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Theorem cpmadugsumlemB 20679
Description: Lemma B for cpmadugsum 20683. (Contributed by AV, 2-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cpmadugsum.a |- A = ( N Mat R )
cpmadugsum.b |- B = ( Base ` A )
cpmadugsum.p |- P = (Poly1 ` R )
cpmadugsum.y |- Y = ( N Mat P )
cpmadugsum.t |- T = ( N matToPolyMat R )
cpmadugsum.x |- X = (var1 ` R )
cpmadugsum.e |- .^ = (.g ` (mulGrp ` P ) )
cpmadugsum.m |- .x. = ( .s ` Y )
cpmadugsum.r |- .X. = ( .r ` Y )
cpmadugsum.1 |- .1. = ( 1r ` Y )
Assertion
Ref Expression
cpmadugsumlemB |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN0 /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( ( X .x. .1. ) .X. ( Y gsumg ( i e. ( 0 ... s ) |-> ( ( i .^ X ) .x. ( T ` ( b ` i ) ) ) ) ) ) = ( Y gsumg ( i e. ( 0 ... s ) |-> ( ( ( i + 1 ) .^ X ) .x. ( T ` ( b ` i ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:   B, i   i, M   i, N   R, i   i, X   i, Y   .X. , i   .x. , i   .1. , i   i, b   i, s
Allowed substitution hints:   A( i, s, b)   B( s, b)   P( i, s, b)   R( s, b)   T( i, s, b)   .x. ( s, b)   .X. ( s, b)   .1. ( s, b)   .^ ( i, s, b)   M( s, b)   N( s, b)   X( s, b)   Y( s, b)
Proof of Theorem cpmadugsumlemB
StepHypRef Expression
1 crngring 18558 . . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. CRing -> R e. Ring )
2 cpmadugsum.p . . . . . . . . . . . . 13 |- P = (Poly1 ` R )
32ply1ring 19618 . . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. Ring -> P e. Ring )
41, 3syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( R e. CRing -> P e. Ring )
543ad2ant2 1083 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> P e. Ring )
6 eqid 2622 . . . . . . . . . . 11 |- (mulGrp ` P ) = (mulGrp ` P )
76ringmgp 18553 . . . . . . . . . 10 |- ( P e. Ring -> (mulGrp ` P ) e. Mnd )
85, 7syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> (mulGrp ` P ) e. Mnd )
98ad2antrr 762 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN0 /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... s ) ) -> (mulGrp ` P ) e. Mnd )
10 elfznn0 12433 . . . . . . . . 9 |- ( i e. ( 0 ... s ) -> i e. NN0 )
1110adantl 482 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN0 /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... s ) ) -> i e. NN0 )
12 1nn0 11308 . . . . . . . . 9 |- 1 e. NN0
1312a1i 11 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN0 /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... s ) ) -> 1 e. NN0 )
1413ad2ant2 1083 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> R e. Ring )
15 cpmadugsum.x . . . . . . . . . . 11 |- X = (var1 ` R )
16 eqid 2622 . . . . . . . . . . 11 |- ( Base ` P ) = ( Base ` P )
1715, 2, 16vr1cl 19587 . . . . . . . . . 10 |- ( R e. Ring -> X e. ( Base ` P ) )
1814, 17syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> X e. ( Base ` P ) )
1918ad2antrr 762 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN0 /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... s ) ) -> X e. ( Base ` P ) )
206, 16mgpbas 18495 . . . . . . . . 9 |- ( Base ` P ) = ( Base ` (mulGrp ` P ) )
21 cpmadugsum.e . . . . . . . . 9 |- .^ = (.g ` (mulGrp ` P ) )
22 eqid 2622 . . . . . . . . . 10 |- ( .r ` P ) = ( .r ` P )
236, 22mgpplusg 18493 . . . . . . . . 9 |- ( .r ` P ) = ( +g ` (mulGrp ` P ) )
2420, 21, 23mulgnn0dir 17571 . . . . . . . 8 |- ( ( (mulGrp ` P ) e. Mnd /\ ( i e. NN0 /\ 1 e. NN0 /\ X e. ( Base ` P ) ) ) -> ( ( i + 1 ) .^ X ) = ( ( i .^ X ) ( .r ` P ) ( 1 .^ X ) ) )
259, 11, 13, 19, 24syl13anc 1328 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN0 /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... s ) ) -> ( ( i + 1 ) .^ X ) = ( ( i .^ X ) ( .r ` P ) ( 1 .^ X ) ) )
262ply1crng 19568 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. CRing -> P e. CRing )
