Theorem zsubcld 11487

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	|- ( ph -> A e. ZZ )
zaddcld.1	|- ( ph -> B e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
zsubcld	|- ( ph -> ( A - B ) e. ZZ )

Proof of Theorem zsubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 |- ( ph -> A e. ZZ )
2		zaddcld.1	. 2 |- ( ph -> B e. ZZ )
3		zsubcl 11419	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A - B ) e. ZZ )
4	1, 2, 3	syl2anc 693	1 |- ( ph -> ( A - B ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990  (class class class)co 6650   - cmin 10266   ZZcz 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378

This theorem is referenced by:  eluzmn  11694  uzsubsubfz  12363  fzm1  12420  eluzgtdifelfzo  12529  ubmelm1fzo  12564  elfznelfzo  12573  intfracq  12658  modsubdir  12739  modsumfzodifsn  12743  zesq  12987  bcval5  13105  swrdfv2  13446  ccatswrd  13456  swrdccatin12lem2b  13486  cshwidxmod  13549  2cshwcshw  13571  cshwcsh2id  13574  fzomaxdiflem  14082  iseralt  14415  fsum0diaglem  14508  mptfzshft  14510  mertenslem1  14616  eirrlem  14932  fzocongeq  15046  3dvds  15052  3dvdsOLD  15053  modremain  15132  bitsfzolem  15156  bitsmod  15158  bitscmp  15160  bitsinv1lem  15163  sadaddlem  15188  bezoutlem3  15258  cncongr1  15381  hashdvds  15480  crth  15483  eulerthlem2  15487  prmdiveq  15491  modprm0  15510  pythagtriplem4  15524  pythagtriplem6  15526  pythagtriplem7  15527  pythagtriplem11  15530  pythagtriplem13  15532  pythagtriplem15  15534  pcqcl  15561  pcaddlem  15592  pcbc  15604  gzmulcl  15642  4sqlem5  15646  4sqlem8  15649  4sqlem11  15659  4sqlem12  15660  4sqlem14  15662  4sqlem16  15664  mndodconglem  17960  sylow1lem1  18013  sylow1lem3  18015  gsummptshft  18336  znf1o  19900  zdis  22619  plydivex  24052  aaliou3lem8  24100  basellem3  24809  bcmono  25002  bcmax  25003  bposlem1  25009  lgsmod  25048  lgsdirprm  25056  lgsqrlem2  25072  gausslemma2dlem0h  25088  gausslemma2dlem1a  25090  gausslemma2dlem5a  25095  lgseisenlem1  25100  lgseisenlem2  25101  lgsquadlem1  25105  2lgslem2  25120  2sqlem4  25146  2sqlem8  25151  pntrlog2bndlem1  25266  crctcshwlkn0lem3  26704  crctcshwlkn0lem4  26705  crctcshwlkn0lem6  26707  crctcshwlkn0  26713  clwlkclwwlklem2a1  26893  clwlkclwwlklem2fv1  26896  clwlkclwwlklem2a4  26898  clwlkclwwlklem2a  26899  fzspl  29550  fzsplit3  29553  ltesubnnd  29568  2sqmod  29648  archirngz  29743  smatrcl  29862  ballotlemfp1  30553  ballotlemimin  30567  ballotlemic  30568  ballotlem1c  30569  ballotlemfrceq  30590  ballotlemfrcn0  30591  signsplypnf  30627  signslema  30639  reprsuc  30693  breprexplema  30708  breprexplemc  30710  circlemeth  30718  bcprod  31624  fwddifnp1  32272  lzenom  37333  irrapxlem3  37388  pellexlem5  37397  rmspecnonsq  37472  congtr  37532  congmul  37534  congsym  37535  congrep  37540  acongrep  37547  acongeq  37550  dvdsacongtr  37551  jm2.18  37555  jm2.23  37563  jm2.20nn  37564  jm2.25  37566  jm2.26a  37567  jm2.26lem3  37568  jm2.27a  37572  jm2.27c  37574  jm3.1lem3  37586  jm3.1  37587  expdiophlem1  37588  hashnzfzclim  38521  binomcxplemnn0  38548  oddfl  39489  fmul01lt1lem2  39817  sumnnodd  39862  dvnmul  40158  dvnprodlem1  40161  dvnprodlem2  40162  stoweidlem26  40243  wallispilem4  40285  fourierdlem26  40350  fourierdlem41  40365  fourierdlem42  40366  fourierdlem48  40371  fouriersw  40448  elaa2lem  40450  etransclem3  40454  etransclem7  40458  etransclem10  40461  etransclem15  40466  etransclem20  40471  etransclem21  40472  etransclem22  40473  etransclem24  40475  etransclem25  40476  etransclem27  40478  etransclem35  40486  etransclem48  40499  2elfz2melfz  41328  goldbachthlem2  41458  pwm1geoserALT  41502  2pwp1prm  41503  altgsumbcALT  42131  digexp  42401  dignn0flhalflem1  42409