	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 ) -> ( 0 <_ ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) /\ 0 <_ M ) )
100	27, 99	jca 554	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) e. RR /\ M e. RR ) /\ ( 0 <_ ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) /\ 0 <_ M ) ) )
101		addge0 10517	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) e. RR /\ M e. RR ) /\ ( 0 <_ ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) /\ 0 <_ M ) ) -> 0 <_ ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) )
102	100, 101	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 ) -> 0 <_ ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) )
103	96, 102	resqrtcld 14156	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 ) -> ( sqr ` ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) ) e. RR )
104		peano2nn0 11333	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) e. NN0 -> ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) + 1 ) e. NN0 )
105	42, 104	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) + 1 ) e. NN0 )
106		nn0re 11301	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) + 1 ) e. NN0 -> ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) + 1 ) e. RR )
107		nn0ge0 11318	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) + 1 ) e. NN0 -> 0 <_ ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) + 1 ) )
108	106, 107	jca 554	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) + 1 ) e. NN0 -> ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) + 1 ) e. RR /\ 0 <_ ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) + 1 ) ) )
109	105, 108	syl 17	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) + 1 ) e. RR /\ 0 <_ ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) + 1 ) ) )
110	109	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) + 1 ) e. RR /\ 0 <_ ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) + 1 ) ) )
111		lt2sq 12937	. . . . . 6 |- ( ( ( ( sqr ` ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) ) ) /\ ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) + 1 ) e. RR /\ 0 <_ ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) + 1 ) ) ) -> ( ( sqr ` ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) ) < ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) + 1 ) <-> ( ( sqr ` ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) ) ^ 2 ) < ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) + 1 ) ^ 2 ) ) )
112	103, 51, 110, 111	syl21anc 1325	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 ) -> ( ( sqr ` ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) ) < ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) + 1 ) <-> ( ( sqr ` ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) ) ^ 2 ) < ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) + 1 ) ^ 2 ) ) )
113	112	3adant3 1081	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 /\ M < ( ( 2 ^ ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) -> ( ( sqr ` ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) ) < ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) + 1 ) <-> ( ( sqr ` ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) ) ^ 2 ) < ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) + 1 ) ^ 2 ) ) )
114	95, 113	mpbird 247	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 /\ M < ( ( 2 ^ ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) -> ( sqr ` ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) ) < ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) + 1 ) )
115	55, 114	jca 554	. 2 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 /\ M < ( ( 2 ^ ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) -> ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) <_ ( sqr ` ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) ) /\ ( sqr ` ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) ) < ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) + 1 ) ) )
116	42	nn0zd 11480	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) e. ZZ )
117	116	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) e. ZZ )
118	49, 117	jca 554	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 ) -> ( ( sqr ` ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) ) e. RR /\ ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) e. ZZ ) )
119	118	3adant3 1081	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 /\ M < ( ( 2 ^ ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) -> ( ( sqr ` ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) ) e. RR /\ ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) e. ZZ ) )
120		flbi 12617	. . 3 |- ( ( ( sqr ` ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) ) e. RR /\ ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( sqr ` ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) ) ) = ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) <-> ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) <_ ( sqr ` ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) ) /\ ( sqr ` ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) ) < ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) + 1 ) ) ) )
121	119, 120	syl 17	. 2 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 /\ M < ( ( 2 ^ ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) -> ( ( |_ ` ( sqr ` ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) ) ) = ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) <-> ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) <_ ( sqr ` ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) ) /\ ( sqr ` ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) ) < ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) + 1 ) ) ) )
122	115, 121	mpbird 247	1 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 /\ M < ( ( 2 ^ ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) -> ( |_ ` ( sqr ` ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + M ) ) ) = ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   |_cfl 12591   ^cexp 12860   sqrcsqrt 13973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975

This theorem is referenced by:  fmtnosqrt  41451