Theorem assamulgscmlem2 19349

Description: Lemma for assamulgscm 19350 (induction step). (Contributed by AV, 26-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
assamulgscm.v	|- V = ( Base ` W )
assamulgscm.f	|- F = (Scalar ` W )
assamulgscm.b	|- B = ( Base ` F )
assamulgscm.s	|- .x. = ( .s ` W )
assamulgscm.g	|- G = (mulGrp ` F )
assamulgscm.p	|- .^ = (.g ` G )
assamulgscm.h	|- H = (mulGrp ` W )
assamulgscm.e	|- E = (.g ` H )

Assertion

Ref	Expression
assamulgscmlem2	|- ( y e. NN0 -> ( ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) -> ( ( y E ( A .x. X ) ) = ( ( y .^ A ) .x. ( y E X ) ) -> ( ( y + 1 ) E ( A .x. X ) ) = ( ( ( y + 1 ) .^ A ) .x. ( ( y + 1 ) E X ) ) ) ) )

Proof of Theorem assamulgscmlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		assaring 19320	. . . . . . . 8 |- ( W e. AssAlg -> W e. Ring )
2		assamulgscm.h	. . . . . . . . 9 |- H = (mulGrp ` W )
3	2	ringmgp 18553	. . . . . . . 8 |- ( W e. Ring -> H e. Mnd )
4	1, 3	syl 17	. . . . . . 7 |- ( W e. AssAlg -> H e. Mnd )
5	4	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) -> H e. Mnd )
6	5	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) -> H e. Mnd )
7	6	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) /\ ( y E ( A .x. X ) ) = ( ( y .^ A ) .x. ( y E X ) ) ) -> H e. Mnd )
8		simpll 790	. . . 4 |- ( ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) /\ ( y E ( A .x. X ) ) = ( ( y .^ A ) .x. ( y E X ) ) ) -> y e. NN0 )
9		assalmod 19319	. . . . . . . 8 |- ( W e. AssAlg -> W e. LMod )
10	9	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) -> W e. LMod )
11		simpll 790	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) -> A e. B )
12		simplr 792	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) -> X e. V )
13		assamulgscm.v	. . . . . . . 8 |- V = ( Base ` W )
14		assamulgscm.f	. . . . . . . 8 |- F = (Scalar ` W )
15		assamulgscm.s	. . . . . . . 8 |- .x. = ( .s ` W )
16		assamulgscm.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` F )
17	13, 14, 15, 16	lmodvscl 18880	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ A e. B /\ X e. V ) -> ( A .x. X ) e. V )
18	10, 11, 12, 17	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) -> ( A .x. X ) e. V )
19	18	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) -> ( A .x. X ) e. V )
20	19	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) /\ ( y E ( A .x. X ) ) = ( ( y .^ A ) .x. ( y E X ) ) ) -> ( A .x. X ) e. V )
21	2, 13	mgpbas 18495	. . . . 5 |- V = ( Base ` H )
22		assamulgscm.e	. . . . 5 |- E = (.g ` H )
23		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( .r ` W ) = ( .r ` W )
24	2, 23	mgpplusg 18493	. . . . 5 |- ( .r ` W ) = ( +g ` H )
25	21, 22, 24	mulgnn0p1 17552	. . . 4 |- ( ( H e. Mnd /\ y e. NN0 /\ ( A .x. X ) e. V ) -> ( ( y + 1 ) E ( A .x. X ) ) = ( ( y E ( A .x. X ) ) ( .r ` W ) ( A .x. X ) ) )
26	7, 8, 20, 25	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) /\ ( y E ( A .x. X ) ) = ( ( y .^ A ) .x. ( y E X ) ) ) -> ( ( y + 1 ) E ( A .x. X ) ) = ( ( y E ( A .x. X ) ) ( .r ` W ) ( A .x. X ) ) )
27		oveq1 6657	. . . 4 |- ( ( y E ( A .x. X ) ) = ( ( y .^ A ) .x. ( y E X ) ) -> ( ( y E ( A .x. X ) ) ( .r ` W ) ( A .x. X ) ) = ( ( ( y .^ A ) .x. ( y E X ) ) ( .r ` W ) ( A .x. X ) ) )
28		simprr 796	. . . . . 6 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) -> W e. AssAlg )
29	14	assasca 19321	. . . . . . . . . 10 |- ( W e. AssAlg -> F e. CRing )
30		crngring 18558	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. CRing -> F e. Ring )
31		assamulgscm.g	. . . . . . . . . . 11 |- G = (mulGrp ` F )
32	31	ringmgp 18553	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. Ring -> G e. Mnd )
33	29, 30, 32	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( W e. AssAlg -> G e. Mnd )
34	33	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) -> G e. Mnd )
35	34	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) -> G e. Mnd )
36		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) -> y e. NN0 )
37	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( W e. AssAlg -> B = ( Base ` F ) )
38	14	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Base ` F ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