2726anim2i 593 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> ( N e. Fin /\ P e. CRing ) )
28273adant3 1081 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> ( N e. Fin /\ P e. CRing ) )
29 cpmadugsum.y . . . . . . . . . . . 12 |- Y = ( N Mat P )
3029matsca2 20226 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Fin /\ P e. CRing ) -> P = (Scalar ` Y ) )
3128, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> P = (Scalar ` Y ) )
3231ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN0 /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... s ) ) -> P = (Scalar ` Y ) )
3332fveq2d 6195 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN0 /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... s ) ) -> ( .r ` P ) = ( .r ` (Scalar ` Y ) ) )
34 eqidd 2623 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN0 /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... s ) ) -> ( i .^ X ) = ( i .^ X ) )
3520, 21mulg1 17548 . . . . . . . . . 10 |- ( X e. ( Base ` P ) -> ( 1 .^ X ) = X )
3618, 35syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> ( 1 .^ X ) = X )
3736ad2antrr 762 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN0 /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... s ) ) -> ( 1 .^ X ) = X )
3833, 34, 37oveq123d 6671 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN0 /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... s ) ) -> ( ( i .^ X ) ( .r ` P ) ( 1 .^ X ) ) = ( ( i .^ X ) ( .r ` (Scalar ` Y ) ) X ) )
3925, 38eqtrd 2656 . . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN0 /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... s ) ) -> ( ( i + 1 ) .^ X ) = ( ( i .^ X ) ( .r ` (Scalar ` Y ) ) X ) )
404anim2i 593 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> ( N e. Fin /\ P e. Ring ) )
41403adant3 1081 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> ( N e. Fin /\ P e. Ring ) )
4229matring 20249 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Fin /\ P e. Ring ) -> Y e. Ring )
4341, 42syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> Y e. Ring )
4443ad2antrr 762 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN0 /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... s ) ) -> Y e. Ring )
45 simpll1 1100 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN0 /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... s ) ) -> N e. Fin )
4614ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN0 /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... s ) ) -> R e. Ring )
47 simplrl 800 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN0 /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... s ) ) -> s e. NN0 )
48 simprr 796 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN0 /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) )
4948anim1i 592 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN0 /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... s ) ) -> ( b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) /\ i e. ( 0 ... s ) ) )
50 cpmadugsum.a . . . . . . . . . 10 |- A = ( N Mat R )
51 cpmadugsum.b . . . . . . . . . 10 |- B = ( Base ` A )
52 cpmadugsum.t . . . . . . . . . 10 |- T = ( N matToPolyMat R )
5350, 51, 2, 29, 52m2pmfzmap 20552 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ s e. NN0 ) /\ ( b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) /\ i e. ( 0 ... s ) ) ) -> ( T ` ( b ` i ) ) e. ( Base ` Y ) )
5445, 46, 47, 49, 53syl31anc 1329 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN0 /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... s ) ) -> ( T ` ( b ` i ) ) e. ( Base ` Y ) )
55 eqid 2622 . . . . . . . . 9 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
56 cpmadugsum.r . . . . . . . . 9 |- .X. = ( .r ` Y )
57 cpmadugsum.1 . . . . . . . . 9 |- .1. = ( 1r ` Y )
