Theorem axgroth3 9653

Description: Alternate version of the Tarski-Grothendieck Axiom. ax-cc 9257 is used to derive this version. (Contributed by NM, 26-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
axgroth3	|- E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. v ( v C_ z -> v e. w ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) )

Distinct variable group:   x, y, z, w, v

Proof of Theorem axgroth3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axgroth2 9647	. 2 |- E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. v ( v C_ z -> v e. w ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( y ~<_ z \/ z e. y ) ) )
2		ssid 3624	. . . . . . . . . . . 12 |- z C_ z
3		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = z -> ( v C_ z <-> z C_ z ) )
4		elequ1 1997	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = z -> ( v e. w <-> z e. w ) )
5	3, 4	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = z -> ( ( v C_ z -> v e. w ) <-> ( z C_ z -> z e. w ) ) )
6	5	spv 2260	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. v ( v C_ z -> v e. w ) -> ( z C_ z -> z e. w ) )
7	2, 6	mpi 20	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. v ( v C_ z -> v e. w ) -> z e. w )
8	7	reximi 3011	. . . . . . . . . 10 |- ( E. w e. y A. v ( v C_ z -> v e. w ) -> E. w e. y z e. w )
9		eluni2 4440	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. U. y <-> E. w e. y z e. w )
10	8, 9	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( E. w e. y A. v ( v C_ z -> v e. w ) -> z e. U. y )
11	10	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. v ( v C_ z -> v e. w ) ) -> z e. U. y )
12	11	ralimi 2952	. . . . . . 7 |- ( A. z e. y ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. v ( v C_ z -> v e. w ) ) -> A. z e. y z e. U. y )
13		dfss3 3592	. . . . . . 7 |- ( y C_ U. y <-> A. z e. y z e. U. y )
14	12, 13	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( A. z e. y ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. v ( v C_ z -> v e. w ) ) -> y C_ U. y )
15		ne0i 3921	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. y -> y =/= (/) )
16		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12 |- y e. _V
17	16	dominf 9267	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y =/= (/) /\ y C_ U. y ) -> om ~<_ y )
18	15, 17	sylan 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. y /\ y C_ U. y ) -> om ~<_ y )
19		grothac 9652	. . . . . . . . . . . 12 |- dom card = _V
20	16, 19	eleqtrri 2700	. . . . . . . . . . 11 |- y e. dom card
21		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12 |- z e. _V
22	21, 19	eleqtrri 2700	. . . . . . . . . . 11 |- z e. dom card
23		infdif2 9032	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. dom card /\ z e. dom card /\ om ~<_ y ) -> ( ( y \ z ) ~<_ z <-> y ~<_ z ) )
24	20, 22, 23	mp3an12 1414	. . . . . . . . . 10 |- ( om ~<_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z <-> y ~<_ z ) )
25	18, 24	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. y /\ y C_ U. y ) -> ( ( y \ z ) ~<_ z <-> y ~<_ z ) )
26	25	orbi1d 739	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. y /\ y C_ U. y ) -> ( ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) <-> ( y ~<_ z \/ z e. y ) ) )
27	26	imbi2d 330	. . . . . . 7 |- ( ( x e. y /\ y C_ U. y ) -> ( ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) <-> ( z C_ y -> ( y ~<_ z \/ z e. y ) ) ) )
28	27	albidv 1849	. . . . . 6 |- ( ( x e. y /\ y C_ U. y ) -> ( A. z ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) <-> A. z ( z C_ y -> ( y ~<_ z \/ z e. y ) ) ) )
29	14, 28	sylan2 491	. . . . 5 |- ( ( x e. y /\ A. z e. y ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. v ( v C_ z -> v e. w ) ) ) -> ( A. z ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) <-> A. z ( z C_ y -> ( y ~<_ z \/ z e. y ) ) ) )
30	29	pm5.32i 669	. . . 4 |- ( ( ( x e. y /\ A. z e. y ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. v ( v C_ z -> v e. w ) ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) ) <-> ( ( x e. y /\ A. z e. y ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. v ( v C_ z -> v e. w ) ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( y ~<_ z \/ z e. y ) ) ) )
31		df-3an 1039	. . . 4 |- ( ( x e. y /\ A. z e. y ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. v ( v C_ z -> v e. w ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) ) <-> ( ( x e. y /\ A. z e. y ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. v ( v C_ z -> v e. w ) ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) ) )
32		df-3an 1039	. . . 4 |- ( ( x e. y /\ A. z e. y ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. v ( v C_ z -> v e. w ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( y ~<_ z \/ z e. y ) ) ) <-> ( ( x e. y /\ A. z e. y ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. v ( v C_ z -> v e. w ) ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( y ~<_ z \/ z e. y ) ) ) )
33	30, 31, 32	3bitr4i 292	. . 3 |- ( ( x e. y /\ A. z e. y ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. v ( v C_ z -> v e. w ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) ) <-> ( x e. y /\ A. z e. y ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. v ( v C_ z -> v e. w ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( y ~<_ z \/ z e. y ) ) ) )
34	33	exbii 1774	. 2 |- ( E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. v ( v C_ z -> v e. w ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) ) <-> E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. v ( v C_ z -> v e. w ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( y ~<_ z \/ z e. y ) ) ) )
35	1, 34	mpbir 221	1 |- E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. v ( v C_ z -> v e. w ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   omcom 7065   ~<_ cdom 7953   cardccrd 8761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-reg 8497  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-groth 9645

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990

This theorem is referenced by:  axgroth4  9654