Theorem ptcmplem3 21858

Description: Lemma for ptcmp 21862. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ptcmp.1	|- S = ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) )
ptcmp.2	|- X = X_ n e. A U. ( F ` n )
ptcmp.3	|- ( ph -> A e. V )
ptcmp.4	|- ( ph -> F : A --> Comp )
ptcmp.5	|- ( ph -> X e. (UFL i^i dom card ) )
ptcmplem2.5	|- ( ph -> U C_ ran S )
ptcmplem2.6	|- ( ph -> X = U. U )
ptcmplem2.7	|- ( ph -> -. E. z e. ( ~P U i^i Fin ) X = U. z )
ptcmplem3.8	|- K = { u e. ( F ` k ) | ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) e. U }

Assertion

Ref	Expression
ptcmplem3	|- ( ph -> E. f ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) )

Distinct variable groups:   f, k, n, u, w, z, A   f, K, u   S, k, n, u, z   ph, f, k, n, u   U, k, u, z   k, V, n, u, w, z   f, F, k, n, u, w, z   f, X, k, n, u, w, z

Allowed substitution hints:   ph( z, w)   S( w, f)   U( w, f, n)   K( z, w, k, n)   V( f)

Proof of Theorem ptcmplem3

Dummy variables g m t x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ptcmp.3	. . . 4 |- ( ph -> A e. V )
2		rabexg 4812	. . . 4 |- ( A e. V -> { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } e. _V )
3	1, 2	syl 17	. . 3 |- ( ph -> { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } e. _V )
4		ptcmp.1	. . . . 5 |- S = ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) )
5		ptcmp.2	. . . . 5 |- X = X_ n e. A U. ( F ` n )
6		ptcmp.4	. . . . 5 |- ( ph -> F : A --> Comp )
7		ptcmp.5	. . . . 5 |- ( ph -> X e. (UFL i^i dom card ) )
8		ptcmplem2.5	. . . . 5 |- ( ph -> U C_ ran S )
9		ptcmplem2.6	. . . . 5 |- ( ph -> X = U. U )
10		ptcmplem2.7	. . . . 5 |- ( ph -> -. E. z e. ( ~P U i^i Fin ) X = U. z )
11	4, 5, 1, 6, 7, 8, 9, 10	ptcmplem2 21857	. . . 4 |- ( ph -> U_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } U. ( F ` k ) e. dom card )
12		eldifi 3732	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) -> y e. U. ( F ` k ) )
13	12	3ad2ant3 1084	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. _V /\ y e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) -> y e. U. ( F ` k ) )
14	13	rabssdv 3682	. . . . . 6 |- ( ph -> { y e. _V | y e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) } C_ U. ( F ` k ) )
15	14	ralrimivw 2967	. . . . 5 |- ( ph -> A. k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } { y e. _V | y e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) } C_ U. ( F ` k ) )
16		ss2iun 4536	. . . . 5 |- ( A. k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } { y e. _V | y e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) } C_ U. ( F ` k ) -> U_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } { y e. _V | y e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) } C_ U_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } U. ( F ` k ) )
17	15, 16	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> U_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } { y e. _V | y e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) } C_ U_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } U. ( F ` k ) )
18		ssnum 8862	. . . 4 |- ( ( U_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } U. ( F ` k ) e. dom card /\ U_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } { y e. _V | y e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) } C_ U_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } U. ( F ` k ) ) -> U_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } { y e. _V | y e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) } e. dom card )
19	11, 17, 18	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> U_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } { y e. _V | y e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) } e. dom card )
20		elrabi 3359	. . . . 5 |- ( k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } -> k e. A )
21	10	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> -. E. z e. ( ~P U i^i Fin ) X = U. z )
22		ssdif0 3942	. . . . . . . . 9 |- ( U. ( F ` k ) C_ U. K <-> ( U. ( F ` k ) \ U. K ) = (/) )
23	6	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( F ` k ) e. Comp )
24	23	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) -> ( F ` k ) e. Comp )
25		ptcmplem3.8	. . . . . . . . . . . . . 14 |- K = { u e. ( F ` k ) | ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) e. U }
26		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { u e. ( F ` k ) | ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) e. U } C_ ( F ` k )
27	25, 26	eqsstri 3635	. . . . . . . . . . . . 13 |- K C_ ( F ` k )
