Theorem 2elfz2melfz 41328

Description: If the sum of two integers of a 0 based finite set of sequential integers is greater than the upper bound, the difference between one of the integers and the difference between the upper bound and the other integer is in the 0 based finite set of sequential integers with the first integer as upper bound. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Apr-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 31-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
2elfz2melfz	|- ( ( A e. ( 0 ... N ) /\ B e. ( 0 ... N ) ) -> ( N < ( A + B ) -> ( B - ( N - A ) ) e. ( 0 ... A ) ) )

Proof of Theorem 2elfz2melfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 12342	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 ... N ) -> A e. ZZ )
2		elfzel2 12340	. . . . . 6 |- ( B e. ( 0 ... N ) -> N e. ZZ )
3		elfzelz 12342	. . . . . 6 |- ( B e. ( 0 ... N ) -> B e. ZZ )
4		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A e. ZZ ) -> B e. ZZ )
5		zsubcl 11419	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( N - A ) e. ZZ )
6	5	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A e. ZZ ) -> ( N - A ) e. ZZ )
7	4, 6	zsubcld 11487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A e. ZZ ) -> ( B - ( N - A ) ) e. ZZ )
8	7	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A e. ZZ ) /\ N < ( A + B ) ) -> ( B - ( N - A ) ) e. ZZ )
9		zre 11381	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
10	9	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A e. ZZ ) -> N e. RR )
11		zaddcl 11417	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A + B ) e. ZZ )
12	11	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A + B ) e. RR )
13	12	expcom 451	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. ZZ -> ( A e. ZZ -> ( A + B ) e. RR ) )
14	13	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A e. ZZ -> ( A + B ) e. RR ) )
15	14	imp 445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A e. ZZ ) -> ( A + B ) e. RR )
16	10, 15, 10	ltsub1d 10636	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A e. ZZ ) -> ( N < ( A + B ) <-> ( N - N ) < ( ( A + B ) - N ) ) )
17		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
18	9, 17	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( N e. RR /\ B e. RR ) )
19		zre 11381	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
20	18, 19	anim12i 590	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A e. ZZ ) -> ( ( N e. RR /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) )
21		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. RR -> N e. RR )
22	21, 21	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. RR -> ( N - N ) e. RR )
23	22	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. RR /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> ( N - N ) e. RR )
24		readdcl 10019	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + B ) e. RR )
25	24	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( B e. RR -> ( A e. RR -> ( A + B ) e. RR ) )
26	25	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. RR /\ B e. RR ) -> ( A e. RR -> ( A + B ) e. RR ) )
27	26	imp 445	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. RR /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> ( A + B ) e. RR )
28		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. RR /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> N e. RR )
29	27, 28	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. RR /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> ( ( A + B ) - N ) e. RR )
30	23, 29	jca 554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. RR /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> ( ( N - N ) e. RR /\ ( ( A + B ) - N ) e. RR ) )
31		ltle 10126	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N - N ) e. RR /\ ( ( A + B ) - N ) e. RR ) -> ( ( N - N ) < ( ( A + B ) - N ) -> ( N - N ) <_ ( ( A + B ) - N ) ) )
32	20, 30, 31	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A e. ZZ ) -> ( ( N - N ) < ( ( A + B ) - N ) -> ( N - N ) <_ ( ( A + B ) - N ) ) )
33		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
34	33	subidd 10380	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ZZ -> ( N - N ) = 0 )
35	34	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A e. ZZ ) -> ( N - N ) = 0 )
36		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( B e. ZZ -> B e. CC )
37	36	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> B e. CC )
38	37	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A e. ZZ ) -> B e. CC )
39	33	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A e. ZZ ) -> N e. CC )
40		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ZZ -> A e. CC )
41	40	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A e. ZZ ) -> A e. CC )
42		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( B e. CC /\ N e. CC /\ A e. CC ) -> A e. CC )
43		simp1 1061	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( B e. CC /\ N e. CC /\ A e. CC ) -> B e. CC )
