Theorem climcvg1nlem 10186

Description: Lemma for climcvg1n 10187. We construct sequences of the real and imaginary parts of each term of 𝐹, show those converge, and use that to show that 𝐹 converges. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climcvg1n.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℂ)
climcvg1n.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
climcvg1n.cau	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛))
climcvg1nlem.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥)))
climcvg1nlem.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥)))
climcvg1nlem.j	⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (i · (𝐻‘𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
climcvg1nlem	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝐶,𝑘,𝑛   𝑘,𝐹,𝑥   𝑘,𝐺,𝑛   𝑘,𝐻,𝑛,𝑥   𝑘,𝐽   𝜑,𝑘,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑛)   𝐺(𝑥)   𝐽(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem climcvg1nlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 8654	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 8378	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3		climcvg1n.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℂ)
4	3	ffvelrnda 5323	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
5	4	recld 9825	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (ℜ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
6		climcvg1nlem.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥)))
7	5, 6	fmptd 5343	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶ℝ)
8		climcvg1n.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
9		climcvg1n.cau	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛))
10		eluznn 8687	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
11	10	adantll 459	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
12	3	ad2antrr 471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝐹:ℕ⟶ℂ)
13	12, 11	ffvelrnd 5324	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
14	13	recld 9825	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (ℜ‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
15		fveq2 5198	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑘))
16	15	fveq2d 5202	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (ℜ‘(𝐹‘𝑥)) = (ℜ‘(𝐹‘𝑘)))
17	16, 6	fvmptg 5269	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (ℜ‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑘) = (ℜ‘(𝐹‘𝑘)))
18	11, 14, 17	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐺‘𝑘) = (ℜ‘(𝐹‘𝑘)))
19		simplr 496	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ)
20	12, 19	ffvelrnd 5324	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℂ)
21	20	recld 9825	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (ℜ‘(𝐹‘𝑛)) ∈ ℝ)
22		fveq2 5198	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑛))
23	22	fveq2d 5202	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (ℜ‘(𝐹‘𝑥)) = (ℜ‘(𝐹‘𝑛)))
24	23, 6	fvmptg 5269	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (ℜ‘(𝐹‘𝑛)) ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑛) = (ℜ‘(𝐹‘𝑛)))
25	19, 21, 24	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐺‘𝑛) = (ℜ‘(𝐹‘𝑛)))
26	18, 25	oveq12d 5550	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((𝐺‘𝑘) − (𝐺‘𝑛)) = ((ℜ‘(𝐹‘𝑘)) − (ℜ‘(𝐹‘𝑛))))
27	13, 20	resubd 9848	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (ℜ‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) = ((ℜ‘(𝐹‘𝑘)) − (ℜ‘(𝐹‘𝑛))))
28	26, 27	eqtr4d 2116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((𝐺‘𝑘) − (𝐺‘𝑛)) = (ℜ‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))))
29	28	fveq2d 5202	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘((𝐺‘𝑘) − (𝐺‘𝑛))) = (abs‘(ℜ‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛)))))
30	13, 20	subcld 7419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛)) ∈ ℂ)
31		absrele 9969	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛)) ∈ ℂ → (abs‘(ℜ‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛)))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))))
32	30, 31	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘(ℜ‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛)))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))))
33	29, 32	eqbrtrd 3805	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘((𝐺‘𝑘) − (𝐺‘𝑛))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))))
34	30	recld 9825	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (ℜ‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) ∈ ℝ)
35	34	recnd 7147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (ℜ‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) ∈ ℂ)
36	28, 35	eqeltrd 2155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((𝐺‘𝑘) − (𝐺‘𝑛)) ∈ ℂ)
37	36	abscld 10067	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘((𝐺‘𝑘) − (𝐺‘𝑛))) ∈ ℝ)
38	30	abscld 10067	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) ∈ ℝ)
39	8	ad2antrr 471	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝐶 ∈ ℝ+)
