Theorem brsegle 32215

Description: Binary relation form of the segment comparison relationship. (Contributed by Scott Fenton, 11-Oct-2013.)

Assertion

Ref	Expression
brsegle	|- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. A , B >. Seg<_ <. C , D >. <-> E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) )

Distinct variable groups:   y, A   y, B   y, C   y, D   y, N

Proof of Theorem brsegle

Dummy variables a b c d n p q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opex 4932	. . 3 |- <. A , B >. e. _V
2		opex 4932	. . 3 |- <. C , D >. e. _V
3		eqeq1 2626	. . . . . . . 8 |- ( p = <. A , B >. -> ( p = <. a , b >. <-> <. A , B >. = <. a , b >. ) )
4		eqcom 2629	. . . . . . . 8 |- ( <. A , B >. = <. a , b >. <-> <. a , b >. = <. A , B >. )
5	3, 4	syl6bb 276	. . . . . . 7 |- ( p = <. A , B >. -> ( p = <. a , b >. <-> <. a , b >. = <. A , B >. ) )
6	5	3anbi1d 1403	. . . . . 6 |- ( p = <. A , B >. -> ( ( p = <. a , b >. /\ q = <. c , d >. /\ E. y e. ( EE ` n ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. a , b >.Cgr <. c , y >. ) ) <-> ( <. a , b >. = <. A , B >. /\ q = <. c , d >. /\ E. y e. ( EE ` n ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. a , b >.Cgr <. c , y >. ) ) ) )
7	6	rexbidv 3052	. . . . 5 |- ( p = <. A , B >. -> ( E. d e. ( EE ` n ) ( p = <. a , b >. /\ q = <. c , d >. /\ E. y e. ( EE ` n ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. a , b >.Cgr <. c , y >. ) ) <-> E. d e. ( EE ` n ) ( <. a , b >. = <. A , B >. /\ q = <. c , d >. /\ E. y e. ( EE ` n ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. a , b >.Cgr <. c , y >. ) ) ) )
8	7	2rexbidv 3057	. . . 4 |- ( p = <. A , B >. -> ( E. b e. ( EE ` n ) E. c e. ( EE ` n ) E. d e. ( EE ` n ) ( p = <. a , b >. /\ q = <. c , d >. /\ E. y e. ( EE ` n ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. a , b >.Cgr <. c , y >. ) ) <-> E. b e. ( EE ` n ) E. c e. ( EE ` n ) E. d e. ( EE ` n ) ( <. a , b >. = <. A , B >. /\ q = <. c , d >. /\ E. y e. ( EE ` n ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. a , b >.Cgr <. c , y >. ) ) ) )
9	8	2rexbidv 3057	. . 3 |- ( p = <. A , B >. -> ( E. n e. NN E. a e. ( EE ` n ) E. b e. ( EE ` n ) E. c e. ( EE ` n ) E. d e. ( EE ` n ) ( p = <. a , b >. /\ q = <. c , d >. /\ E. y e. ( EE ` n ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. a , b >.Cgr <. c , y >. ) ) <-> E. n e. NN E. a e. ( EE ` n ) E. b e. ( EE ` n ) E. c e. ( EE ` n ) E. d e. ( EE ` n ) ( <. a , b >. = <. A , B >. /\ q = <. c , d >. /\ E. y e. ( EE ` n ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. a , b >.Cgr <. c , y >. ) ) ) )
10		eqeq1 2626	. . . . . . . 8 |- ( q = <. C , D >. -> ( q = <. c , d >. <-> <. C , D >. = <. c , d >. ) )
11		eqcom 2629	. . . . . . . 8 |- ( <. C , D >. = <. c , d >. <-> <. c , d >. = <. C , D >. )
12	10, 11	syl6bb 276	. . . . . . 7 |- ( q = <. C , D >. -> ( q = <. c , d >. <-> <. c , d >. = <. C , D >. ) )
13	12	3anbi2d 1404	. . . . . 6 |- ( q = <. C , D >. -> ( ( <. a , b >. = <. A , B >. /\ q = <. c , d >. /\ E. y e. ( EE ` n ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. a , b >.Cgr <. c , y >. ) ) <-> ( <. a , b >. = <. A , B >. /\ <. c , d >. = <. C , D >. /\ E. y e. ( EE ` n ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. a , b >.Cgr <. c , y >. ) ) ) )
