Theorem subfacp1lem2a 31162

Description: Lemma for subfacp1 31168. Properties of a bijection on 𝐾 augmented with the two-element flip to get a bijection on 𝐾 ∪ {1, 𝑀}. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
derang.d	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (#‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))
subfac.n	⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
subfacp1lem.a	⊢ 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ ∀𝑦 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}
subfacp1lem1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
subfacp1lem1.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (2...(𝑁 + 1)))
subfacp1lem1.x	⊢ 𝑀 ∈ V
subfacp1lem1.k	⊢ 𝐾 = ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀})
subfacp1lem2.5	⊢ 𝐹 = (𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩})
subfacp1lem2.6	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐾–1-1-onto→𝐾)

Assertion

Ref	Expression
subfacp1lem2a	⊢ (𝜑 → (𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ (𝐹‘1) = 𝑀 ∧ (𝐹‘𝑀) = 1))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑛,𝑥,𝑦,𝐴   𝑓,𝐹,𝑥,𝑦   𝑓,𝑁,𝑛,𝑥,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝐷,𝑛   𝑓,𝐾,𝑛,𝑥,𝑦   𝑓,𝑀,𝑥,𝑦   𝑆,𝑛,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓)   𝑆(𝑓)   𝐹(𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑓,𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem subfacp1lem2a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subfacp1lem2.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐾–1-1-onto→𝐾)
2		1z 11407	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
3		subfacp1lem1.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 ∈ V
4		f1oprswap 6180	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ V) → {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}:{1, 𝑀}–1-1-onto→{1, 𝑀})
5	2, 3, 4	mp2an 708	. . . . 5 ⊢ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}:{1, 𝑀}–1-1-onto→{1, 𝑀}
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}:{1, 𝑀}–1-1-onto→{1, 𝑀})
7		derang.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (#‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))
8		subfac.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
9		subfacp1lem.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ ∀𝑦 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}
10		subfacp1lem1.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
11		subfacp1lem1.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (2...(𝑁 + 1)))
12		subfacp1lem1.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀})
13	7, 8, 9, 10, 11, 3, 12	subfacp1lem1 31161	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅ ∧ (𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)) ∧ (#‘𝐾) = (𝑁 − 1)))
14	13	simp1d 1073	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅)
15		f1oun 6156	. . . 4 ⊢ (((𝐺:𝐾–1-1-onto→𝐾 ∧ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}:{1, 𝑀}–1-1-onto→{1, 𝑀}) ∧ ((𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅ ∧ (𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅)) → (𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}):(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}))
16	1, 6, 14, 14, 15	syl22anc 1327	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}):(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}))
17	13	simp2d 1074	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)))
18		subfacp1lem2.5	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩})
19		f1oeq1 6127	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 = (𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}) → (𝐹:(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}) ↔ (𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}):(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀})))
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}) ↔ (𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}):(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}))
21		f1oeq2 6128	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)) → (𝐹:(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}) ↔ 𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀})))
22	20, 21	syl5bbr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)) → ((𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}):(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}) ↔ 𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀})))
23		f1oeq3 6129	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)) → (𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}) ↔ 𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1))))
24	22, 23	bitrd 268	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)) → ((𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}):(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}) ↔ 𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1))))
25	17, 24	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}):(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}) ↔ 𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1))))
26	16, 25	mpbid 222	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)))
27		f1ofun 6139	. . . . 5 ⊢ (𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) → Fun 𝐹)
28	26, 27	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
29		snsspr1 4345	. . . . . 6 ⊢ {⟨1, 𝑀⟩} ⊆ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}
30		ssun2 3777	. . . . . . 7 ⊢ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩} ⊆ (𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩})
31	30, 18	sseqtr4i 3638	. . . . . 6 ⊢ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩} ⊆ 𝐹
32	29, 31	sstri 3612	. . . . 5 ⊢ {⟨1, 𝑀⟩} ⊆ 𝐹
33		1ex 10035	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
34	33	snid 4208	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ {1}
35	3	dmsnop 5609	. . . . . 6 ⊢ dom {⟨1, 𝑀⟩} = {1}
36	34, 35	eleqtrri 2700	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ dom {⟨1, 𝑀⟩}
37		funssfv 6209	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ {⟨1, 𝑀⟩} ⊆ 𝐹 ∧ 1 ∈ dom {⟨1, 𝑀⟩}) → (𝐹‘1) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘1))
38	32, 36, 37	mp3an23 1416	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹‘1) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘1))
39	28, 38	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘1))
40	33, 3	fvsn 6446	. . 3 ⊢ ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) = 𝑀
41	39, 40	syl6eq 2672	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = 𝑀)
42		snsspr2 4346	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝑀, 1⟩} ⊆ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}
43	42, 31	sstri 3612	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑀, 1⟩} ⊆ 𝐹
44	3	snid 4208	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 ∈ {𝑀}
45	33	dmsnop 5609	. . . . . 6 ⊢ dom {⟨𝑀, 1⟩} = {𝑀}
46	44, 45	eleqtrri 2700	. . . . 5 ⊢ 𝑀 ∈ dom {⟨𝑀, 1⟩}
47		funssfv 6209	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ {⟨𝑀, 1⟩} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑀 ∈ dom {⟨𝑀, 1⟩}) → (𝐹‘𝑀) = ({⟨𝑀, 1⟩}‘𝑀))
48	43, 46, 47	mp3an23 1416	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹‘𝑀) = ({⟨𝑀, 1⟩}‘𝑀))
49	28, 48	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) = ({⟨𝑀, 1⟩}‘𝑀))
50	3, 33	fvsn 6446	. . 3 ⊢ ({⟨𝑀, 1⟩}‘𝑀) = 1
51	49, 50	syl6eq 2672	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) = 1)
52	26, 41, 51	3jca 1242	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ (𝐹‘1) = 𝑀 ∧ (𝐹‘𝑀) = 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  {cab 2608   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  Vcvv 3200   ∖ cdif 3571   ∪ cun 3572   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  {csn 4177  {cpr 4179  ⟨cop 4183   ↦ cmpt 4729  dom cdm 5114  Fun wfun 5882  –1-1-onto→wf1o 5887  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Fincfn 7955  1c1 9937   + caddc 9939   − cmin 10266  ℕcn 11020  2c2 11070  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ...cfz 12326  #chash 13117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118

This theorem is referenced by:  subfacp1lem2b  31163  subfacp1lem3  31164  subfacp1lem4  31165  subfacp1lem5  31166