5855, 56, 57ringlidm 18571 . . . . . . . 8 |- ( ( Y e. Ring /\ ( T ` ( b ` i ) ) e. ( Base ` Y ) ) -> ( .1. .X. ( T ` ( b ` i ) ) ) = ( T ` ( b ` i ) ) )
5944, 54, 58syl2anc 693 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN0 /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... s ) ) -> ( .1. .X. ( T ` ( b ` i ) ) ) = ( T ` ( b ` i ) ) )
6059eqcomd 2628 . . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN0 /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... s ) ) -> ( T ` ( b ` i ) ) = ( .1. .X. ( T ` ( b ` i ) ) ) )
6139, 60oveq12d 6668 . . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN0 /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... s ) ) -> ( ( ( i + 1 ) .^ X ) .x. ( T ` ( b ` i ) ) ) = ( ( ( i .^ X ) ( .r ` (Scalar ` Y ) ) X ) .x. ( .1. .X. ( T ` ( b ` i ) ) ) ) )
6229matassa 20250 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Fin /\ P e. CRing ) -> Y e. AssAlg )
6327, 62syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> Y e. AssAlg )
64633adant3 1081 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> Y e. AssAlg )
6564ad2antrr 762 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN0 /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... s ) ) -> Y e. AssAlg )
6631eqcomd 2628 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> (Scalar ` Y ) = P )
6766fveq2d 6195 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> ( Base ` (Scalar ` Y ) ) = ( Base ` P ) )
6818, 67eleqtrrd 2704 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> X e. ( Base ` (Scalar ` Y ) ) )
6968ad2antrr 762 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN0 /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... s ) ) -> X e. ( Base ` (Scalar ` Y ) ) )
7020, 21mulgnn0cl 17558 . . . . . . . . 9 |- ( ( (mulGrp ` P ) e. Mnd /\ i e. NN0 /\ X e. ( Base ` P ) ) -> ( i .^ X ) e. ( Base ` P ) )
719, 11, 19, 70syl3anc 1326 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN0 /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... s ) ) -> ( i .^ X ) e. ( Base ` P ) )
7267ad2antrr 762 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN0 /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... s ) ) -> ( Base ` (Scalar ` Y ) ) = ( Base ` P ) )
7371, 72eleqtrrd 2704 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN0 /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... s ) ) -> ( i .^ X ) e. ( Base ` (Scalar ` Y ) ) )
7440, 42syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> Y e. Ring )
75743adant3 1081 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> Y e. Ring )
7655, 57ringidcl 18568 . . . . . . . . 9 |- ( Y e. Ring -> .1. e. ( Base ` Y ) )
7775, 76syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> .1. e. ( Base ` Y ) )
7877ad2antrr 762 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN0 /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... s ) ) -> .1. e. ( Base ` Y ) )
79 eqid 2622 . . . . . . . 8 |- (Scalar ` Y ) = (Scalar ` Y )
80 eqid 2622 . . . . . . . 8 |- ( Base ` (Scalar ` Y ) ) = ( Base ` (Scalar ` Y ) )
81 eqid 2622 . . . . . . . 8 |- ( .r ` (Scalar ` Y ) ) = ( .r ` (Scalar ` Y ) )
82 cpmadugsum.m . . . . . . . 8 |- .x. = ( .s ` Y )
8355, 79, 80, 81, 82, 56assa2ass 19322 . . . . . . 7 |- ( ( Y e. AssAlg /\ ( X e. ( Base ` (Scalar ` Y ) ) /\ ( i .^ X ) e. ( Base ` (Scalar ` Y ) ) ) /\ ( .1. e. ( Base ` Y ) /\ ( T ` ( b ` i ) ) e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( ( X .x. .1. ) .X. ( ( i .^ X ) .x. ( T ` ( b ` i ) ) ) ) = ( ( ( i .^ X ) ( .r ` (Scalar ` Y ) ) X ) .x. ( .1. .X. ( T ` ( b ` i ) ) ) ) )
8465, 69, 73, 78, 54, 83syl122anc 1335 . . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN0 /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... s ) ) -> ( ( X .x. .1. ) .X. ( ( i .^ X ) .x. ( T ` ( b ` i ) ) ) ) = ( ( ( i .^ X ) ( .r ` (Scalar ` Y ) ) X ) .x. ( .1. .X. ( T ` ( b ` i ) ) ) ) )