14	13	rexbidv 3052	. . . . 5 |- ( q = <. C , D >. -> ( E. d e. ( EE ` n ) ( <. a , b >. = <. A , B >. /\ q = <. c , d >. /\ E. y e. ( EE ` n ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. a , b >.Cgr <. c , y >. ) ) <-> E. d e. ( EE ` n ) ( <. a , b >. = <. A , B >. /\ <. c , d >. = <. C , D >. /\ E. y e. ( EE ` n ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. a , b >.Cgr <. c , y >. ) ) ) )
15	14	2rexbidv 3057	. . . 4 |- ( q = <. C , D >. -> ( E. b e. ( EE ` n ) E. c e. ( EE ` n ) E. d e. ( EE ` n ) ( <. a , b >. = <. A , B >. /\ q = <. c , d >. /\ E. y e. ( EE ` n ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. a , b >.Cgr <. c , y >. ) ) <-> E. b e. ( EE ` n ) E. c e. ( EE ` n ) E. d e. ( EE ` n ) ( <. a , b >. = <. A , B >. /\ <. c , d >. = <. C , D >. /\ E. y e. ( EE ` n ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. a , b >.Cgr <. c , y >. ) ) ) )
16	15	2rexbidv 3057	. . 3 |- ( q = <. C , D >. -> ( E. n e. NN E. a e. ( EE ` n ) E. b e. ( EE ` n ) E. c e. ( EE ` n ) E. d e. ( EE ` n ) ( <. a , b >. = <. A , B >. /\ q = <. c , d >. /\ E. y e. ( EE ` n ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. a , b >.Cgr <. c , y >. ) ) <-> E. n e. NN E. a e. ( EE ` n ) E. b e. ( EE ` n ) E. c e. ( EE ` n ) E. d e. ( EE ` n ) ( <. a , b >. = <. A , B >. /\ <. c , d >. = <. C , D >. /\ E. y e. ( EE ` n ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. a , b >.Cgr <. c , y >. ) ) ) )
17		df-segle 32214	. . 3 |- Seg<_ = { <. p , q >. | E. n e. NN E. a e. ( EE ` n ) E. b e. ( EE ` n ) E. c e. ( EE ` n ) E. d e. ( EE ` n ) ( p = <. a , b >. /\ q = <. c , d >. /\ E. y e. ( EE ` n ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. a , b >.Cgr <. c , y >. ) ) }
18	1, 2, 9, 16, 17	brab 4998	. 2 |- ( <. A , B >. Seg<_ <. C , D >. <-> E. n e. NN E. a e. ( EE ` n ) E. b e. ( EE ` n ) E. c e. ( EE ` n ) E. d e. ( EE ` n ) ( <. a , b >. = <. A , B >. /\ <. c , d >. = <. C , D >. /\ E. y e. ( EE ` n ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. a , b >.Cgr <. c , y >. ) ) )
19		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- a e. _V
20		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- b e. _V
21	19, 20	opth 4945	. . . . . . . 8 |- ( <. a , b >. = <. A , B >. <-> ( a = A /\ b = B ) )
22		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- c e. _V
23		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- d e. _V
24	22, 23	opth 4945	. . . . . . . 8 |- ( <. c , d >. = <. C , D >. <-> ( c = C /\ d = D ) )
25		biid 251	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. ( EE ` n ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. a , b >.Cgr <. c , y >. ) <-> E. y e. ( EE ` n ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. a , b >.Cgr <. c , y >. ) )
26	21, 24, 25	3anbi123i 1251	. . . . . . 7 |- ( ( <. a , b >. = <. A , B >. /\ <. c , d >. = <. C , D >. /\ E. y e. ( EE ` n ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. a , b >.Cgr <. c , y >. ) ) <-> ( ( a = A /\ b = B ) /\ ( c = C /\ d = D ) /\ E. y e. ( EE ` n ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. a , b >.Cgr <. c , y >. ) ) )