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) -> K C_ ( F ` k ) )
29		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) -> U. ( F ` k ) C_ U. K )
30		uniss 4458	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K C_ ( F ` k ) -> U. K C_ U. ( F ` k ) )
31	27, 30	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) -> U. K C_ U. ( F ` k ) )
32	29, 31	eqssd 3620	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) -> U. ( F ` k ) = U. K )
33		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- U. ( F ` k ) = U. ( F ` k )
34	33	cmpcov 21192	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` k ) e. Comp /\ K C_ ( F ` k ) /\ U. ( F ` k ) = U. K ) -> E. t e. ( ~P K i^i Fin ) U. ( F ` k ) = U. t )
35	24, 28, 32, 34	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) -> E. t e. ( ~P K i^i Fin ) U. ( F ` k ) = U. t )
36		elfpw 8268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( t e. ( ~P K i^i Fin ) <-> ( t C_ K /\ t e. Fin ) )
37	36	simplbi 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( t e. ( ~P K i^i Fin ) -> t C_ K )
38	37	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) /\ ( t e. ( ~P K i^i Fin ) /\ U. ( F ` k ) = U. t ) ) -> t C_ K )
39	38	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) /\ ( t e. ( ~P K i^i Fin ) /\ U. ( F ` k ) = U. t ) ) /\ x e. t ) -> x e. K )
40		imaeq2 5462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( u = x -> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) )
41	40	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( u = x -> ( ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) e. U <-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) e. U ) )
42	41, 25	elrab2 3366	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. K <-> ( x e. ( F ` k ) /\ ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) e. U ) )
43	42	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. K -> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) e. U )
44	39, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) /\ ( t e. ( ~P K i^i Fin ) /\ U. ( F ` k ) = U. t ) ) /\ x e. t ) -> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) e. U )
45		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. t |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) ) = ( x e. t |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) )
46	44, 45	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) /\ ( t e. ( ~P K i^i Fin ) /\ U. ( F ` k ) = U. t ) ) -> ( x e. t |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) ) : t --> U )
47		frn 6053	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. t |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) ) : t --> U -> ran ( x e. t |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) ) C_ U )
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) /\ ( t e. ( ~P K i^i Fin ) /\ U. ( F ` k ) = U. t ) ) -> ran ( x e. t |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) ) C_ U )
49	36	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t e. ( ~P K i^i Fin ) -> t e. Fin )
50	49	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) /\ ( t e. ( ~P K i^i Fin ) /\ U. ( F ` k ) = U. t ) ) -> t e. Fin )
51	45	rnmpt 5371	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ran ( x e. t |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) ) = { f | E. x e. t f = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) }
52		abrexfi 8266	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t e. Fin -> { f | E. x e. t f = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) } e. Fin )
53	51, 52	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t e. Fin -> ran ( x e. t |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) ) e. Fin )
54	50, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) /\ ( t e. ( ~P K i^i Fin ) /\ U. ( F ` k ) = U. t ) ) -> ran ( x e. t |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) ) e. Fin )
55		elfpw 8268	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ran ( x e. t |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) ) e. ( ~P U i^i Fin ) <-> ( ran ( x e. t |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) ) C_ U /\ ran ( x e. t |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) ) e. Fin ) )
56	48, 54, 55	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) /\ ( t e. ( ~P K i^i Fin ) /\ U. ( F ` k ) = U. t ) ) -> ran ( x e. t |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) ) e. ( ~P U i^i Fin ) )