8584eqcomd 2628 . . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN0 /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... s ) ) -> ( ( ( i .^ X ) ( .r ` (Scalar ` Y ) ) X ) .x. ( .1. .X. ( T ` ( b ` i ) ) ) ) = ( ( X .x. .1. ) .X. ( ( i .^ X ) .x. ( T ` ( b ` i ) ) ) ) )
8661, 85eqtrd 2656 . . . 4 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN0 /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... s ) ) -> ( ( ( i + 1 ) .^ X ) .x. ( T ` ( b ` i ) ) ) = ( ( X .x. .1. ) .X. ( ( i .^ X ) .x. ( T ` ( b ` i ) ) ) ) )
8786mpteq2dva 4744 . . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN0 /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( i e. ( 0 ... s ) |-> ( ( ( i + 1 ) .^ X ) .x. ( T ` ( b ` i ) ) ) ) = ( i e. ( 0 ... s ) |-> ( ( X .x. .1. ) .X. ( ( i .^ X ) .x. ( T ` ( b ` i ) ) ) ) ) )
8887oveq2d 6666 . 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN0 /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( Y gsumg ( i e. ( 0 ... s ) |-> ( ( ( i + 1 ) .^ X ) .x. ( T ` ( b ` i ) ) ) ) ) = ( Y gsumg ( i e. ( 0 ... s ) |-> ( ( X .x. .1. ) .X. ( ( i .^ X ) .x. ( T ` ( b ` i ) ) ) ) ) ) )
89 eqid 2622 . . 3 |- ( 0g ` Y ) = ( 0g ` Y )
90 eqid 2622 . . 3 |- ( +g ` Y ) = ( +g ` Y )
9175adantr 481 . . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN0 /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> Y e. Ring )
92 ovexd 6680 . . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN0 /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( 0 ... s ) e. _V )
9329matlmod 20235 . . . . . . 7 |- ( ( N e. Fin /\ P e. Ring ) -> Y e. LMod )
9440, 93syl 17 . . . . . 6 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> Y e. LMod )
95943adant3 1081 . . . . 5 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> Y e. LMod )
961adantl 482 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> R e. Ring )
9796, 17syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> X e. ( Base ` P ) )
9827, 30syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> P = (Scalar ` Y ) )
9998eqcomd 2628 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> (Scalar ` Y ) = P )
10099fveq2d 6195 . . . . . . 7 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> ( Base ` (Scalar ` Y ) ) = ( Base ` P ) )
10197, 100eleqtrrd 2704 . . . . . 6 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> X e. ( Base ` (Scalar ` Y ) ) )
1021013adant3 1081 . . . . 5 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> X e. ( Base ` (Scalar ` Y ) ) )
10343, 76syl 17 . . . . 5 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> .1. e. ( Base ` Y ) )
10455, 79, 82, 80lmodvscl 18880 . . . . 5 |- ( ( Y e. LMod /\ X e. ( Base ` (Scalar ` Y ) ) /\ .1. e. ( Base ` Y ) ) -> ( X .x. .1. ) e. ( Base ` Y ) )
10595, 102, 103, 104syl3anc 1326 . . . 4 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> ( X .x. .1. ) e. ( Base ` Y ) )
106105adantr 481 . . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN0 /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( X .x. .1. ) e. ( Base ` Y ) )
10795ad2antrr 762 . . . 4 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN0 /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... s ) ) -> Y e. LMod )
10830eqcomd 2628 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. Fin /\ P e. CRing ) -> (Scalar ` Y ) = P )
109108fveq2d 6195 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. Fin /\ P e. CRing ) -> ( Base ` (Scalar ` Y ) ) = ( Base ` P ) )
11028, 109syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> ( Base ` (Scalar ` Y ) ) = ( Base ` P ) )
111110eleq2d 2687 . . . . . 6 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> ( ( i .^ X ) e. ( Base ` (Scalar ` Y ) ) <-> ( i .^ X ) e. ( Base ` P ) ) )