27	26	2rexbii 3042	. . . . . 6 |- ( E. c e. ( EE ` n ) E. d e. ( EE ` n ) ( <. a , b >. = <. A , B >. /\ <. c , d >. = <. C , D >. /\ E. y e. ( EE ` n ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. a , b >.Cgr <. c , y >. ) ) <-> E. c e. ( EE ` n ) E. d e. ( EE ` n ) ( ( a = A /\ b = B ) /\ ( c = C /\ d = D ) /\ E. y e. ( EE ` n ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. a , b >.Cgr <. c , y >. ) ) )
28	27	2rexbii 3042	. . . . 5 |- ( E. a e. ( EE ` n ) E. b e. ( EE ` n ) E. c e. ( EE ` n ) E. d e. ( EE ` n ) ( <. a , b >. = <. A , B >. /\ <. c , d >. = <. C , D >. /\ E. y e. ( EE ` n ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. a , b >.Cgr <. c , y >. ) ) <-> E. a e. ( EE ` n ) E. b e. ( EE ` n ) E. c e. ( EE ` n ) E. d e. ( EE ` n ) ( ( a = A /\ b = B ) /\ ( c = C /\ d = D ) /\ E. y e. ( EE ` n ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. a , b >.Cgr <. c , y >. ) ) )
29	28	rexbii 3041	. . . 4 |- ( E. n e. NN E. a e. ( EE ` n ) E. b e. ( EE ` n ) E. c e. ( EE ` n ) E. d e. ( EE ` n ) ( <. a , b >. = <. A , B >. /\ <. c , d >. = <. C , D >. /\ E. y e. ( EE ` n ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. a , b >.Cgr <. c , y >. ) ) <-> E. n e. NN E. a e. ( EE ` n ) E. b e. ( EE ` n ) E. c e. ( EE ` n ) E. d e. ( EE ` n ) ( ( a = A /\ b = B ) /\ ( c = C /\ d = D ) /\ E. y e. ( EE ` n ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. a , b >.Cgr <. c , y >. ) ) )
30		simpl2l 1114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ n e. NN ) -> A e. ( EE ` N ) )
31	30	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( a = A /\ ( b = B /\ ( c = C /\ d = D ) ) ) /\ ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ n e. NN ) /\ ( ( A e. ( EE ` n ) /\ B e. ( EE ` n ) ) /\ ( C e. ( EE ` n ) /\ D e. ( EE ` n ) ) ) ) ) -> A e. ( EE ` N ) )
32		eleenn 25776	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A e. ( EE ` N ) -> N e. NN )
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( a = A /\ ( b = B /\ ( c = C /\ d = D ) ) ) /\ ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ n e. NN ) /\ ( ( A e. ( EE ` n ) /\ B e. ( EE ` n ) ) /\ ( C e. ( EE ` n ) /\ D e. ( EE ` n ) ) ) ) ) -> N e. NN )
34		simprlr 803	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( a = A /\ ( b = B /\ ( c = C /\ d = D ) ) ) /\ ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ n e. NN ) /\ ( ( A e. ( EE ` n ) /\ B e. ( EE ` n ) ) /\ ( C e. ( EE ` n ) /\ D e. ( EE ` n ) ) ) ) ) -> n e. NN )
35		simprll 802	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ n e. NN ) /\ ( ( A e. ( EE ` n ) /\ B e. ( EE ` n ) ) /\ ( C e. ( EE ` n ) /\ D e. ( EE ` n ) ) ) ) -> A e. ( EE ` n ) )
36	35	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( a = A /\ ( b = B /\ ( c = C /\ d = D ) ) ) /\ ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ n e. NN ) /\ ( ( A e. ( EE ` n ) /\ B e. ( EE ` n ) ) /\ ( C e. ( EE ` n ) /\ D e. ( EE ` n ) ) ) ) ) -> A e. ( EE ` n ) )
37		axdimuniq 25793	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) ) /\ ( n e. NN /\ A e. ( EE ` n ) ) ) -> N = n )