57		simp-4r 807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) /\ ( t e. ( ~P K i^i Fin ) /\ U. ( F ` k ) = U. t ) ) /\ f e. X ) -> k e. A )
58		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) /\ ( t e. ( ~P K i^i Fin ) /\ U. ( F ` k ) = U. t ) ) /\ f e. X ) -> f e. X )
59	58, 5	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) /\ ( t e. ( ~P K i^i Fin ) /\ U. ( F ` k ) = U. t ) ) /\ f e. X ) -> f e. X_ n e. A U. ( F ` n ) )
60		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- f e. _V
61	60	elixp 7915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( f e. X_ n e. A U. ( F ` n ) <-> ( f Fn A /\ A. n e. A ( f ` n ) e. U. ( F ` n ) ) )
62	61	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( f e. X_ n e. A U. ( F ` n ) -> A. n e. A ( f ` n ) e. U. ( F ` n ) )
63	59, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) /\ ( t e. ( ~P K i^i Fin ) /\ U. ( F ` k ) = U. t ) ) /\ f e. X ) -> A. n e. A ( f ` n ) e. U. ( F ` n ) )
64		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( n = k -> ( f ` n ) = ( f ` k ) )
65		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( n = k -> ( F ` n ) = ( F ` k ) )
66	65	unieqd 4446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( n = k -> U. ( F ` n ) = U. ( F ` k ) )
67	64, 66	eleq12d 2695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( n = k -> ( ( f ` n ) e. U. ( F ` n ) <-> ( f ` k ) e. U. ( F ` k ) ) )
68	67	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k e. A -> ( A. n e. A ( f ` n ) e. U. ( F ` n ) -> ( f ` k ) e. U. ( F ` k ) ) )
69	57, 63, 68	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) /\ ( t e. ( ~P K i^i Fin ) /\ U. ( F ` k ) = U. t ) ) /\ f e. X ) -> ( f ` k ) e. U. ( F ` k ) )
70		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) /\ ( t e. ( ~P K i^i Fin ) /\ U. ( F ` k ) = U. t ) ) /\ f e. X ) -> U. ( F ` k ) = U. t )
71	69, 70	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) /\ ( t e. ( ~P K i^i Fin ) /\ U. ( F ` k ) = U. t ) ) /\ f e. X ) -> ( f ` k ) e. U. t )
72		eluni2 4440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( f ` k ) e. U. t <-> E. x e. t ( f ` k ) e. x )
73	71, 72	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) /\ ( t e. ( ~P K i^i Fin ) /\ U. ( F ` k ) = U. t ) ) /\ f e. X ) -> E. x e. t ( f ` k ) e. x )
74		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( w = f -> ( w ` k ) = ( f ` k ) )
75	74	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( w = f -> ( ( w ` k ) e. x <-> ( f ` k ) e. x ) )
76		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( w e. X |-> ( w ` k ) ) = ( w e. X |-> ( w ` k ) )
77	76	mptpreima 5628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) = { w e. X | ( w ` k ) e. x }
78	75, 77	elrab2 3366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( f e. ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) <-> ( f e. X /\ ( f ` k ) e. x ) )
79	78	baib 944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( f e. X -> ( f e. ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) <-> ( f ` k ) e. x ) )
80	79	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) /\ ( t e. ( ~P K i^i Fin ) /\ U. ( F ` k ) = U. t ) ) /\ f e. X ) /\ x e. t ) -> ( f e. ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) <-> ( f ` k ) e. x ) )
81	80	rexbidva 3049	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) /\ ( t e. ( ~P K i^i Fin ) /\ U. ( F ` k ) = U. t ) ) /\ f e. X ) -> ( E. x e. t f e. ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) <-> E. x e. t ( f ` k ) e. x ) )
82	73, 81	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) /\ ( t e. ( ~P K i^i Fin ) /\ U. ( F ` k ) = U. t ) ) /\ f e. X ) -> E. x e. t f e. ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) )
83		eliun 4524	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f e. U_ x e. t ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) <-> E. x e. t f e. ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) )
84	82, 83	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) /\ ( t e. ( ~P K i^i Fin ) /\ U. ( F ` k ) = U. t ) ) /\ f e. X ) -> f e. U_ x e. t ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) )
85	84	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) /\ ( t e. ( ~P K i^i Fin ) /\ U. ( F ` k ) = U. t ) ) -> ( f e. X -> f e. U_ x e. t ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) ) )
86	85	ssrdv 3609	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) /\ ( t e. ( ~P K i^i Fin ) /\ U. ( F ` k ) = U. t ) ) -> X C_ U_ x e. t ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) )
