Theorem axcontlem12 25855

Description: Lemma for axcont 25856. Eliminate the trivial cases from the previous lemmas. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
axcontlem12	|- ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ Z e. ( EE ` N ) ) -> E. b e. ( EE ` N ) A. x e. A A. y e. B b Btwn <. x , y >. )

Distinct variable groups:   A, b, x   B, b, x, y   N, b, x, y   Z, b, x, y

Allowed substitution hint:   A( y)

Proof of Theorem axcontlem12

Dummy variable u is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rzal 4073	. . . . . . . . 9 |- ( B = (/) -> A. y e. B Z Btwn <. x , y >. )
2	1	ralrimivw 2967	. . . . . . . 8 |- ( B = (/) -> A. x e. A A. y e. B Z Btwn <. x , y >. )
3		breq1 4656	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = Z -> ( b Btwn <. x , y >. <-> Z Btwn <. x , y >. ) )
4	3	2ralbidv 2989	. . . . . . . . . 10 |- ( b = Z -> ( A. x e. A A. y e. B b Btwn <. x , y >. <-> A. x e. A A. y e. B Z Btwn <. x , y >. ) )
5	4	rspcev 3309	. . . . . . . . 9 |- ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B Z Btwn <. x , y >. ) -> E. b e. ( EE ` N ) A. x e. A A. y e. B b Btwn <. x , y >. )
6	5	expcom 451	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A A. y e. B Z Btwn <. x , y >. -> ( Z e. ( EE ` N ) -> E. b e. ( EE ` N ) A. x e. A A. y e. B b Btwn <. x , y >. ) )
7	2, 6	syl 17	. . . . . . 7 |- ( B = (/) -> ( Z e. ( EE ` N ) -> E. b e. ( EE ` N ) A. x e. A A. y e. B b Btwn <. x , y >. ) )
8	7	adantld 483	. . . . . 6 |- ( B = (/) -> ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ Z e. ( EE ` N ) ) -> E. b e. ( EE ` N ) A. x e. A A. y e. B b Btwn <. x , y >. ) )
9	8	adantld 483	. . . . 5 |- ( B = (/) -> ( ( ( u e. A /\ Z =/= u ) /\ ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ Z e. ( EE ` N ) ) ) -> E. b e. ( EE ` N ) A. x e. A A. y e. B b Btwn <. x , y >. ) )
10		simprrl 804	. . . . . . 7 |- ( ( B =/= (/) /\ ( ( u e. A /\ Z =/= u ) /\ ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ Z e. ( EE ` N ) ) ) ) -> ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) )
11		simprrr 805	. . . . . . . 8 |- ( ( B =/= (/) /\ ( ( u e. A /\ Z =/= u ) /\ ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ Z e. ( EE ` N ) ) ) ) -> Z e. ( EE ` N ) )
12		simprll 802	. . . . . . . 8 |- ( ( B =/= (/) /\ ( ( u e. A /\ Z =/= u ) /\ ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ Z e. ( EE ` N ) ) ) ) -> u e. A )
13		simpl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( B =/= (/) /\ ( ( u e. A /\ Z =/= u ) /\ ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ Z e. ( EE ` N ) ) ) ) -> B =/= (/) )
14	11, 12, 13	3jca 1242	. . . . . . 7 |- ( ( B =/= (/) /\ ( ( u e. A /\ Z =/= u ) /\ ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ Z e. ( EE ` N ) ) ) ) -> ( Z e. ( EE ` N ) /\ u e. A /\ B =/= (/) ) )
15		simprlr 803	. . . . . . 7 |- ( ( B =/= (/) /\ ( ( u e. A /\ Z =/= u ) /\ ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ Z e. ( EE ` N ) ) ) ) -> Z =/= u )
16		axcontlem11 25854	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ u e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= u ) ) -> E. b e. ( EE ` N ) A. x e. A A. y e. B b Btwn <. x , y >. )
17	10, 14, 15, 16	syl12anc 1324	. . . . . 6 |- ( ( B =/= (/) /\ ( ( u e. A /\ Z =/= u ) /\ ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ Z e. ( EE ` N ) ) ) ) -> E. b e. ( EE ` N ) A. x e. A A. y e. B b Btwn <. x , y >. )
18	17	ex 450	. . . . 5 |- ( B =/= (/) -> ( ( ( u e. A /\ Z =/= u ) /\ ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ Z e. ( EE ` N ) ) ) -> E. b e. ( EE ` N ) A. x e. A A. y e. B b Btwn <. x , y >. ) )
