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Theorem ackbij2lem3 9063

Description: Lemma for ackbij2 9065. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
ackbij.f
ackbij.g

**Assertion**
Ref	Expression
ackbij2lem3

Distinct variable groups:

Proof of Theorem ackbij2lem3 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . . 4
2		suceq 5790	. . . . . 6
3	2	fveq2d 6195	. . . . 5
4		fveq2 6191	. . . . 5
5	3, 4	reseq12d 5397	. . . 4
6	1, 5	eqeq12d 2637	. . 3
7		fveq2 6191	. . . 4
8		suceq 5790	. . . . . 6
9	8	fveq2d 6195	. . . . 5
10		fveq2 6191	. . . . 5
11	9, 10	reseq12d 5397	. . . 4
12	7, 11	eqeq12d 2637	. . 3
13		fveq2 6191	. . . 4
14		suceq 5790	. . . . . 6
15	14	fveq2d 6195	. . . . 5
16		fveq2 6191	. . . . 5
17	15, 16	reseq12d 5397	. . . 4
18	13, 17	eqeq12d 2637	. . 3
19		fveq2 6191	. . . 4
20		suceq 5790	. . . . . 6
21	20	fveq2d 6195	. . . . 5
22		fveq2 6191	. . . . 5
23	21, 22	reseq12d 5397	. . . 4
24	19, 23	eqeq12d 2637	. . 3
25		res0 5400	. . . 4
26		r10 8631	. . . . 5
27	26	reseq2i 5393	. . . 4
28		0ex 4790	. . . . 5
29	28	rdg0 7517	. . . 4
30	25, 27, 29	3eqtr4ri 2655	. . 3
31		peano2 7086	. . . . . . . 8
32		ackbij.f	. . . . . . . . 9
33		ackbij.g	. . . . . . . . 9
34	32, 33	ackbij2lem2 9062	. . . . . . . 8
35	31, 34	syl 17	. . . . . . 7
36		f1ofn 6138	. . . . . . 7
37	35, 36	syl 17	. . . . . 6
38	37	adantr 481	. . . . 5 $/\$
39		peano2 7086	. . . . . . . 8
40	32, 33	ackbij2lem2 9062	. . . . . . . 8
41		f1ofn 6138	. . . . . . . 8
42	31, 39, 40, 41	4syl 19	. . . . . . 7
43		nnon 7071	. . . . . . . . 9
44	31, 43	syl 17	. . . . . . . 8
45		r1sssuc 8646	. . . . . . . 8
46	44, 45	syl 17	. . . . . . 7
47		fnssres 6004	. . . . . . 7 $/\$
48	42, 46, 47	syl2anc 693	. . . . . 6
49	48	adantr 481	. . . . 5 $/\$
50		nnon 7071	. . . . . . . . . . . . . . 15
51		r1suc 8633	. . . . . . . . . . . . . . 15
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14
53	52	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . 13
54	53	biimpa 501	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
55	54	elpwid 4170	. . . . . . . . . . 11 $/\$
56		resima2 5432	. . . . . . . . . . 11
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$
58	57	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 $/\$
59		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . 13
60	59	resex 5443	. . . . . . . . . . . 12
61		dmeq 5324	. . . . . . . . . . . . . . 15
62	61	pweqd 4163	. . . . . . . . . . . . . 14
63		imaeq1 5461	. . . . . . . . . . . . . . 15
64	63	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14
65	62, 64	mpteq12dv 4733	. . . . . . . . . . . . 13
66	60	dmex 7099	. . . . . . . . . . . . . . 15
67	66	pwex 4848	. . . . . . . . . . . . . 14
68	67	mptex 6486	. . . . . . . . . . . . 13
69	65, 33, 68	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . 12
70	60, 69	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11
71	70	fveq1i 6192	. . . . . . . . . 10
72		r1sssuc 8646	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
73	50, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16
74		fnssres 6004	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
75	37, 73, 74	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15
76		fndm 5990	. . . . . . . . . . . . . . 15
77	75, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14
78	77	pweqd 4163	. . . . . . . . . . . . 13
79	78	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
80	54, 79	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . 11 $/\$
81		imaeq2 5462	. . . . . . . . . . . . 13
82	81	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12
83		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12
84		fvex 6201	. . . . . . . . . . . 12
85	82, 83, 84	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . 11
86	80, 85	syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$
87	71, 86	syl5eq 2668	. . . . . . . . 9 $/\$
88		dmeq 5324	. . . . . . . . . . . . . . 15
89	88	pweqd 4163	. . . . . . . . . . . . . 14
90		imaeq1 5461	. . . . . . . . . . . . . . 15
91	90	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14
92	89, 91	mpteq12dv 4733	. . . . . . . . . . . . 13
93	59	dmex 7099	. . . . . . . . . . . . . . 15
94	93	pwex 4848	. . . . . . . . . . . . . 14
95	94	mptex 6486	. . . . . . . . . . . . 13
96	92, 33, 95	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . 12
97	59, 96	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11
98	97	fveq1i 6192	. . . . . . . . . 10
99		r1tr 8639	. . . . . . . . . . . . . . 15
100	99	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14
101		dftr4 4757	. . . . . . . . . . . . . 14
102	100, 101	sylib 208	. . . . . . . . . . . . 13
103	102	sselda 3603	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
104		f1odm 6141	. . . . . . . . . . . . . . 15
105	35, 104	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14
106	105	pweqd 4163	. . . . . . . . . . . . 13
107	106	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
108	103, 107	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . 11 $/\$
109		imaeq2 5462	. . . . . . . . . . . . 13
110	109	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12
111		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12
112		fvex 6201	. . . . . . . . . . . 12
113	110, 111, 112	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . 11
114	108, 113	syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$
115	98, 114	syl5eq 2668	. . . . . . . . 9 $/\$
116	58, 87, 115	3eqtr4d 2666	. . . . . . . 8 $/\$
117	116	adantlr 751	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
118		fveq2 6191	. . . . . . . . 9
119	118	fveq1d 6193	. . . . . . . 8
120	119	ad2antlr 763	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
121		rdgsuc 7520	. . . . . . . . . 10
122	44, 121	syl 17	. . . . . . . . 9
123	122	fveq1d 6193	. . . . . . . 8
124	123	ad2antrr 762	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
125	117, 120, 124	3eqtr4rd 2667	. . . . . 6 $/\$ $/\$
126		fvres 6207	. . . . . . 7
127	126	adantl 482	. . . . . 6 $/\$ $/\$
128		rdgsuc 7520	. . . . . . . . 9
129	50, 128	syl 17	. . . . . . . 8
130	129	fveq1d 6193	. . . . . . 7
131	130	ad2antrr 762	. . . . . 6 $/\$ $/\$
132	125, 127, 131	3eqtr4rd 2667	. . . . 5 $/\$ $/\$
133	38, 49, 132	eqfnfvd 6314	. . . 4 $/\$
134	133	ex 450	. . 3
135	6, 12, 18, 24, 30, 134	finds 7092	. 2
136		resss 5422	. 2
137	135, 136	syl6eqss 3655	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

cvv 3200

cin 3573

wss 3574

c0 3915

cpw 4158

csn 4177

ciun 4520

cmpt 4729

wtr 4752

cxp 5112

cdm 5114

cres 5116

cima 5117

con0 5723

csuc 5725

wfn 5883

wf1o 5887

cfv 5888

com 7065

crdg 7505

cfn 7955

cr1 8625

ccrd 8761

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-r1 8627 df-card 8765 df-cda 8990

This theorem is referenced by: ackbij2lem4 9064

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