Theorem nn0ex 11298

Description: The set of nonnegative integers exists. (Contributed by NM, 18-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ex	|- NN0 e. _V

Proof of Theorem nn0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 11293	. 2 |- NN0 = ( NN u. { 0 } )
2		nnex 11026	. . 3 |- NN e. _V
3		snex 4908	. . 3 |- { 0 } e. _V
4	2, 3	unex 6956	. 2 |- ( NN u. { 0 } ) e. _V
5	1, 4	eqeltri 2697	1 |- NN0 e. _V

Syntax hints:   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   u. cun 3572   {csn 4177   0cc0 9936   NNcn 11020   NN0cn0 11292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-nn 11021  df-n0 11293

This theorem is referenced by:  nn0ennn  12778  nnenom  12779  fsuppmapnn0fiub0  12793  suppssfz  12794  fsuppmapnn0ub  12795  mptnn0fsupp  12797  mptnn0fsuppr  12799  elovmptnn0wrd  13348  dfrtrclrec2  13797  rtrclreclem1  13798  rtrclreclem2  13799  rtrclreclem4  13801  expcnv  14596  geolim  14601  cvgrat  14615  mertenslem2  14617  bpolylem  14779  eftlub  14839  bitsfval  15145  bitsf  15149  sadfval  15174  smufval  15199  smupf  15200  1arith  15631  ramcl  15733  fsfnn0gsumfsffz  18379  gsummptnn0fz  18382  psrbag  19364  coe1fval  19575  fvcoe1  19577  coe1fval3  19578  coe1f2  19579  coe1sfi  19583  coe1fsupp  19584  00ply1bas  19610  ply1plusgfvi  19612  coe1z  19633  coe1add  19634  coe1addfv  19635  coe1mul2lem1  19637  coe1mul2lem2  19638  coe1mul2  19639  coe1tm  19643  coe1sclmul  19652  coe1sclmulfv  19653  coe1sclmul2  19654  ply1coefsupp  19665  ply1coe  19666  gsumsmonply1  19673  gsummoncoe1  19674  evls1gsumadd  19689  evls1gsummul  19690  evl1gsummul  19724  nn0srg  19816  pmatcollpw1  20581  pmatcollpw2lem  20582  pmatcollpw2  20583  pmatcollpw3lem  20588  pm2mpcl  20602  idpm2idmp  20606  mply1topmatcllem  20608  mply1topmatcl  20610  mp2pm2mplem2  20612  mp2pm2mplem5  20615  mp2pm2mp  20616  pm2mpghmlem2  20617  pm2mpghm  20621  pm2mpmhmlem2  20624  monmat2matmon  20629  pm2mp  20630  chfacfscmulgsum  20665  chfacfpmmulgsum  20669  cpmidpmatlem2  20676  cpmadumatpolylem1  20686  cpmadumatpolylem2  20687  chcoeffeqlem  20690  cayhamlem3  20692  cayhamlem4  20693  dyadmax  23366  cpnfval  23695  deg1ldg  23852  deg1leb  23855  deg1val  23856  deg1mul3  23875  deg1mul3le  23876  uc1pmon1p  23911  plyval  23949  elply2  23952  plyf  23954  elplyr  23957  plyeq0lem  23966  plyeq0  23967  plypf1  23968  plyaddlem1  23969  plyaddlem  23971  plymullem  23972  coeeulem  23980  coeeq  23983  dgrlem  23985  coeidlem  23993  coeaddlem  24005  coemulc  24011  coe0  24012  coesub  24013  dgradd2  24024  dgrcolem2  24030  plydivlem4  24051  plydiveu  24053  vieta1lem2  24066  taylfval  24113  pserval  24164  dvradcnv  24175  pserdvlem2  24182  abelthlem1  24185  abelthlem3  24187  abelthlem6  24190  logtayl  24406  leibpi  24669  sqff1o  24908  eulerpartleme  30425  eulerpartlem1  30429  eulerpartlemt  30433  eulerpartgbij  30434  eulerpartlemr  30436  eulerpartlemmf  30437  eulerpartlemgvv  30438  eulerpartlemgs2  30442  eulerpartlemn  30443  fib0  30461  fib1  30462  fibp1  30463  knoppcnlem1  32483  knoppcnlem6  32488  poimirlem32  33441  heiborlem3  33612  eldiophb  37320  diophrw  37322  hbtlem1  37693  hbtlem7  37695  dgrsub2  37705  mpaaeu  37720  deg1mhm  37785  elrtrclrec  37973  brmptiunrelexpd  37975  brrtrclrec  37989  iunrelexp0  37994  iunrelexpmin2  38004  dfrtrcl3  38025  fvrtrcllb0d  38027  fvrtrcllb0da  38028  fvrtrcllb1d  38029  radcnvrat  38513  binomcxplemrat  38549  binomcxplemnotnn0  38555  expfac  39889  dvnprodlem1  40161  dvnprodlem2  40162  dvnprodlem3  40163  etransclem24  40475  etransclem25  40476  etransclem26  40477  etransclem28  40479  etransclem35  40486  etransclem37  40488  etransclem48  40499  fmtnoinf  41448  ply1mulgsum  42178