112111ad2antrr 762 . . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN0 /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... s ) ) -> ( ( i .^ X ) e. ( Base ` (Scalar ` Y ) ) <-> ( i .^ X ) e. ( Base ` P ) ) )
11371, 112mpbird 247 . . . 4 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN0 /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... s ) ) -> ( i .^ X ) e. ( Base ` (Scalar ` Y ) ) )
11455, 79, 82, 80lmodvscl 18880 . . . 4 |- ( ( Y e. LMod /\ ( i .^ X ) e. ( Base ` (Scalar ` Y ) ) /\ ( T ` ( b ` i ) ) e. ( Base ` Y ) ) -> ( ( i .^ X ) .x. ( T ` ( b ` i ) ) ) e. ( Base ` Y ) )
115107, 113, 54, 114syl3anc 1326 . . 3 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN0 /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... s ) ) -> ( ( i .^ X ) .x. ( T ` ( b ` i ) ) ) e. ( Base ` Y ) )
116 simpl1 1064 . . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN0 /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> N e. Fin )
11714adantr 481 . . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN0 /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> R e. Ring )
118 simprl 794 . . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN0 /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> s e. NN0 )
119 eqid 2622 . . . . 5 |- ( i e. ( 0 ... s ) |-> ( ( i .^ X ) .x. ( T ` ( b ` i ) ) ) ) = ( i e. ( 0 ... s ) |-> ( ( i .^ X ) .x. ( T ` ( b ` i ) ) ) )
120 fzfid 12772 . . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ s e. NN0 ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> ( 0 ... s ) e. Fin )
121 ovexd 6680 . . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ s e. NN0 ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ i e. ( 0 ... s ) ) -> ( ( i .^ X ) .x. ( T ` ( b ` i ) ) ) e. _V )
122 fvexd 6203 . . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ s e. NN0 ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> ( 0g ` Y ) e. _V )
123119, 120, 121, 122fsuppmptdm 8286 . . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ s e. NN0 ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> ( i e. ( 0 ... s ) |-> ( ( i .^ X ) .x. ( T ` ( b ` i ) ) ) ) finSupp ( 0g ` Y ) )
124116, 117, 118, 48, 123syl31anc 1329 . . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN0 /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( i e. ( 0 ... s ) |-> ( ( i .^ X ) .x. ( T ` ( b ` i ) ) ) ) finSupp ( 0g ` Y ) )
12555, 89, 90, 56, 91, 92, 106, 115, 124gsummulc2 18607 . 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN0 /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( Y gsumg ( i e. ( 0 ... s ) |-> ( ( X .x. .1. ) .X. ( ( i .^ X ) .x. ( T ` ( b ` i ) ) ) ) ) ) = ( ( X .x. .1. ) .X. ( Y gsumg ( i e. ( 0 ... s ) |-> ( ( i .^ X ) .x. ( T ` ( b ` i ) ) ) ) ) ) )
12688, 125eqtr2d 2657 1 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN0 /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( ( X .x. .1. ) .X. ( Y gsumg ( i e. ( 0 ... s ) |-> ( ( i .^ X ) .x. ( T ` ( b ` i ) ) ) ) ) ) = ( Y gsumg ( i e. ( 0 ... s ) |-> ( ( ( i + 1 ) .^ X ) .x. ( T ` ( b ` i ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   finSupp cfsupp 8275   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   NN0cn0 11292   ...cfz 12326   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100   gsumg cgsu 16101   Mndcmnd 17294  .gcmg 17540  mulGrpcmgp 18489   1rcur 18501   Ringcrg 18547   CRingccrg 18548   LModclmod 18863  AssAlgcasa 19309  var1cv1 19546  Poly1cpl1 19547   Mat cmat 20213   matToPolyMat cmat2pmat 20509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-assa 19312  df-ascl 19314  df-psr 19356  df-mvr 19357  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-psr1 19550  df-vr1 19551  df-ply1 19552  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-mamu 20190  df-mat 20214  df-mat2pmat 20512
This theorem is referenced by:  cpmadugsumlemF  20681
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