Theorem ackbij1lem15 9056

Description: Lemma for ackbij1 9060. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ackbij.f	|- F = ( x e. ( ~P om i^i Fin ) |-> ( card ` U_ y e. x ( { y } X. ~P y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ackbij1lem15	|- ( ( ( A e. ( ~P om i^i Fin ) /\ B e. ( ~P om i^i Fin ) ) /\ ( c e. om /\ c e. A /\ -. c e. B ) ) -> -. ( F ` ( A i^i suc c ) ) = ( F ` ( B i^i suc c ) ) )

Distinct variable groups:   F, c, x, y   A, c, x, y   B, c, x, y

Proof of Theorem ackbij1lem15

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr1 1067	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( ~P om i^i Fin ) /\ B e. ( ~P om i^i Fin ) ) /\ ( c e. om /\ c e. A /\ -. c e. B ) ) -> c e. om )
2		ackbij1lem3 9044	. . . . . . 7 |- ( c e. om -> c e. ( ~P om i^i Fin ) )
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ~P om i^i Fin ) /\ B e. ( ~P om i^i Fin ) ) /\ ( c e. om /\ c e. A /\ -. c e. B ) ) -> c e. ( ~P om i^i Fin ) )
4		simpr3 1069	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ~P om i^i Fin ) /\ B e. ( ~P om i^i Fin ) ) /\ ( c e. om /\ c e. A /\ -. c e. B ) ) -> -. c e. B )
5		ackbij1lem1 9042	. . . . . . . 8 |- ( -. c e. B -> ( B i^i suc c ) = ( B i^i c ) )
6	4, 5	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( ~P om i^i Fin ) /\ B e. ( ~P om i^i Fin ) ) /\ ( c e. om /\ c e. A /\ -. c e. B ) ) -> ( B i^i suc c ) = ( B i^i c ) )
7		inss2 3834	. . . . . . 7 |- ( B i^i c ) C_ c
8	6, 7	syl6eqss 3655	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ~P om i^i Fin ) /\ B e. ( ~P om i^i Fin ) ) /\ ( c e. om /\ c e. A /\ -. c e. B ) ) -> ( B i^i suc c ) C_ c )
9		ackbij.f	. . . . . . 7 |- F = ( x e. ( ~P om i^i Fin ) |-> ( card ` U_ y e. x ( { y } X. ~P y ) ) )
10	9	ackbij1lem12 9053	. . . . . 6 |- ( ( c e. ( ~P om i^i Fin ) /\ ( B i^i suc c ) C_ c ) -> ( F ` ( B i^i suc c ) ) C_ ( F ` c ) )
11	3, 8, 10	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ~P om i^i Fin ) /\ B e. ( ~P om i^i Fin ) ) /\ ( c e. om /\ c e. A /\ -. c e. B ) ) -> ( F ` ( B i^i suc c ) ) C_ ( F ` c ) )
12	9	ackbij1lem10 9051	. . . . . . . . 9 |- F : ( ~P om i^i Fin ) --> om
13	12	ffvelrni 6358	. . . . . . . 8 |- ( c e. ( ~P om i^i Fin ) -> ( F ` c ) e. om )
14		nnon 7071	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` c ) e. om -> ( F ` c ) e. On )
15		onpsssuc 7019	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` c ) e. On -> ( F ` c ) C. suc ( F ` c ) )
16	3, 13, 14, 15	4syl 19	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( ~P om i^i Fin ) /\ B e. ( ~P om i^i Fin ) ) /\ ( c e. om /\ c e. A /\ -. c e. B ) ) -> ( F ` c ) C. suc ( F ` c ) )
17	9	ackbij1lem14 9055	. . . . . . . . 9 |- ( c e. om -> ( F ` { c } ) = suc ( F ` c ) )
18	1, 17	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ~P om i^i Fin ) /\ B e. ( ~P om i^i Fin ) ) /\ ( c e. om /\ c e. A /\ -. c e. B ) ) -> ( F ` { c } ) = suc ( F ` c ) )
19	18	psseq2d 3700	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( ~P om i^i Fin ) /\ B e. ( ~P om i^i Fin ) ) /\ ( c e. om /\ c e. A /\ -. c e. B ) ) -> ( ( F ` c ) C. ( F ` { c } ) <-> ( F ` c ) C. suc ( F ` c ) ) )