87	44	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) /\ ( t e. ( ~P K i^i Fin ) /\ U. ( F ` k ) = U. t ) ) -> A. x e. t ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) e. U )
88		dfiun2g 4552	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. x e. t ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) e. U -> U_ x e. t ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) = U. { f | E. x e. t f = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) } )
89	87, 88	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) /\ ( t e. ( ~P K i^i Fin ) /\ U. ( F ` k ) = U. t ) ) -> U_ x e. t ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) = U. { f | E. x e. t f = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) } )
90	51	unieqi 4445	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U. ran ( x e. t |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) ) = U. { f | E. x e. t f = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) }
91	89, 90	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) /\ ( t e. ( ~P K i^i Fin ) /\ U. ( F ` k ) = U. t ) ) -> U_ x e. t ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) = U. ran ( x e. t |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) ) )
92	86, 91	sseqtrd 3641	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) /\ ( t e. ( ~P K i^i Fin ) /\ U. ( F ` k ) = U. t ) ) -> X C_ U. ran ( x e. t |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) ) )
93	48	unissd 4462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) /\ ( t e. ( ~P K i^i Fin ) /\ U. ( F ` k ) = U. t ) ) -> U. ran ( x e. t |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) ) C_ U. U )
94	9	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) /\ ( t e. ( ~P K i^i Fin ) /\ U. ( F ` k ) = U. t ) ) -> X = U. U )
95	93, 94	sseqtr4d 3642	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) /\ ( t e. ( ~P K i^i Fin ) /\ U. ( F ` k ) = U. t ) ) -> U. ran ( x e. t |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) ) C_ X )
96	92, 95	eqssd 3620	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) /\ ( t e. ( ~P K i^i Fin ) /\ U. ( F ` k ) = U. t ) ) -> X = U. ran ( x e. t |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) ) )
97		unieq 4444	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ran ( x e. t |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) ) -> U. z = U. ran ( x e. t |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) ) )
98	97	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ran ( x e. t |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) ) -> ( X = U. z <-> X = U. ran ( x e. t |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) ) ) )
99	98	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ran ( x e. t |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) ) e. ( ~P U i^i Fin ) /\ X = U. ran ( x e. t |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) ) ) -> E. z e. ( ~P U i^i Fin ) X = U. z )
100	56, 96, 99	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) /\ ( t e. ( ~P K i^i Fin ) /\ U. ( F ` k ) = U. t ) ) -> E. z e. ( ~P U i^i Fin ) X = U. z )
101	35, 100	rexlimddv 3035	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) -> E. z e. ( ~P U i^i Fin ) X = U. z )
102	101	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( U. ( F ` k ) C_ U. K -> E. z e. ( ~P U i^i Fin ) X = U. z ) )
103	22, 102	syl5bir 233	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( ( U. ( F ` k ) \ U. K ) = (/) -> E. z e. ( ~P U i^i Fin ) X = U. z ) )
104	21, 103	mtod 189	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> -. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) = (/) )
105		neq0 3930	. . . . . . 7 |- ( -. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) = (/) <-> E. y y e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) )
106	104, 105	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> E. y y e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) )
107		rexv 3220	. . . . . 6 |- ( E. y e. _V y e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) <-> E. y y e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) )
108	106, 107	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> E. y e. _V y e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) )
109	20, 108	sylan2 491	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } ) -> E. y e. _V y e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) )
110	109	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ph -> A. k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } E. y e. _V y e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) )
