Theorem 00ply1bas 19610

Description: Lemma for ply1basfvi 19611 and deg1fvi 23845. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
00ply1bas	|- (/) = ( Base ` (Poly1 ` (/) ) )

Proof of Theorem 00ply1bas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3919	. . 3 |- -. a e. (/)
2		noel 3919	. . . 4 |- -. ( a ` ( 1o X. { 0 } ) ) e. (/)
3		eqid 2622	. . . . . 6 |- (Poly1 ` (/) ) = (Poly1 ` (/) )
4		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( Base ` (Poly1 ` (/) ) ) = ( Base ` (Poly1 ` (/) ) )
5		base0 15912	. . . . . 6 |- (/) = ( Base ` (/) )
6	3, 4, 5	ply1basf 19572	. . . . 5 |- ( a e. ( Base ` (Poly1 ` (/) ) ) -> a : ( NN0 ^m 1o ) --> (/) )
7		0nn0 11307	. . . . . . 7 |- 0 e. NN0
8	7	fconst6 6095	. . . . . 6 |- ( 1o X. { 0 } ) : 1o --> NN0
9		nn0ex 11298	. . . . . . 7 |- NN0 e. _V
10		1on 7567	. . . . . . . 8 |- 1o e. On
11	10	elexi 3213	. . . . . . 7 |- 1o e. _V
12	9, 11	elmap 7886	. . . . . 6 |- ( ( 1o X. { 0 } ) e. ( NN0 ^m 1o ) <-> ( 1o X. { 0 } ) : 1o --> NN0 )
13	8, 12	mpbir 221	. . . . 5 |- ( 1o X. { 0 } ) e. ( NN0 ^m 1o )
14		ffvelrn 6357	. . . . 5 |- ( ( a : ( NN0 ^m 1o ) --> (/) /\ ( 1o X. { 0 } ) e. ( NN0 ^m 1o ) ) -> ( a ` ( 1o X. { 0 } ) ) e. (/) )
15	6, 13, 14	sylancl 694	. . . 4 |- ( a e. ( Base ` (Poly1 ` (/) ) ) -> ( a ` ( 1o X. { 0 } ) ) e. (/) )
16	2, 15	mto 188	. . 3 |- -. a e. ( Base ` (Poly1 ` (/) ) )
17	1, 16	2false 365	. 2 |- ( a e. (/) <-> a e. ( Base ` (Poly1 ` (/) ) ) )
18	17	eqriv 2619	1 |- (/) = ( Base ` (Poly1 ` (/) ) )

Syntax hints:   = wceq 1483   e. wcel 1990   (/)c0 3915   {csn 4177   X. cxp 5112   Oncon0 5723   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1oc1o 7553   ^m cmap 7857   0cc0 9936   NN0cn0 11292   Basecbs 15857  Poly₁cpl1 19547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-tset 15960  df-ple 15961  df-psr 19356  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-psr1 19550  df-ply1 19552

This theorem is referenced by:  ply1basfvi  19611  deg1fvi  23845