39	37, 38	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( W e. AssAlg -> B = ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
40	39	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . 11 |- ( W e. AssAlg -> ( A e. B <-> A e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) )
41	40	biimpcd 239	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. B -> ( W e. AssAlg -> A e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) )
42	41	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. B /\ X e. V ) -> ( W e. AssAlg -> A e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) )
43	42	imp 445	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) -> A e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
44	43	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) -> A e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
45	14	eqcomi 2631	. . . . . . . . . 10 |- (Scalar ` W ) = F
46	45	fveq2i 6194	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` F )
47	31, 46	mgpbas 18495	. . . . . . . 8 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` G )
48		assamulgscm.p	. . . . . . . 8 |- .^ = (.g ` G )
49	47, 48	mulgnn0cl 17558	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Mnd /\ y e. NN0 /\ A e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) -> ( y .^ A ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
50	35, 36, 44, 49	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) -> ( y .^ A ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
51		simprlr 803	. . . . . . 7 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) -> X e. V )
52	21, 22	mulgnn0cl 17558	. . . . . . 7 |- ( ( H e. Mnd /\ y e. NN0 /\ X e. V ) -> ( y E X ) e. V )
53	6, 36, 51, 52	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) -> ( y E X ) e. V )
54		eqid 2622	. . . . . . 7 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
55		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
56	13, 54, 55, 15, 23	assaass 19317	. . . . . 6 |- ( ( W e. AssAlg /\ ( ( y .^ A ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( y E X ) e. V /\ ( A .x. X ) e. V ) ) -> ( ( ( y .^ A ) .x. ( y E X ) ) ( .r ` W ) ( A .x. X ) ) = ( ( y .^ A ) .x. ( ( y E X ) ( .r ` W ) ( A .x. X ) ) ) )
57	28, 50, 53, 19, 56	syl13anc 1328	. . . . 5 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) -> ( ( ( y .^ A ) .x. ( y E X ) ) ( .r ` W ) ( A .x. X ) ) = ( ( y .^ A ) .x. ( ( y E X ) ( .r ` W ) ( A .x. X ) ) ) )
58	13, 54, 55, 15, 23	assaassr 19318	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. AssAlg /\ ( A e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( y E X ) e. V /\ X e. V ) ) -> ( ( y E X ) ( .r ` W ) ( A .x. X ) ) = ( A .x. ( ( y E X ) ( .r ` W ) X ) ) )
59	28, 44, 53, 51, 58	syl13anc 1328	. . . . . . 7 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) -> ( ( y E X ) ( .r ` W ) ( A .x. X ) ) = ( A .x. ( ( y E X ) ( .r ` W ) X ) ) )
60	59	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) -> ( ( y .^ A ) .x. ( ( y E X ) ( .r ` W ) ( A .x. X ) ) ) = ( ( y .^ A ) .x. ( A .x. ( ( y E X ) ( .r ` W ) X ) ) ) )
61	21, 22, 24	mulgnn0p1 17552	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H e. Mnd /\ y e. NN0 /\ X e. V ) -> ( ( y + 1 ) E X ) = ( ( y E X ) ( .r ` W ) X ) )
62	6, 36, 51, 61	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) -> ( ( y + 1 ) E X ) = ( ( y E X ) ( .r ` W ) X ) )
63	62	eqcomd 2628	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) -> ( ( y E X ) ( .r ` W ) X ) = ( ( y + 1 ) E X ) )
64	63	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) -> ( A .x. ( ( y E X ) ( .r ` W ) X ) ) = ( A .x. ( ( y + 1 ) E X ) ) )
65	64	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) -> ( ( y .^ A ) .x. ( A .x. ( ( y E X ) ( .r ` W ) X ) ) ) = ( ( y .^ A ) .x. ( A .x. ( ( y + 1 ) E X ) ) ) )
66	10	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) -> W e. LMod )
67		peano2nn0 11333	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN0 -> ( y + 1 ) e. NN0 )
68	67	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) -> ( y + 1 ) e. NN0 )
69	21, 22	mulgnn0cl 17558	. . . . . . . 8 |- ( ( H e. Mnd /\ ( y + 1 ) e. NN0 /\ X e. V ) -> ( ( y + 1 ) E X ) e. V )