111		eleq1 2689	. . . 4 |- ( y = ( g ` k ) -> ( y e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) <-> ( g ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) )
112	111	ac6num 9301	. . 3 |- ( ( { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } e. _V /\ U_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } { y e. _V | y e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) } e. dom card /\ A. k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } E. y e. _V y e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) -> E. g ( g : { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } --> _V /\ A. k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } ( g ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) )
113	3, 19, 110, 112	syl3anc 1326	. 2 |- ( ph -> E. g ( g : { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } --> _V /\ A. k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } ( g ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) )
114	1	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( g : { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } --> _V /\ A. k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } ( g ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> A e. V )
115		mptexg 6484	. . . 4 |- ( A e. V -> ( m e. A |-> if ( U. ( F ` m ) ~~ 1o , U. U. ( F ` m ) , ( g ` m ) ) ) e. _V )
116	114, 115	syl 17	. . 3 |- ( ( ph /\ ( g : { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } --> _V /\ A. k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } ( g ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> ( m e. A |-> if ( U. ( F ` m ) ~~ 1o , U. U. ( F ` m ) , ( g ` m ) ) ) e. _V )
117		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- ( F ` m ) e. _V
118	117	uniex 6953	. . . . . . 7 |- U. ( F ` m ) e. _V
119	118	uniex 6953	. . . . . 6 |- U. U. ( F ` m ) e. _V
120		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( g ` m ) e. _V
121	119, 120	ifex 4156	. . . . 5 |- if ( U. ( F ` m ) ~~ 1o , U. U. ( F ` m ) , ( g ` m ) ) e. _V
122	121	rgenw 2924	. . . 4 |- A. m e. A if ( U. ( F ` m ) ~~ 1o , U. U. ( F ` m ) , ( g ` m ) ) e. _V
123		eqid 2622	. . . . 5 |- ( m e. A |-> if ( U. ( F ` m ) ~~ 1o , U. U. ( F ` m ) , ( g ` m ) ) ) = ( m e. A |-> if ( U. ( F ` m ) ~~ 1o , U. U. ( F ` m ) , ( g ` m ) ) )
124	123	fnmpt 6020	. . . 4 |- ( A. m e. A if ( U. ( F ` m ) ~~ 1o , U. U. ( F ` m ) , ( g ` m ) ) e. _V -> ( m e. A |-> if ( U. ( F ` m ) ~~ 1o , U. U. ( F ` m ) , ( g ` m ) ) ) Fn A )
125	122, 124	mp1i 13	. . 3 |- ( ( ph /\ ( g : { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } --> _V /\ A. k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } ( g ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> ( m e. A |-> if ( U. ( F ` m ) ~~ 1o , U. U. ( F ` m ) , ( g ` m ) ) ) Fn A )
126	66	breq1d 4663	. . . . . . 7 |- ( n = k -> ( U. ( F ` n ) ~~ 1o <-> U. ( F ` k ) ~~ 1o ) )
127	126	notbid 308	. . . . . 6 |- ( n = k -> ( -. U. ( F ` n ) ~~ 1o <-> -. U. ( F ` k ) ~~ 1o ) )
128	127	ralrab 3368	. . . . 5 |- ( A. k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } ( g ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) <-> A. k e. A ( -. U. ( F ` k ) ~~ 1o -> ( g ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) )
129		iftrue 4092	. . . . . . . . . . 11 |- ( U. ( F ` k ) ~~ 1o -> if ( U. ( F ` k ) ~~ 1o , U. U. ( F ` k ) , ( g ` k ) ) = U. U. ( F ` k ) )
130	129	ad2antll 765	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ g : { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } --> _V ) /\ ( k e. A /\ U. ( F ` k ) ~~ 1o ) ) -> if ( U. ( F ` k ) ~~ 1o , U. U. ( F ` k ) , ( g ` k ) ) = U. U. ( F ` k ) )
131	106	adantrr 753	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( k e. A /\ U. ( F ` k ) ~~ 1o ) ) -> E. y y e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) )
132	12	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ U. ( F ` k ) ~~ 1o ) ) /\ y e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) -> y e. U. ( F ` k ) )
133		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ U. ( F ` k ) ~~ 1o ) ) /\ y e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) -> U. ( F ` k ) ~~ 1o )
134		en1b 8024	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( U. ( F ` k ) ~~ 1o <-> U. ( F ` k ) = { U. U. ( F ` k ) } )
135	133, 134	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ U. ( F ` k ) ~~ 1o ) ) /\ y e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) -> U. ( F ` k ) = { U. U. ( F ` k ) } )
