Theorem adderpq 9778

Description: Addition is compatible with the equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
adderpq	|- ( ( /Q ` A ) +Q ( /Q ` B ) ) = ( /Q ` ( A +pQ B ) )

Proof of Theorem adderpq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqercl 9753	. . . 4 |- ( A e. ( N. X. N. ) -> ( /Q ` A ) e. Q. )
2		nqercl 9753	. . . 4 |- ( B e. ( N. X. N. ) -> ( /Q ` B ) e. Q. )
3		addpqnq 9760	. . . 4 |- ( ( ( /Q ` A ) e. Q. /\ ( /Q ` B ) e. Q. ) -> ( ( /Q ` A ) +Q ( /Q ` B ) ) = ( /Q ` ( ( /Q ` A ) +pQ ( /Q ` B ) ) ) )
4	1, 2, 3	syl2an 494	. . 3 |- ( ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( ( /Q ` A ) +Q ( /Q ` B ) ) = ( /Q ` ( ( /Q ` A ) +pQ ( /Q ` B ) ) ) )
5		enqer 9743	. . . . . 6 |- ~Q Er ( N. X. N. )
6	5	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ~Q Er ( N. X. N. ) )
7		nqerrel 9754	. . . . . . 7 |- ( A e. ( N. X. N. ) -> A ~Q ( /Q ` A ) )
8	7	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> A ~Q ( /Q ` A ) )
9		elpqn 9747	. . . . . . . . 9 |- ( ( /Q ` A ) e. Q. -> ( /Q ` A ) e. ( N. X. N. ) )
10	1, 9	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( N. X. N. ) -> ( /Q ` A ) e. ( N. X. N. ) )
11		adderpqlem 9776	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( N. X. N. ) /\ ( /Q ` A ) e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( A ~Q ( /Q ` A ) <-> ( A +pQ B ) ~Q ( ( /Q ` A ) +pQ B ) ) )
12	11	3exp 1264	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( N. X. N. ) -> ( ( /Q ` A ) e. ( N. X. N. ) -> ( B e. ( N. X. N. ) -> ( A ~Q ( /Q ` A ) <-> ( A +pQ B ) ~Q ( ( /Q ` A ) +pQ B ) ) ) ) )
13	10, 12	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( A e. ( N. X. N. ) -> ( B e. ( N. X. N. ) -> ( A ~Q ( /Q ` A ) <-> ( A +pQ B ) ~Q ( ( /Q ` A ) +pQ B ) ) ) )
14	13	imp 445	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( A ~Q ( /Q ` A ) <-> ( A +pQ B ) ~Q ( ( /Q ` A ) +pQ B ) ) )
15	8, 14	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( A +pQ B ) ~Q ( ( /Q ` A ) +pQ B ) )
16		nqerrel 9754	. . . . . . . 8 |- ( B e. ( N. X. N. ) -> B ~Q ( /Q ` B ) )
17	16	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> B ~Q ( /Q ` B ) )
18		elpqn 9747	. . . . . . . . . 10 |- ( ( /Q ` B ) e. Q. -> ( /Q ` B ) e. ( N. X. N. ) )
19	2, 18	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( B e. ( N. X. N. ) -> ( /Q ` B ) e. ( N. X. N. ) )
20		adderpqlem 9776	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. ( N. X. N. ) /\ ( /Q ` B ) e. ( N. X. N. ) /\ ( /Q ` A ) e. ( N. X. N. ) ) -> ( B ~Q ( /Q ` B ) <-> ( B +pQ ( /Q ` A ) ) ~Q ( ( /Q ` B ) +pQ ( /Q ` A ) ) ) )
