Theorem elnn0z 11390

Description: Nonnegative integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0z	|- ( N e. NN0 <-> ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) )

Proof of Theorem elnn0z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 11294	. 2 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
2		elnnz 11387	. . 3 |- ( N e. NN <-> ( N e. ZZ /\ 0 < N ) )
3		eqcom 2629	. . 3 |- ( N = 0 <-> 0 = N )
4	2, 3	orbi12i 543	. 2 |- ( ( N e. NN \/ N = 0 ) <-> ( ( N e. ZZ /\ 0 < N ) \/ 0 = N ) )
5		id 22	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> N e. ZZ )
6		0z 11388	. . . . . . 7 |- 0 e. ZZ
7		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( 0 = N -> ( 0 e. ZZ <-> N e. ZZ ) )
8	6, 7	mpbii 223	. . . . . 6 |- ( 0 = N -> N e. ZZ )
9	5, 8	jaoi 394	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ \/ 0 = N ) -> N e. ZZ )
10		orc 400	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( N e. ZZ \/ 0 = N ) )
11	9, 10	impbii 199	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ \/ 0 = N ) <-> N e. ZZ )
12	11	anbi1i 731	. . 3 |- ( ( ( N e. ZZ \/ 0 = N ) /\ ( 0 < N \/ 0 = N ) ) <-> ( N e. ZZ /\ ( 0 < N \/ 0 = N ) ) )
13		ordir 909	. . 3 |- ( ( ( N e. ZZ /\ 0 < N ) \/ 0 = N ) <-> ( ( N e. ZZ \/ 0 = N ) /\ ( 0 < N \/ 0 = N ) ) )
14		0re 10040	. . . . 5 |- 0 e. RR
15		zre 11381	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
16		leloe 10124	. . . . 5 |- ( ( 0 e. RR /\ N e. RR ) -> ( 0 <_ N <-> ( 0 < N \/ 0 = N ) ) )
17	14, 15, 16	sylancr 695	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( 0 <_ N <-> ( 0 < N \/ 0 = N ) ) )
18	17	pm5.32i 669	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) <-> ( N e. ZZ /\ ( 0 < N \/ 0 = N ) ) )
19	12, 13, 18	3bitr4i 292	. 2 |- ( ( ( N e. ZZ /\ 0 < N ) \/ 0 = N ) <-> ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) )
20	1, 4, 19	3bitri 286	1 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) )

Syntax hints:   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   RRcr 9935   0cc0 9936   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378

This theorem is referenced by:  nn0zrab  11406  znn0sub  11424  nn0ind  11472  fnn0ind  11476  fznn0  12432  elfz0ubfz0  12443  elfz0fzfz0  12444  fz0fzelfz0  12445  elfzmlbp  12450  difelfzle  12452  difelfznle  12453  elfzo0z  12509  fzofzim  12514  ubmelm1fzo  12564  flge0nn0  12621  zmodcl  12690  modmuladdnn0  12714  modsumfzodifsn  12743  zsqcl2  12941  swrdswrdlem  13459  swrdswrd  13460  swrdccatin2  13487  swrdccatin12lem2  13489  swrdccatin12lem3  13490  repswswrd  13531  cshwidxmod  13549  nn0abscl  14052  iseralt  14415  binomrisefac  14773  oexpneg  15069  oddnn02np1  15072  evennn02n  15074  nn0ehalf  15095  nn0oddm1d2  15101  divalglem2  15118  divalglem8  15123  divalglem10  15125  divalgb  15127  bitsinv1lem  15163  dfgcd2  15263  algcvga  15292  hashgcdlem  15493  iserodd  15540  pockthlem  15609  4sqlem14  15662  cshwshashlem2  15803  chfacfscmul0  20663  chfacfpmmul0  20667  taylfvallem1  24111  tayl0  24116  leibpilem1  24667  basellem3  24809  bcmono  25002  gausslemma2dlem0h  25088  crctcshwlkn0lem7  26708  crctcshwlkn0  26713  clwlkclwwlklem2a1  26893  clwlkclwwlklem2fv2  26897  clwlkclwwlklem2a  26899  wwlksubclwwlks  26925  knoppndvlem2  32504  irrapxlem1  37386  rmynn0  37524  rmyabs  37525  jm2.22  37562  jm2.23  37563  jm2.27a  37572  jm2.27c  37574  dvnprodlem1  40161  wallispilem4  40285  stirlinglem5  40295  elaa2lem  40450  etransclem3  40454  etransclem7  40458  etransclem10  40461  etransclem19  40470  etransclem20  40471  etransclem21  40472  etransclem22  40473  etransclem24  40475  etransclem27  40478  zm1nn  41316  eluzge0nn0  41322  elfz2z  41325  2elfz2melfz  41328  subsubelfzo0  41336  pfxccatin12lem2  41424  oexpnegALTV  41588  nn0oALTV  41607  nn0e  41608  nn0eo  42322  dig1  42402