70	6, 68, 51, 69	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) -> ( ( y + 1 ) E X ) e. V )
71		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( .r ` (Scalar ` W ) ) = ( .r ` (Scalar ` W ) )
72	13, 54, 15, 55, 71	lmodvsass 18888	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( y .^ A ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ A e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( ( y + 1 ) E X ) e. V ) ) -> ( ( ( y .^ A ) ( .r ` (Scalar ` W ) ) A ) .x. ( ( y + 1 ) E X ) ) = ( ( y .^ A ) .x. ( A .x. ( ( y + 1 ) E X ) ) ) )
73	72	eqcomd 2628	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( y .^ A ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ A e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( ( y + 1 ) E X ) e. V ) ) -> ( ( y .^ A ) .x. ( A .x. ( ( y + 1 ) E X ) ) ) = ( ( ( y .^ A ) ( .r ` (Scalar ` W ) ) A ) .x. ( ( y + 1 ) E X ) ) )
74	66, 50, 44, 70, 73	syl13anc 1328	. . . . . 6 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) -> ( ( y .^ A ) .x. ( A .x. ( ( y + 1 ) E X ) ) ) = ( ( ( y .^ A ) ( .r ` (Scalar ` W ) ) A ) .x. ( ( y + 1 ) E X ) ) )
75	60, 65, 74	3eqtrd 2660	. . . . 5 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) -> ( ( y .^ A ) .x. ( ( y E X ) ( .r ` W ) ( A .x. X ) ) ) = ( ( ( y .^ A ) ( .r ` (Scalar ` W ) ) A ) .x. ( ( y + 1 ) E X ) ) )
76		simprll 802	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) -> A e. B )
77	31, 16	mgpbas 18495	. . . . . . . . . 10 |- B = ( Base ` G )
78		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( .r ` F ) = ( .r ` F )
79	31, 78	mgpplusg 18493	. . . . . . . . . 10 |- ( .r ` F ) = ( +g ` G )
80	77, 48, 79	mulgnn0p1 17552	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Mnd /\ y e. NN0 /\ A e. B ) -> ( ( y + 1 ) .^ A ) = ( ( y .^ A ) ( .r ` F ) A ) )
81	35, 36, 76, 80	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) -> ( ( y + 1 ) .^ A ) = ( ( y .^ A ) ( .r ` F ) A ) )
82	14	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) -> F = (Scalar ` W ) )
83	82	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) -> ( .r ` F ) = ( .r ` (Scalar ` W ) ) )
84	83	oveqd 6667	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) -> ( ( y .^ A ) ( .r ` F ) A ) = ( ( y .^ A ) ( .r ` (Scalar ` W ) ) A ) )
85	81, 84	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) -> ( ( y + 1 ) .^ A ) = ( ( y .^ A ) ( .r ` (Scalar ` W ) ) A ) )
86	85	eqcomd 2628	. . . . . 6 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) -> ( ( y .^ A ) ( .r ` (Scalar ` W ) ) A ) = ( ( y + 1 ) .^ A ) )
87	86	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) -> ( ( ( y .^ A ) ( .r ` (Scalar ` W ) ) A ) .x. ( ( y + 1 ) E X ) ) = ( ( ( y + 1 ) .^ A ) .x. ( ( y + 1 ) E X ) ) )
88	57, 75, 87	3eqtrd 2660	. . . 4 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) -> ( ( ( y .^ A ) .x. ( y E X ) ) ( .r ` W ) ( A .x. X ) ) = ( ( ( y + 1 ) .^ A ) .x. ( ( y + 1 ) E X ) ) )
89	27, 88	sylan9eqr 2678	. . 3 |- ( ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) /\ ( y E ( A .x. X ) ) = ( ( y .^ A ) .x. ( y E X ) ) ) -> ( ( y E ( A .x. X ) ) ( .r ` W ) ( A .x. X ) ) = ( ( ( y + 1 ) .^ A ) .x. ( ( y + 1 ) E X ) ) )
90	26, 89	eqtrd 2656	. 2 |- ( ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) /\ ( y E ( A .x. X ) ) = ( ( y .^ A ) .x. ( y E X ) ) ) -> ( ( y + 1 ) E ( A .x. X ) ) = ( ( ( y + 1 ) .^ A ) .x. ( ( y + 1 ) E X ) ) )
91	90	exp31 630	1 |- ( y e. NN0 -> ( ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) -> ( ( y E ( A .x. X ) ) = ( ( y .^ A ) .x. ( y E X ) ) -> ( ( y + 1 ) E ( A .x. X ) ) = ( ( ( y + 1 ) .^ A ) .x. ( ( y + 1 ) E X ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1c1 9937   + caddc 9939   NN0cn0 11292   Basecbs 15857   .rcmulr 15942  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   Mndcmnd 17294  ._gcmg 17540  mulGrpcmgp 18489   Ringcrg 18547   CRingccrg 18548   LModclmod 18863  AssAlgcasa 19309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mulg 17541  df-mgp 18490  df-ring 18549  df-cring 18550  df-lmod 18865  df-assa 19312

This theorem is referenced by:  assamulgscm  19350