21	20	3exp 1264	. . . . . . . . 9 |- ( B e. ( N. X. N. ) -> ( ( /Q ` B ) e. ( N. X. N. ) -> ( ( /Q ` A ) e. ( N. X. N. ) -> ( B ~Q ( /Q ` B ) <-> ( B +pQ ( /Q ` A ) ) ~Q ( ( /Q ` B ) +pQ ( /Q ` A ) ) ) ) ) )
22	19, 21	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( B e. ( N. X. N. ) -> ( ( /Q ` A ) e. ( N. X. N. ) -> ( B ~Q ( /Q ` B ) <-> ( B +pQ ( /Q ` A ) ) ~Q ( ( /Q ` B ) +pQ ( /Q ` A ) ) ) ) )
23	10, 22	mpan9 486	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( B ~Q ( /Q ` B ) <-> ( B +pQ ( /Q ` A ) ) ~Q ( ( /Q ` B ) +pQ ( /Q ` A ) ) ) )
24	17, 23	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( B +pQ ( /Q ` A ) ) ~Q ( ( /Q ` B ) +pQ ( /Q ` A ) ) )
25		addcompq 9772	. . . . . 6 |- ( B +pQ ( /Q ` A ) ) = ( ( /Q ` A ) +pQ B )
26		addcompq 9772	. . . . . 6 |- ( ( /Q ` B ) +pQ ( /Q ` A ) ) = ( ( /Q ` A ) +pQ ( /Q ` B ) )
27	24, 25, 26	3brtr3g 4686	. . . . 5 |- ( ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( ( /Q ` A ) +pQ B ) ~Q ( ( /Q ` A ) +pQ ( /Q ` B ) ) )
28	6, 15, 27	ertrd 7758	. . . 4 |- ( ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( A +pQ B ) ~Q ( ( /Q ` A ) +pQ ( /Q ` B ) ) )
29		addpqf 9766	. . . . . 6 |- +pQ : ( ( N. X. N. ) X. ( N. X. N. ) ) --> ( N. X. N. )
30	29	fovcl 6765	. . . . 5 |- ( ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( A +pQ B ) e. ( N. X. N. ) )
31	29	fovcl 6765	. . . . . 6 |- ( ( ( /Q ` A ) e. ( N. X. N. ) /\ ( /Q ` B ) e. ( N. X. N. ) ) -> ( ( /Q ` A ) +pQ ( /Q ` B ) ) e. ( N. X. N. ) )
32	10, 19, 31	syl2an 494	. . . . 5 |- ( ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( ( /Q ` A ) +pQ ( /Q ` B ) ) e. ( N. X. N. ) )
33		nqereq 9757	. . . . 5 |- ( ( ( A +pQ B ) e. ( N. X. N. ) /\ ( ( /Q ` A ) +pQ ( /Q ` B ) ) e. ( N. X. N. ) ) -> ( ( A +pQ B ) ~Q ( ( /Q ` A ) +pQ ( /Q ` B ) ) <-> ( /Q ` ( A +pQ B ) ) = ( /Q ` ( ( /Q ` A ) +pQ ( /Q ` B ) ) ) ) )
34	30, 32, 33	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( ( A +pQ B ) ~Q ( ( /Q ` A ) +pQ ( /Q ` B ) ) <-> ( /Q ` ( A +pQ B ) ) = ( /Q ` ( ( /Q ` A ) +pQ ( /Q ` B ) ) ) ) )
35	28, 34	mpbid 222	. . 3 |- ( ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( /Q ` ( A +pQ B ) ) = ( /Q ` ( ( /Q ` A ) +pQ ( /Q ` B ) ) ) )
36	4, 35	eqtr4d 2659	. 2 |- ( ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( ( /Q ` A ) +Q ( /Q ` B ) ) = ( /Q ` ( A +pQ B ) ) )
37		0nnq 9746	. . . . . . . 8 |- -. (/) e. Q.
38		nqerf 9752	. . . . . . . . . . . 12 |- /Q : ( N. X. N. ) --> Q.
