Theorem mulgnn0cl 17558

Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation for a nonnegative multiplier in a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnncl.b	|- B = ( Base ` G )
mulgnncl.t	|- .x. = (.g ` G )

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0cl	|- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN0 /\ X e. B ) -> ( N .x. X ) e. B )

Proof of Theorem mulgnn0cl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgnncl.b	. 2 |- B = ( Base ` G )
2		mulgnncl.t	. 2 |- .x. = (.g ` G )
3		eqid 2622	. 2 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
4		id 22	. 2 |- ( G e. Mnd -> G e. Mnd )
5		ssid 3624	. . 3 |- B C_ B
6	5	a1i 11	. 2 |- ( G e. Mnd -> B C_ B )
7	1, 3	mndcl 17301	. 2 |- ( ( G e. Mnd /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x ( +g ` G ) y ) e. B )
8		eqid 2622	. 2 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
9	1, 8	mndidcl 17308	. 2 |- ( G e. Mnd -> ( 0g ` G ) e. B )
10	1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9	mulgnn0subcl 17554	1 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN0 /\ X e. B ) -> ( N .x. X ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   NN0cn0 11292   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100   Mndcmnd 17294  ._gcmg 17540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mulg 17541

This theorem is referenced by:  mulgnn0dir  17571  mulgnn0ass  17578  mhmmulg  17583  pwsmulg  17587  odmodnn0  17959  mulgmhm  18233  srgmulgass  18531  srgpcomp  18532  srgpcompp  18533  srgpcomppsc  18534  srgbinomlem1  18540  srgbinomlem2  18541  srgbinomlem4  18543  srgbinomlem  18544  lmodvsmmulgdi  18898  assamulgscmlem2  19349  mplcoe5lem  19467  mplcoe5  19468  psrbagev1  19510  evlslem3  19514  ply1moncl  19641  coe1pwmul  19649  ply1coefsupp  19665  ply1coe  19666  gsummoncoe1  19674  lply1binomsc  19677  evl1expd  19709  evl1scvarpw  19727  evl1scvarpwval  19728  evl1gsummon  19729  pmatcollpwscmatlem1  20594  mply1topmatcllem  20608  mply1topmatcl  20610  pm2mpghm  20621  monmat2matmon  20629  pm2mp  20630  chpscmatgsumbin  20649  chpscmatgsummon  20650  chfacfscmulcl  20662  chfacfscmul0  20663  chfacfpmmulcl  20666  chfacfpmmul0  20667  cpmadugsumlemB  20679  cpmadugsumlemC  20680  cpmadugsumlemF  20681  cayhamlem2  20689  cayhamlem4  20693  deg1pw  23880  plypf1  23968  lgsqrlem2  25072  lgsqrlem3  25073  lgsqrlem4  25074  omndmul2  29712  omndmul3  29713  omndmul  29714  isarchi2  29739  hbtlem4  37696  lmodvsmdi  42163  ply1mulgsumlem4  42177  ply1mulgsum  42178