Theorem axgroth4 9654

Description: Alternate version of the Tarski-Grothendieck Axiom. ax-ac 9281 is used to derive this version. (Contributed by NM, 16-Apr-2007.)

Assertion

Ref	Expression
axgroth4	|- E. y ( x e. y /\ A. z e. y E. v e. y A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) )

Distinct variable group:   x, y, z, w, v

Proof of Theorem axgroth4

Dummy variable u is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axgroth3 9653	. 2 |- E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. u ( u C_ z -> u e. w ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) )
2		elequ2 2004	. . . . . . . . . 10 |- ( w = v -> ( u e. w <-> u e. v ) )
3	2	imbi2d 330	. . . . . . . . 9 |- ( w = v -> ( ( u C_ z -> u e. w ) <-> ( u C_ z -> u e. v ) ) )
4	3	albidv 1849	. . . . . . . 8 |- ( w = v -> ( A. u ( u C_ z -> u e. w ) <-> A. u ( u C_ z -> u e. v ) ) )
5	4	cbvrexv 3172	. . . . . . 7 |- ( E. w e. y A. u ( u C_ z -> u e. w ) <-> E. v e. y A. u ( u C_ z -> u e. v ) )
6	5	anbi2i 730	. . . . . 6 |- ( ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. u ( u C_ z -> u e. w ) ) <-> ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. v e. y A. u ( u C_ z -> u e. v ) ) )
7		r19.42v 3092	. . . . . 6 |- ( E. v e. y ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ A. u ( u C_ z -> u e. v ) ) <-> ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. v e. y A. u ( u C_ z -> u e. v ) ) )
8		sseq1 3626	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = w -> ( u C_ z <-> w C_ z ) )
9		elequ1 1997	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = w -> ( u e. v <-> w e. v ) )
10	8, 9	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 |- ( u = w -> ( ( u C_ z -> u e. v ) <-> ( w C_ z -> w e. v ) ) )
11	10	cbvalv 2273	. . . . . . . . 9 |- ( A. u ( u C_ z -> u e. v ) <-> A. w ( w C_ z -> w e. v ) )
12	11	anbi2i 730	. . . . . . . 8 |- ( ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ A. u ( u C_ z -> u e. v ) ) <-> ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ A. w ( w C_ z -> w e. v ) ) )
13		19.26 1798	. . . . . . . 8 |- ( A. w ( ( w C_ z -> w e. y ) /\ ( w C_ z -> w e. v ) ) <-> ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ A. w ( w C_ z -> w e. v ) ) )
14		pm4.76 910	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( w C_ z -> w e. y ) /\ ( w C_ z -> w e. v ) ) <-> ( w C_ z -> ( w e. y /\ w e. v ) ) )
15		elin 3796	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. ( y i^i v ) <-> ( w e. y /\ w e. v ) )
16	15	imbi2i 326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) <-> ( w C_ z -> ( w e. y /\ w e. v ) ) )
17	14, 16	bitr4i 267	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( w C_ z -> w e. y ) /\ ( w C_ z -> w e. v ) ) <-> ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) )
18	17	albii 1747	. . . . . . . 8 |- ( A. w ( ( w C_ z -> w e. y ) /\ ( w C_ z -> w e. v ) ) <-> A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) )
19	12, 13, 18	3bitr2i 288	. . . . . . 7 |- ( ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ A. u ( u C_ z -> u e. v ) ) <-> A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) )
20	19	rexbii 3041	. . . . . 6 |- ( E. v e. y ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ A. u ( u C_ z -> u e. v ) ) <-> E. v e. y A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) )
21	6, 7, 20	3bitr2i 288	. . . . 5 |- ( ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. u ( u C_ z -> u e. w ) ) <-> E. v e. y A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) )
22	21	ralbii 2980	. . . 4 |- ( A. z e. y ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. u ( u C_ z -> u e. w ) ) <-> A. z e. y E. v e. y A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) )
23	22	3anbi2i 1254	. . 3 |- ( ( x e. y /\ A. z e. y ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. u ( u C_ z -> u e. w ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) ) <-> ( x e. y /\ A. z e. y E. v e. y A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) ) )
24	23	exbii 1774	. 2 |- ( E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. u ( u C_ z -> u e. w ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) ) <-> E. y ( x e. y /\ A. z e. y E. v e. y A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) ) )
25	1, 24	mpbi 220	1 |- E. y ( x e. y /\ A. z e. y E. v e. y A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   ~<_ cdom 7953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-reg 8497  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-groth 9645

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990

This theorem is referenced by:  grothprim  9656