40	19	nnrpd 8772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
41	39, 40	rpdivcld 8791	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐶 / 𝑛) ∈ ℝ+)
42	41	rpred 8773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐶 / 𝑛) ∈ ℝ)
43		lelttr 7199	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs‘((𝐺‘𝑘) − (𝐺‘𝑛))) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 𝑛) ∈ ℝ) → (((abs‘((𝐺‘𝑘) − (𝐺‘𝑛))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)) → (abs‘((𝐺‘𝑘) − (𝐺‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
44	37, 38, 42, 43	syl3anc 1169	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (((abs‘((𝐺‘𝑘) − (𝐺‘𝑛))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)) → (abs‘((𝐺‘𝑘) − (𝐺‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
45	33, 44	mpand 419	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛) → (abs‘((𝐺‘𝑘) − (𝐺‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
46	45	ralimdva 2429	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘((𝐺‘𝑘) − (𝐺‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
47	46	ralimdva 2429	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛) → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘((𝐺‘𝑘) − (𝐺‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
48	9, 47	mpd 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘((𝐺‘𝑘) − (𝐺‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛))
49	7, 8, 48	climrecvg1n 10185	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom ⇝ )
50		climdm 10134	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺))
51	49, 50	sylib 120	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺))
52		nnex 8045	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
53		fex 5409	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℂ ∧ ℕ ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
54	3, 52, 53	sylancl 404	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
55	4	imcld 9826	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (ℑ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
56		climcvg1nlem.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥)))
57	55, 56	fmptd 5343	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶ℝ)
58	13	imcld 9826	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (ℑ‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
59	15	fveq2d 5202	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (ℑ‘(𝐹‘𝑥)) = (ℑ‘(𝐹‘𝑘)))
60	59, 56	fvmptg 5269	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (ℑ‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ) → (𝐻‘𝑘) = (ℑ‘(𝐹‘𝑘)))
61	11, 58, 60	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐻‘𝑘) = (ℑ‘(𝐹‘𝑘)))
62	20	imcld 9826	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (ℑ‘(𝐹‘𝑛)) ∈ ℝ)
63	22	fveq2d 5202	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (ℑ‘(𝐹‘𝑥)) = (ℑ‘(𝐹‘𝑛)))
64	63, 56	fvmptg 5269	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (ℑ‘(𝐹‘𝑛)) ∈ ℝ) → (𝐻‘𝑛) = (ℑ‘(𝐹‘𝑛)))
65	19, 62, 64	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐻‘𝑛) = (ℑ‘(𝐹‘𝑛)))
66	61, 65	oveq12d 5550	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((𝐻‘𝑘) − (𝐻‘𝑛)) = ((ℑ‘(𝐹‘𝑘)) − (ℑ‘(𝐹‘𝑛))))
67	13, 20	imsubd 9849	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (ℑ‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) = ((ℑ‘(𝐹‘𝑘)) − (ℑ‘(𝐹‘𝑛))))
68	66, 67	eqtr4d 2116	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((𝐻‘𝑘) − (𝐻‘𝑛)) = (ℑ‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))))
69	68	fveq2d 5202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘((𝐻‘𝑘) − (𝐻‘𝑛))) = (abs‘(ℑ‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛)))))
70		absimle 9970	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛)) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛)))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))))
71	30, 70	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘(ℑ‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛)))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))))
72	69, 71	eqbrtrd 3805	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘((𝐻‘𝑘) − (𝐻‘𝑛))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))))
73	61, 58	eqeltrd 2155	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐻‘𝑘) ∈ ℝ)
74	65, 62	eqeltrd 2155	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐻‘𝑛) ∈ ℝ)
75	73, 74	resubcld 7485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((𝐻‘𝑘) − (𝐻‘𝑛)) ∈ ℝ)
76	75	recnd 7147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((𝐻‘𝑘) − (𝐻‘𝑛)) ∈ ℂ)
77	76	abscld 10067	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘((𝐻‘𝑘) − (𝐻‘𝑛))) ∈ ℝ)
78		lelttr 7199	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((abs‘((𝐻‘𝑘) − (𝐻‘𝑛))) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 𝑛) ∈ ℝ) → (((abs‘((𝐻‘𝑘) − (𝐻‘𝑛))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)) → (abs‘((𝐻‘𝑘) − (𝐻‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
