Theorem axccd2 39430

Description: An alternative version of the axiom of countable choice. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
axccd2.1	|- ( ph -> A ~<_ om )
axccd2.2	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> x =/= (/) )

Assertion

Ref	Expression
axccd2	|- ( ph -> E. f A. x e. A ( f ` x ) e. x )

Distinct variable groups:   A, f, x   ph, f, x

Proof of Theorem axccd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfinite2 8218	. . . . 5 |- ( A ~< om -> A e. Fin )
2	1	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ A ~< om ) -> A e. Fin )
3		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A ~< om ) /\ x e. A ) -> x e. A )
4		axccd2.2	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> x =/= (/) )
5	4	adantlr 751	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A ~< om ) /\ x e. A ) -> x =/= (/) )
6	2, 3, 5	choicefi 39392	. . 3 |- ( ( ph /\ A ~< om ) -> E. f ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. x ) )
7		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. x ) -> A. x e. A ( f ` x ) e. x )
8	7	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ph /\ A ~< om ) -> ( ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. x ) -> A. x e. A ( f ` x ) e. x ) )
9	8	eximdv 1846	. . 3 |- ( ( ph /\ A ~< om ) -> ( E. f ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. x ) -> E. f A. x e. A ( f ` x ) e. x ) )
10	6, 9	mpd 15	. 2 |- ( ( ph /\ A ~< om ) -> E. f A. x e. A ( f ` x ) e. x )
11		axccd2.1	. . . . 5 |- ( ph -> A ~<_ om )
12	11	anim1i 592	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. A ~< om ) -> ( A ~<_ om /\ -. A ~< om ) )
13		bren2 7986	. . . 4 |- ( A ~~ om <-> ( A ~<_ om /\ -. A ~< om ) )
14	12, 13	sylibr 224	. . 3 |- ( ( ph /\ -. A ~< om ) -> A ~~ om )
15		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ph /\ A ~~ om ) -> A ~~ om )
16	4	adantlr 751	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A ~~ om ) /\ x e. A ) -> x =/= (/) )
17	15, 16	axccd 39429	. . 3 |- ( ( ph /\ A ~~ om ) -> E. f A. x e. A ( f ` x ) e. x )
18	14, 17	syldan 487	. 2 |- ( ( ph /\ -. A ~< om ) -> E. f A. x e. A ( f ` x ) e. x )
19	10, 18	pm2.61dan 832	1 |- ( ph -> E. f A. x e. A ( f ` x ) e. x )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   Fn wfn 5883   ` cfv 5888   omcom 7065   ~~ cen 7952   ~<_ cdom 7953   ~< csdm 7954   Fincfn 7955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cc 9257

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959

This theorem is referenced by:  smflimlem6  40984  smfpimcc  41014