Theorem btwnsegle 32224

Description: If B falls between A and C, then A B is no longer than A C. (Contributed by Scott Fenton, 16-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
btwnsegle	|- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) ) -> ( B Btwn <. A , C >. -> <. A , B >. Seg<_ <. A , C >. ) )

Proof of Theorem btwnsegle

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr2 1104	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) ) /\ B Btwn <. A , C >. ) -> B e. ( EE ` N ) )
2		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) ) /\ B Btwn <. A , C >. ) -> B Btwn <. A , C >. )
3		simpl 473	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) ) -> N e. NN )
4		simpr1 1067	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) ) -> A e. ( EE ` N ) )
5		simpr2 1068	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) ) -> B e. ( EE ` N ) )
6	3, 4, 5	cgrrflxd 32095	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) ) -> <. A , B >.Cgr <. A , B >. )
7	6	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) ) /\ B Btwn <. A , C >. ) -> <. A , B >.Cgr <. A , B >. )
8		breq1 4656	. . . . . 6 |- ( x = B -> ( x Btwn <. A , C >. <-> B Btwn <. A , C >. ) )
9		opeq2 4403	. . . . . . 7 |- ( x = B -> <. A , x >. = <. A , B >. )
10	9	breq2d 4665	. . . . . 6 |- ( x = B -> ( <. A , B >.Cgr <. A , x >. <-> <. A , B >.Cgr <. A , B >. ) )
11	8, 10	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( x = B -> ( ( x Btwn <. A , C >. /\ <. A , B >.Cgr <. A , x >. ) <-> ( B Btwn <. A , C >. /\ <. A , B >.Cgr <. A , B >. ) ) )
12	11	rspcev 3309	. . . 4 |- ( ( B e. ( EE ` N ) /\ ( B Btwn <. A , C >. /\ <. A , B >.Cgr <. A , B >. ) ) -> E. x e. ( EE ` N ) ( x Btwn <. A , C >. /\ <. A , B >.Cgr <. A , x >. ) )
13	1, 2, 7, 12	syl12anc 1324	. . 3 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) ) /\ B Btwn <. A , C >. ) -> E. x e. ( EE ` N ) ( x Btwn <. A , C >. /\ <. A , B >.Cgr <. A , x >. ) )
14		simpr3 1069	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) ) -> C e. ( EE ` N ) )
15		brsegle 32215	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. A , B >. Seg<_ <. A , C >. <-> E. x e. ( EE ` N ) ( x Btwn <. A , C >. /\ <. A , B >.Cgr <. A , x >. ) ) )
16	3, 4, 5, 4, 14, 15	syl122anc 1335	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. A , B >. Seg<_ <. A , C >. <-> E. x e. ( EE ` N ) ( x Btwn <. A , C >. /\ <. A , B >.Cgr <. A , x >. ) ) )
17	16	adantr 481	. . 3 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) ) /\ B Btwn <. A , C >. ) -> ( <. A , B >. Seg<_ <. A , C >. <-> E. x e. ( EE ` N ) ( x Btwn <. A , C >. /\ <. A , B >.Cgr <. A , x >. ) ) )
18	13, 17	mpbird 247	. 2 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) ) /\ B Btwn <. A , C >. ) -> <. A , B >. Seg<_ <. A , C >. )
19	18	ex 450	1 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) ) -> ( B Btwn <. A , C >. -> <. A , B >. Seg<_ <. A , C >. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   <.cop 4183   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   NNcn 11020   EEcee 25768   Btwn cbtwn 25769  Cgrccgr 25770   Seg<_ csegle 32213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-sum 14417  df-ee 25771  df-cgr 25773  df-segle 32214

This theorem is referenced by:  colinbtwnle  32225  outsidele  32239