79	77, 38, 42, 78	syl3anc 1169	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (((abs‘((𝐻‘𝑘) − (𝐻‘𝑛))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)) → (abs‘((𝐻‘𝑘) − (𝐻‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
80	72, 79	mpand 419	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛) → (abs‘((𝐻‘𝑘) − (𝐻‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
81	80	ralimdva 2429	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘((𝐻‘𝑘) − (𝐻‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
82	81	ralimdva 2429	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛) → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘((𝐻‘𝑘) − (𝐻‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
83	9, 82	mpd 13	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘((𝐻‘𝑘) − (𝐻‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛))
84	57, 8, 83	climrecvg1n 10185	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ dom ⇝ )
85		climdm 10134	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐻 ⇝ ( ⇝ ‘𝐻))
86	84, 85	sylib 120	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ ( ⇝ ‘𝐻))
87		ax-icn 7071	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
88	87	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → i ∈ ℂ)
89		climcvg1nlem.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (i · (𝐻‘𝑥)))
90	52	mptex 5408	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ ↦ (i · (𝐻‘𝑥))) ∈ V
91	89, 90	eqeltri 2151	. . . . 5 ⊢ 𝐽 ∈ V
92	91	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ V)
93		ax-resscn 7068	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
94	93	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
95	57, 94	fssd 5075	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶ℂ)
96	95	ffvelrnda 5323	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑘) ∈ ℂ)
97	89	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (i · (𝐻‘𝑥))))
98		fveq2 5198	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐻‘𝑥) = (𝐻‘𝑘))
99	98	oveq2d 5548	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (i · (𝐻‘𝑥)) = (i · (𝐻‘𝑘)))
100	99	adantl 271	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 = 𝑘) → (i · (𝐻‘𝑥)) = (i · (𝐻‘𝑘)))
101		simpr 108	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
102	87	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → i ∈ ℂ)
103	102, 96	mulcld 7139	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (i · (𝐻‘𝑘)) ∈ ℂ)
104	97, 100, 101, 103	fvmptd 5274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽‘𝑘) = (i · (𝐻‘𝑘)))
105	1, 2, 86, 88, 92, 96, 104	climmulc2 10169	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⇝ (i · ( ⇝ ‘𝐻)))
106	7	ffvelrnda 5323	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
107	106	recnd 7147	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
108	104, 103	eqeltrd 2155	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽‘𝑘) ∈ ℂ)
109	3	ffvelrnda 5323	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
110	109	replimd 9828	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = ((ℜ‘(𝐹‘𝑘)) + (i · (ℑ‘(𝐹‘𝑘)))))
111	109	recld 9825	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (ℜ‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
112	101, 111, 17	syl2anc 403	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) = (ℜ‘(𝐹‘𝑘)))
113	109	imcld 9826	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (ℑ‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
114	101, 113, 60	syl2anc 403	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑘) = (ℑ‘(𝐹‘𝑘)))
115	114	oveq2d 5548	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (i · (𝐻‘𝑘)) = (i · (ℑ‘(𝐹‘𝑘))))
116	104, 115	eqtrd 2113	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽‘𝑘) = (i · (ℑ‘(𝐹‘𝑘))))
117	112, 116	oveq12d 5550	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺‘𝑘) + (𝐽‘𝑘)) = ((ℜ‘(𝐹‘𝑘)) + (i · (ℑ‘(𝐹‘𝑘)))))
118	110, 117	eqtr4d 2116	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐺‘𝑘) + (𝐽‘𝑘)))
119	1, 2, 51, 54, 105, 107, 108, 118	climadd 10164	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ (( ⇝ ‘𝐺) + (i · ( ⇝ ‘𝐻))))
120		climrel 10119	. . 3 ⊢ Rel ⇝
121	120	releldmi 4591	. 2 ⊢ (𝐹 ⇝ (( ⇝ ‘𝐺) + (i · ( ⇝ ‘𝐻))) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
122	119, 121	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  ∀wral 2348  Vcvv 2601   ⊆ wss 2973   class class class wbr 3785   ↦ cmpt 3839  dom cdm 4363  ⟶wf 4918  ‘cfv 4922  (class class class)co 5532  ℂcc 6979  ℝcr 6980  1c1 6982  ici 6983   + caddc 6984   · cmul 6986   < clt 7153   ≤ cle 7154   − cmin 7279   / cdiv 7760  ℕcn 8039  ℤ_≥cuz 8619  ℝ⁺crp 8734  ℜcre 9727  ℑcim 9728  abscabs 9883   ⇝ cli 10117

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094  ax-arch 7095  ax-caucvg 7096

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-if 3352  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-2 8098  df-3 8099  df-4 8100  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-rp 8735  df-iseq 9432  df-iexp 9476  df-cj 9729  df-re 9730  df-im 9731  df-rsqrt 9884  df-abs 9885  df-clim 10118

This theorem is referenced by:  climcvg1n  10187