44	42, 43	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. CC /\ N e. CC /\ A e. CC ) -> ( A + B ) = ( B + A ) )
45	44	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. CC /\ N e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( A + B ) - N ) = ( ( B + A ) - N ) )
46		subsub3 10313	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. CC /\ N e. CC /\ A e. CC ) -> ( B - ( N - A ) ) = ( ( B + A ) - N ) )
47	45, 46	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. CC /\ N e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( A + B ) - N ) = ( B - ( N - A ) ) )
48	38, 39, 41, 47	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A e. ZZ ) -> ( ( A + B ) - N ) = ( B - ( N - A ) ) )
49	35, 48	breq12d 4666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A e. ZZ ) -> ( ( N - N ) <_ ( ( A + B ) - N ) <-> 0 <_ ( B - ( N - A ) ) ) )
50	32, 49	sylibd 229	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A e. ZZ ) -> ( ( N - N ) < ( ( A + B ) - N ) -> 0 <_ ( B - ( N - A ) ) ) )
51	16, 50	sylbid 230	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A e. ZZ ) -> ( N < ( A + B ) -> 0 <_ ( B - ( N - A ) ) ) )
52	51	imp 445	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A e. ZZ ) /\ N < ( A + B ) ) -> 0 <_ ( B - ( N - A ) ) )
53		elnn0z 11390	. . . . . . . 8 |- ( ( B - ( N - A ) ) e. NN0 <-> ( ( B - ( N - A ) ) e. ZZ /\ 0 <_ ( B - ( N - A ) ) ) )
54	8, 52, 53	sylanbrc 698	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A e. ZZ ) /\ N < ( A + B ) ) -> ( B - ( N - A ) ) e. NN0 )
55	54	exp31 630	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A e. ZZ -> ( N < ( A + B ) -> ( B - ( N - A ) ) e. NN0 ) ) )
56	2, 3, 55	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( B e. ( 0 ... N ) -> ( A e. ZZ -> ( N < ( A + B ) -> ( B - ( N - A ) ) e. NN0 ) ) )
57	1, 56	mpan9 486	. . . 4 |- ( ( A e. ( 0 ... N ) /\ B e. ( 0 ... N ) ) -> ( N < ( A + B ) -> ( B - ( N - A ) ) e. NN0 ) )
58	57	imp 445	. . 3 |- ( ( ( A e. ( 0 ... N ) /\ B e. ( 0 ... N ) ) /\ N < ( A + B ) ) -> ( B - ( N - A ) ) e. NN0 )
59		elfznn0 12433	. . . 4 |- ( A e. ( 0 ... N ) -> A e. NN0 )
60	59	ad2antrr 762	. . 3 |- ( ( ( A e. ( 0 ... N ) /\ B e. ( 0 ... N ) ) /\ N < ( A + B ) ) -> A e. NN0 )
61		elfzle2 12345	. . . . . . 7 |- ( B e. ( 0 ... N ) -> B <_ N )
62	61	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( 0 ... N ) /\ B e. ( 0 ... N ) ) -> B <_ N )
63		elfzel2 12340	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 ... N ) -> N e. ZZ )
64	63	zcnd 11483	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 ... N ) -> N e. CC )
65	1	zcnd 11483	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 ... N ) -> A e. CC )
66	64, 65	jca 554	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 ... N ) -> ( N e. CC /\ A e. CC ) )
67	66	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( 0 ... N ) /\ B e. ( 0 ... N ) ) -> ( N e. CC /\ A e. CC ) )
68		npcan 10290	. . . . . . 7 |- ( ( N e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( N - A ) + A ) = N )
69	67, 68	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( 0 ... N ) /\ B e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N - A ) + A ) = N )
70	62, 69	breqtrrd 4681	. . . . 5 |- ( ( A e. ( 0 ... N ) /\ B e. ( 0 ... N ) ) -> B <_ ( ( N - A ) + A ) )
71	3	zred 11482	. . . . . . 7 |- ( B e. ( 0 ... N ) -> B e. RR )
72	71	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( 0 ... N ) /\ B e. ( 0 ... N ) ) -> B e. RR )
73	63	zred 11482	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 ... N ) -> N e. RR )
74	1	zred 11482	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 ... N ) -> A e. RR )
75	73, 74	resubcld 10458	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 ... N ) -> ( N - A ) e. RR )
76	75	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( 0 ... N ) /\ B e. ( 0 ... N ) ) -> ( N - A ) e. RR )
77	74	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( 0 ... N ) /\ B e. ( 0 ... N ) ) -> A e. RR )
78	72, 76, 77	lesubadd2d 10626	. . . . 5 |- ( ( A e. ( 0 ... N ) /\ B e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( B - ( N - A ) ) <_ A <-> B <_ ( ( N - A ) + A ) ) )
79	70, 78	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( A e. ( 0 ... N ) /\ B e. ( 0 ... N ) ) -> ( B - ( N - A ) ) <_ A )
80	79	adantr 481	. . 3 |- ( ( ( A e. ( 0 ... N ) /\ B e. ( 0 ... N ) ) /\ N < ( A + B ) ) -> ( B - ( N - A ) ) <_ A )
81		elfz2nn0 12431	. . 3 |- ( ( B - ( N - A ) ) e. ( 0 ... A ) <-> ( ( B - ( N - A ) ) e. NN0 /\ A e. NN0 /\ ( B - ( N - A ) ) <_ A ) )
82	58, 60, 80, 81	syl3anbrc 1246	. 2 |- ( ( ( A e. ( 0 ... N ) /\ B e. ( 0 ... N ) ) /\ N < ( A + B ) ) -> ( B - ( N - A ) ) e. ( 0 ... A ) )
83	82	ex 450	1 |- ( ( A e. ( 0 ... N ) /\ B e. ( 0 ... N ) ) -> ( N < ( A + B ) -> ( B - ( N - A ) ) e. ( 0 ... A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ...cfz 12326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327

This theorem is referenced by: (None)