Theorem wwlksn0s 26746

Description: The set of all walks as words of length 0 is the set of all words of length 1 over the vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jul-2018.) (Revised by AV, 12-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
wwlksn0s	⊢ (0 WWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (#‘𝑤) = 1}

Distinct variable group:   𝑤,𝐺

Proof of Theorem wwlksn0s

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 11307	. 2 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		wwlksn 26729	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (0 WWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∣ (#‘𝑤) = (0 + 1)})
3		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
4		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
5	3, 4	iswwlks 26728	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ (𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
6		0p1e1 11132	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 1) = 1
7	6	eqeq2i 2634	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘𝑤) = (0 + 1) ↔ (#‘𝑤) = 1)
8	5, 7	anbi12i 733	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = (0 + 1)) ↔ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑤) = 1))
9		simp2 1062	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
10		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑤 ∈ V
11		0lt1 10550	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 1
12		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((#‘𝑤) = 1 → (0 < (#‘𝑤) ↔ 0 < 1))
13	11, 12	mpbiri 248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘𝑤) = 1 → 0 < (#‘𝑤))
14		hashgt0n0 13156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ V ∧ 0 < (#‘𝑤)) → 𝑤 ≠ ∅)
15	10, 13, 14	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘𝑤) = 1 → 𝑤 ≠ ∅)
16	15	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((#‘𝑤) = 1 ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → 𝑤 ≠ ∅)
17		simpr 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((#‘𝑤) = 1 ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
18		ral0 4076	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∀𝑖 ∈ ∅ {(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)
19		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((#‘𝑤) = 1 → ((#‘𝑤) − 1) = (1 − 1))
20		1m1e0 11089	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 − 1) = 0
21	19, 20	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((#‘𝑤) = 1 → ((#‘𝑤) − 1) = 0)
22	21	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((#‘𝑤) = 1 → (0..^((#‘𝑤) − 1)) = (0..^0))
23		fzo0 12492	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0..^0) = ∅
24	22, 23	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((#‘𝑤) = 1 → (0..^((#‘𝑤) − 1)) = ∅)
25	24	raleqdv 3144	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘𝑤) = 1 → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ ∅ {(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
26	18, 25	mpbiri 248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘𝑤) = 1 → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
27	26	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((#‘𝑤) = 1 ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
28	16, 17, 27	3jca 1242	. . . . . . . . 9 ⊢ (((#‘𝑤) = 1 ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
29	28	ex 450	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘𝑤) = 1 → (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
30	9, 29	impbid2 216	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘𝑤) = 1 → ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺)))
31	30	pm5.32ri 670	. . . . . 6 ⊢ (((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑤) = 1) ↔ (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 1))
32	8, 31	bitri 264	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = (0 + 1)) ↔ (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 1))
33	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → ((𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = (0 + 1)) ↔ (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 1)))
34	33	rabbidva2 3186	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → {𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∣ (#‘𝑤) = (0 + 1)} = {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (#‘𝑤) = 1})
35	2, 34	eqtrd 2656	. 2 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (0 WWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (#‘𝑤) = 1})
36	1, 35	ax-mp 5	1 ⊢ (0 WWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (#‘𝑤) = 1}

Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  {crab 2916  Vcvv 3200  ∅c0 3915  {cpr 4179   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   − cmin 10266  ℕ₀cn0 11292  ..^cfzo 12465  #chash 13117  Word cword 13291  Vtxcvtx 25874  Edgcedg 25939  WWalkscwwlks 26717   WWalksN cwwlksn 26718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-wwlks 26722  df-wwlksn 26723

This theorem is referenced by:  wwlksn0  26748  rusgrnumwwlkb0  26866