136	132, 135	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ U. ( F ` k ) ~~ 1o ) ) /\ y e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) -> y e. { U. U. ( F ` k ) } )
137		elsni 4194	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. { U. U. ( F ` k ) } -> y = U. U. ( F ` k ) )
138	136, 137	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ U. ( F ` k ) ~~ 1o ) ) /\ y e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) -> y = U. U. ( F ` k ) )
139		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ U. ( F ` k ) ~~ 1o ) ) /\ y e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) -> y e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) )
140	138, 139	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ U. ( F ` k ) ~~ 1o ) ) /\ y e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) -> U. U. ( F ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) )
141	131, 140	exlimddv 1863	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( k e. A /\ U. ( F ` k ) ~~ 1o ) ) -> U. U. ( F ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) )
142	141	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ g : { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } --> _V ) /\ ( k e. A /\ U. ( F ` k ) ~~ 1o ) ) -> U. U. ( F ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) )
143	130, 142	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ g : { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } --> _V ) /\ ( k e. A /\ U. ( F ` k ) ~~ 1o ) ) -> if ( U. ( F ` k ) ~~ 1o , U. U. ( F ` k ) , ( g ` k ) ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) )
144	143	a1d 25	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ g : { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } --> _V ) /\ ( k e. A /\ U. ( F ` k ) ~~ 1o ) ) -> ( ( -. U. ( F ` k ) ~~ 1o -> ( g ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) -> if ( U. ( F ` k ) ~~ 1o , U. U. ( F ` k ) , ( g ` k ) ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) )
145	144	expr 643	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ g : { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } --> _V ) /\ k e. A ) -> ( U. ( F ` k ) ~~ 1o -> ( ( -. U. ( F ` k ) ~~ 1o -> ( g ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) -> if ( U. ( F ` k ) ~~ 1o , U. U. ( F ` k ) , ( g ` k ) ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) )
146		pm2.27 42	. . . . . . . 8 |- ( -. U. ( F ` k ) ~~ 1o -> ( ( -. U. ( F ` k ) ~~ 1o -> ( g ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) -> ( g ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) )
147		iffalse 4095	. . . . . . . . 9 |- ( -. U. ( F ` k ) ~~ 1o -> if ( U. ( F ` k ) ~~ 1o , U. U. ( F ` k ) , ( g ` k ) ) = ( g ` k ) )
148	147	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( -. U. ( F ` k ) ~~ 1o -> ( if ( U. ( F ` k ) ~~ 1o , U. U. ( F ` k ) , ( g ` k ) ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) <-> ( g ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) )
149	146, 148	sylibrd 249	. . . . . . 7 |- ( -. U. ( F ` k ) ~~ 1o -> ( ( -. U. ( F ` k ) ~~ 1o -> ( g ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) -> if ( U. ( F ` k ) ~~ 1o , U. U. ( F ` k ) , ( g ` k ) ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) )
150	145, 149	pm2.61d1 171	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ g : { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } --> _V ) /\ k e. A ) -> ( ( -. U. ( F ` k ) ~~ 1o -> ( g ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) -> if ( U. ( F ` k ) ~~ 1o , U. U. ( F ` k ) , ( g ` k ) ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) )
151	150	ralimdva 2962	. . . . 5 |- ( ( ph /\ g : { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } --> _V ) -> ( A. k e. A ( -. U. ( F ` k ) ~~ 1o -> ( g ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) -> A. k e. A if ( U. ( F ` k ) ~~ 1o , U. U. ( F ` k ) , ( g ` k ) ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) )
152	128, 151	syl5bi 232	. . . 4 |- ( ( ph /\ g : { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } --> _V ) -> ( A. k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } ( g ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) -> A. k e. A if ( U. ( F ` k ) ~~ 1o , U. U. ( F ` k ) , ( g ` k ) ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) )
153	152	impr 649	. . 3 |- ( ( ph /\ ( g : { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } --> _V /\ A. k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } ( g ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> A. k e. A if ( U. ( F ` k ) ~~ 1o , U. U. ( F ` k ) , ( g ` k ) ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) )