39	38	fdmi 6052	. . . . . . . . . . 11 |- dom /Q = ( N. X. N. )
40	39	eleq2i 2693	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. dom /Q <-> A e. ( N. X. N. ) )
41		ndmfv 6218	. . . . . . . . . 10 |- ( -. A e. dom /Q -> ( /Q ` A ) = (/) )
42	40, 41	sylnbir 321	. . . . . . . . 9 |- ( -. A e. ( N. X. N. ) -> ( /Q ` A ) = (/) )
43	42	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( -. A e. ( N. X. N. ) -> ( ( /Q ` A ) e. Q. <-> (/) e. Q. ) )
44	37, 43	mtbiri 317	. . . . . . 7 |- ( -. A e. ( N. X. N. ) -> -. ( /Q ` A ) e. Q. )
45	44	con4i 113	. . . . . 6 |- ( ( /Q ` A ) e. Q. -> A e. ( N. X. N. ) )
46	39	eleq2i 2693	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. dom /Q <-> B e. ( N. X. N. ) )
47		ndmfv 6218	. . . . . . . . . 10 |- ( -. B e. dom /Q -> ( /Q ` B ) = (/) )
48	46, 47	sylnbir 321	. . . . . . . . 9 |- ( -. B e. ( N. X. N. ) -> ( /Q ` B ) = (/) )
49	48	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( -. B e. ( N. X. N. ) -> ( ( /Q ` B ) e. Q. <-> (/) e. Q. ) )
50	37, 49	mtbiri 317	. . . . . . 7 |- ( -. B e. ( N. X. N. ) -> -. ( /Q ` B ) e. Q. )
51	50	con4i 113	. . . . . 6 |- ( ( /Q ` B ) e. Q. -> B e. ( N. X. N. ) )
52	45, 51	anim12i 590	. . . . 5 |- ( ( ( /Q ` A ) e. Q. /\ ( /Q ` B ) e. Q. ) -> ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) )
53	52	con3i 150	. . . 4 |- ( -. ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> -. ( ( /Q ` A ) e. Q. /\ ( /Q ` B ) e. Q. ) )
54		addnqf 9770	. . . . . 6 |- +Q : ( Q. X. Q. ) --> Q.
55	54	fdmi 6052	. . . . 5 |- dom +Q = ( Q. X. Q. )
56	55	ndmov 6818	. . . 4 |- ( -. ( ( /Q ` A ) e. Q. /\ ( /Q ` B ) e. Q. ) -> ( ( /Q ` A ) +Q ( /Q ` B ) ) = (/) )
57	53, 56	syl 17	. . 3 |- ( -. ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( ( /Q ` A ) +Q ( /Q ` B ) ) = (/) )
58		0nelxp 5143	. . . . . 6 |- -. (/) e. ( N. X. N. )
59	39	eleq2i 2693	. . . . . 6 |- ( (/) e. dom /Q <-> (/) e. ( N. X. N. ) )
60	58, 59	mtbir 313	. . . . 5 |- -. (/) e. dom /Q
61	29	fdmi 6052	. . . . . . 7 |- dom +pQ = ( ( N. X. N. ) X. ( N. X. N. ) )
62	61	ndmov 6818	. . . . . 6 |- ( -. ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( A +pQ B ) = (/) )
63	62	eleq1d 2686	. . . . 5 |- ( -. ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( ( A +pQ B ) e. dom /Q <-> (/) e. dom /Q ) )
64	60, 63	mtbiri 317	. . . 4 |- ( -. ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> -. ( A +pQ B ) e. dom /Q )
65		ndmfv 6218	. . . 4 |- ( -. ( A +pQ B ) e. dom /Q -> ( /Q ` ( A +pQ B ) ) = (/) )
66	64, 65	syl 17	. . 3 |- ( -. ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( /Q ` ( A +pQ B ) ) = (/) )
67	57, 66	eqtr4d 2659	. 2 |- ( -. ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( ( /Q ` A ) +Q ( /Q ` B ) ) = ( /Q ` ( A +pQ B ) ) )
68	36, 67	pm2.61i 176	1 |- ( ( /Q ` A ) +Q ( /Q ` B ) ) = ( /Q ` ( A +pQ B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Er wer 7739   N.cnpi 9666   +pQ cplpq 9670   ~Q ceq 9673   Q.cnq 9674   /Qcerq 9676   +Q cplq 9677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ni 9694  df-pli 9695  df-mi 9696  df-lti 9697  df-plpq 9730  df-enq 9733  df-nq 9734  df-erq 9735  df-plq 9736  df-1nq 9738

This theorem is referenced by:  addassnq  9780  distrnq  9783  ltexnq  9797