19	9, 18	pm2.61ine 2877	. . . 4 |- ( ( ( u e. A /\ Z =/= u ) /\ ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ Z e. ( EE ` N ) ) ) -> E. b e. ( EE ` N ) A. x e. A A. y e. B b Btwn <. x , y >. )
20	19	ex 450	. . 3 |- ( ( u e. A /\ Z =/= u ) -> ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ Z e. ( EE ` N ) ) -> E. b e. ( EE ` N ) A. x e. A A. y e. B b Btwn <. x , y >. ) )
21	20	rexlimiva 3028	. 2 |- ( E. u e. A Z =/= u -> ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ Z e. ( EE ` N ) ) -> E. b e. ( EE ` N ) A. x e. A A. y e. B b Btwn <. x , y >. ) )
22		df-ne 2795	. . . . . 6 |- ( Z =/= u <-> -. Z = u )
23	22	con2bii 347	. . . . 5 |- ( Z = u <-> -. Z =/= u )
24	23	ralbii 2980	. . . 4 |- ( A. u e. A Z = u <-> A. u e. A -. Z =/= u )
25		ralnex 2992	. . . 4 |- ( A. u e. A -. Z =/= u <-> -. E. u e. A Z =/= u )
26	24, 25	bitri 264	. . 3 |- ( A. u e. A Z = u <-> -. E. u e. A Z =/= u )
27		simpr3 1069	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) -> A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. )
28		eqeq2 2633	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = x -> ( Z = u <-> Z = x ) )
29	28	rspccva 3308	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. u e. A Z = u /\ x e. A ) -> Z = x )
30		opeq1 4402	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Z = x -> <. Z , y >. = <. x , y >. )
31	30	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Z = x -> ( x Btwn <. Z , y >. <-> x Btwn <. x , y >. ) )
32		breq1 4656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Z = x -> ( Z Btwn <. x , y >. <-> x Btwn <. x , y >. ) )
33	31, 32	bitr4d 271	. . . . . . . . . . 11 |- ( Z = x -> ( x Btwn <. Z , y >. <-> Z Btwn <. x , y >. ) )
34	33	ralbidv 2986	. . . . . . . . . 10 |- ( Z = x -> ( A. y e. B x Btwn <. Z , y >. <-> A. y e. B Z Btwn <. x , y >. ) )
35	29, 34	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. u e. A Z = u /\ x e. A ) -> ( A. y e. B x Btwn <. Z , y >. <-> A. y e. B Z Btwn <. x , y >. ) )
36	35	ralbidva 2985	. . . . . . . 8 |- ( A. u e. A Z = u -> ( A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. <-> A. x e. A A. y e. B Z Btwn <. x , y >. ) )
37	36	biimpa 501	. . . . . . 7 |- ( ( A. u e. A Z = u /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) -> A. x e. A A. y e. B Z Btwn <. x , y >. )
38	27, 37	sylan2 491	. . . . . 6 |- ( ( A. u e. A Z = u /\ ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) ) -> A. x e. A A. y e. B Z Btwn <. x , y >. )
39	38, 5	sylan2 491	. . . . 5 |- ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ ( A. u e. A Z = u /\ ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) ) ) -> E. b e. ( EE ` N ) A. x e. A A. y e. B b Btwn <. x , y >. )
40	39	ancoms 469	. . . 4 |- ( ( ( A. u e. A Z = u /\ ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) ) /\ Z e. ( EE ` N ) ) -> E. b e. ( EE ` N ) A. x e. A A. y e. B b Btwn <. x , y >. )
41	40	expl 648	. . 3 |- ( A. u e. A Z = u -> ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ Z e. ( EE ` N ) ) -> E. b e. ( EE ` N ) A. x e. A A. y e. B b Btwn <. x , y >. ) )
42	26, 41	sylbir 225	. 2 |- ( -. E. u e. A Z =/= u -> ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ Z e. ( EE ` N ) ) -> E. b e. ( EE ` N ) A. x e. A A. y e. B b Btwn <. x , y >. ) )
43	21, 42	pm2.61i 176	1 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ Z e. ( EE ` N ) ) -> E. b e. ( EE ` N ) A. x e. A A. y e. B b Btwn <. x , y >. )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   (/)c0 3915   <.cop 4183   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   NNcn 11020   EEcee 25768   Btwn cbtwn 25769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-z 11378  df-uz 11688  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-ee 25771  df-btwn 25772

This theorem is referenced by:  axcont  25856