20	16, 19	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ~P om i^i Fin ) /\ B e. ( ~P om i^i Fin ) ) /\ ( c e. om /\ c e. A /\ -. c e. B ) ) -> ( F ` c ) C. ( F ` { c } ) )
21		simpll 790	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ~P om i^i Fin ) /\ B e. ( ~P om i^i Fin ) ) /\ ( c e. om /\ c e. A /\ -. c e. B ) ) -> A e. ( ~P om i^i Fin ) )
22		inss1 3833	. . . . . . . 8 |- ( A i^i suc c ) C_ A
23	9	ackbij1lem11 9052	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ~P om i^i Fin ) /\ ( A i^i suc c ) C_ A ) -> ( A i^i suc c ) e. ( ~P om i^i Fin ) )
24	21, 22, 23	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( ~P om i^i Fin ) /\ B e. ( ~P om i^i Fin ) ) /\ ( c e. om /\ c e. A /\ -. c e. B ) ) -> ( A i^i suc c ) e. ( ~P om i^i Fin ) )
25		ssun1 3776	. . . . . . . 8 |- { c } C_ ( { c } u. ( A i^i c ) )
26		simpr2 1068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ~P om i^i Fin ) /\ B e. ( ~P om i^i Fin ) ) /\ ( c e. om /\ c e. A /\ -. c e. B ) ) -> c e. A )
27		ackbij1lem2 9043	. . . . . . . . 9 |- ( c e. A -> ( A i^i suc c ) = ( { c } u. ( A i^i c ) ) )
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ~P om i^i Fin ) /\ B e. ( ~P om i^i Fin ) ) /\ ( c e. om /\ c e. A /\ -. c e. B ) ) -> ( A i^i suc c ) = ( { c } u. ( A i^i c ) ) )
29	25, 28	syl5sseqr 3654	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( ~P om i^i Fin ) /\ B e. ( ~P om i^i Fin ) ) /\ ( c e. om /\ c e. A /\ -. c e. B ) ) -> { c } C_ ( A i^i suc c ) )
30	9	ackbij1lem12 9053	. . . . . . 7 |- ( ( ( A i^i suc c ) e. ( ~P om i^i Fin ) /\ { c } C_ ( A i^i suc c ) ) -> ( F ` { c } ) C_ ( F ` ( A i^i suc c ) ) )
31	24, 29, 30	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ~P om i^i Fin ) /\ B e. ( ~P om i^i Fin ) ) /\ ( c e. om /\ c e. A /\ -. c e. B ) ) -> ( F ` { c } ) C_ ( F ` ( A i^i suc c ) ) )
32	20, 31	psssstrd 3716	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ~P om i^i Fin ) /\ B e. ( ~P om i^i Fin ) ) /\ ( c e. om /\ c e. A /\ -. c e. B ) ) -> ( F ` c ) C. ( F ` ( A i^i suc c ) ) )
33	11, 32	sspsstrd 3715	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( ~P om i^i Fin ) /\ B e. ( ~P om i^i Fin ) ) /\ ( c e. om /\ c e. A /\ -. c e. B ) ) -> ( F ` ( B i^i suc c ) ) C. ( F ` ( A i^i suc c ) ) )
34	33	pssned 3705	. . 3 |- ( ( ( A e. ( ~P om i^i Fin ) /\ B e. ( ~P om i^i Fin ) ) /\ ( c e. om /\ c e. A /\ -. c e. B ) ) -> ( F ` ( B i^i suc c ) ) =/= ( F ` ( A i^i suc c ) ) )
35	34	necomd 2849	. 2 |- ( ( ( A e. ( ~P om i^i Fin ) /\ B e. ( ~P om i^i Fin ) ) /\ ( c e. om /\ c e. A /\ -. c e. B ) ) -> ( F ` ( A i^i suc c ) ) =/= ( F ` ( B i^i suc c ) ) )
36	35	neneqd 2799	1 |- ( ( ( A e. ( ~P om i^i Fin ) /\ B e. ( ~P om i^i Fin ) ) /\ ( c e. om /\ c e. A /\ -. c e. B ) ) -> -. ( F ` ( A i^i suc c ) ) = ( F ` ( B i^i suc c ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   C. wpss 3575   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U_ciun 4520   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   Oncon0 5723   suc csuc 5725   ` cfv 5888   omcom 7065   Fincfn 7955   cardccrd 8761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990

This theorem is referenced by:  ackbij1lem16  9057