154		fneq1 5979	. . . . . 6 |- ( f = ( m e. A |-> if ( U. ( F ` m ) ~~ 1o , U. U. ( F ` m ) , ( g ` m ) ) ) -> ( f Fn A <-> ( m e. A |-> if ( U. ( F ` m ) ~~ 1o , U. U. ( F ` m ) , ( g ` m ) ) ) Fn A ) )
155		fveq1 6190	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( m e. A |-> if ( U. ( F ` m ) ~~ 1o , U. U. ( F ` m ) , ( g ` m ) ) ) -> ( f ` k ) = ( ( m e. A |-> if ( U. ( F ` m ) ~~ 1o , U. U. ( F ` m ) , ( g ` m ) ) ) ` k ) )
156		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = k -> ( F ` m ) = ( F ` k ) )
157	156	unieqd 4446	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = k -> U. ( F ` m ) = U. ( F ` k ) )
158	157	breq1d 4663	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = k -> ( U. ( F ` m ) ~~ 1o <-> U. ( F ` k ) ~~ 1o ) )
159	157	unieqd 4446	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = k -> U. U. ( F ` m ) = U. U. ( F ` k ) )
160		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = k -> ( g ` m ) = ( g ` k ) )
161	158, 159, 160	ifbieq12d 4113	. . . . . . . . . 10 |- ( m = k -> if ( U. ( F ` m ) ~~ 1o , U. U. ( F ` m ) , ( g ` m ) ) = if ( U. ( F ` k ) ~~ 1o , U. U. ( F ` k ) , ( g ` k ) ) )
162		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F ` k ) e. _V
163	162	uniex 6953	. . . . . . . . . . . 12 |- U. ( F ` k ) e. _V
164	163	uniex 6953	. . . . . . . . . . 11 |- U. U. ( F ` k ) e. _V
165		fvex 6201	. . . . . . . . . . 11 |- ( g ` k ) e. _V
166	164, 165	ifex 4156	. . . . . . . . . 10 |- if ( U. ( F ` k ) ~~ 1o , U. U. ( F ` k ) , ( g ` k ) ) e. _V
167	161, 123, 166	fvmpt 6282	. . . . . . . . 9 |- ( k e. A -> ( ( m e. A |-> if ( U. ( F ` m ) ~~ 1o , U. U. ( F ` m ) , ( g ` m ) ) ) ` k ) = if ( U. ( F ` k ) ~~ 1o , U. U. ( F ` k ) , ( g ` k ) ) )
168	155, 167	sylan9eq 2676	. . . . . . . 8 |- ( ( f = ( m e. A |-> if ( U. ( F ` m ) ~~ 1o , U. U. ( F ` m ) , ( g ` m ) ) ) /\ k e. A ) -> ( f ` k ) = if ( U. ( F ` k ) ~~ 1o , U. U. ( F ` k ) , ( g ` k ) ) )
169	168	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( ( f = ( m e. A |-> if ( U. ( F ` m ) ~~ 1o , U. U. ( F ` m ) , ( g ` m ) ) ) /\ k e. A ) -> ( ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) <-> if ( U. ( F ` k ) ~~ 1o , U. U. ( F ` k ) , ( g ` k ) ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) )
170	169	ralbidva 2985	. . . . . 6 |- ( f = ( m e. A |-> if ( U. ( F ` m ) ~~ 1o , U. U. ( F ` m ) , ( g ` m ) ) ) -> ( A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) <-> A. k e. A if ( U. ( F ` k ) ~~ 1o , U. U. ( F ` k ) , ( g ` k ) ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) )
171	154, 170	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( f = ( m e. A |-> if ( U. ( F ` m ) ~~ 1o , U. U. ( F ` m ) , ( g ` m ) ) ) -> ( ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) <-> ( ( m e. A |-> if ( U. ( F ` m ) ~~ 1o , U. U. ( F ` m ) , ( g ` m ) ) ) Fn A /\ A. k e. A if ( U. ( F ` k ) ~~ 1o , U. U. ( F ` k ) , ( g ` k ) ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) )
172	171	spcegv 3294	. . . 4 |- ( ( m e. A |-> if ( U. ( F ` m ) ~~ 1o , U. U. ( F ` m ) , ( g ` m ) ) ) e. _V -> ( ( ( m e. A |-> if ( U. ( F ` m ) ~~ 1o , U. U. ( F ` m ) , ( g ` m ) ) ) Fn A /\ A. k e. A if ( U. ( F ` k ) ~~ 1o , U. U. ( F ` k ) , ( g ` k ) ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) -> E. f ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) )
173	172	3impib 1262	. . 3 |- ( ( ( m e. A |-> if ( U. ( F ` m ) ~~ 1o , U. U. ( F ` m ) , ( g ` m ) ) ) e. _V /\ ( m e. A |-> if ( U. ( F ` m ) ~~ 1o , U. U. ( F ` m ) , ( g ` m ) ) ) Fn A /\ A. k e. A if ( U. ( F ` k ) ~~ 1o , U. U. ( F ` k ) , ( g ` k ) ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) -> E. f ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) )
174	116, 125, 153, 173	syl3anc 1326	. 2 |- ( ( ph /\ ( g : { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } --> _V /\ A. k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } ( g ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> E. f ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) )
175	113, 174	exlimddv 1863	1 |- ( ph -> E. f ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888   |-> cmpt2 6652   1oc1o 7553   X_cixp 7908   ~~ cen 7952   Fincfn 7955   cardccrd 8761   Compccmp 21189  UFLcufl 21704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-fin 7959  df-wdom 8464  df-card 8765  df-acn 8768  df-cmp 21190

This theorem is referenced by:  ptcmplem4  21859