38	33, 31, 34, 36, 37	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( a = A /\ ( b = B /\ ( c = C /\ d = D ) ) ) /\ ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ n e. NN ) /\ ( ( A e. ( EE ` n ) /\ B e. ( EE ` n ) ) /\ ( C e. ( EE ` n ) /\ D e. ( EE ` n ) ) ) ) ) -> N = n )
39	38	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( a = A /\ ( b = B /\ ( c = C /\ d = D ) ) ) /\ ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ n e. NN ) /\ ( ( A e. ( EE ` n ) /\ B e. ( EE ` n ) ) /\ ( C e. ( EE ` n ) /\ D e. ( EE ` n ) ) ) ) ) -> ( EE ` N ) = ( EE ` n ) )
40	39	rexeqdv 3145	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( a = A /\ ( b = B /\ ( c = C /\ d = D ) ) ) /\ ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ n e. NN ) /\ ( ( A e. ( EE ` n ) /\ B e. ( EE ` n ) ) /\ ( C e. ( EE ` n ) /\ D e. ( EE ` n ) ) ) ) ) -> ( E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) <-> E. y e. ( EE ` n ) ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) )
41	40	exbiri 652	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a = A /\ ( b = B /\ ( c = C /\ d = D ) ) ) -> ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ n e. NN ) /\ ( ( A e. ( EE ` n ) /\ B e. ( EE ` n ) ) /\ ( C e. ( EE ` n ) /\ D e. ( EE ` n ) ) ) ) -> ( E. y e. ( EE ` n ) ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) -> E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) ) )
42	41	anassrs 680	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( a = A /\ b = B ) /\ ( c = C /\ d = D ) ) -> ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ n e. NN ) /\ ( ( A e. ( EE ` n ) /\ B e. ( EE ` n ) ) /\ ( C e. ( EE ` n ) /\ D e. ( EE ` n ) ) ) ) -> ( E. y e. ( EE ` n ) ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) -> E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) ) )
43		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = A -> ( a e. ( EE ` n ) <-> A e. ( EE ` n ) ) )
44		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b = B -> ( b e. ( EE ` n ) <-> B e. ( EE ` n ) ) )
45	43, 44	bi2anan9 917	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a = A /\ b = B ) -> ( ( a e. ( EE ` n ) /\ b e. ( EE ` n ) ) <-> ( A e. ( EE ` n ) /\ B e. ( EE ` n ) ) ) )
46		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( c = C -> ( c e. ( EE ` n ) <-> C e. ( EE ` n ) ) )
47		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( d = D -> ( d e. ( EE ` n ) <-> D e. ( EE ` n ) ) )
48	46, 47	bi2anan9 917	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( c = C /\ d = D ) -> ( ( c e. ( EE ` n ) /\ d e. ( EE ` n ) ) <-> ( C e. ( EE ` n ) /\ D e. ( EE ` n ) ) ) )
49	45, 48	bi2anan9 917	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( a = A /\ b = B ) /\ ( c = C /\ d = D ) ) -> ( ( ( a e. ( EE ` n ) /\ b e. ( EE ` n ) ) /\ ( c e. ( EE ` n ) /\ d e. ( EE ` n ) ) ) <-> ( ( A e. ( EE ` n ) /\ B e. ( EE ` n ) ) /\ ( C e. ( EE ` n ) /\ D e. ( EE ` n ) ) ) ) )
50	49	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( a = A /\ b = B ) /\ ( c = C /\ d = D ) ) -> ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ n e. NN ) /\ ( ( a e. ( EE ` n ) /\ b e. ( EE ` n ) ) /\ ( c e. ( EE ` n ) /\ d e. ( EE ` n ) ) ) ) <-> ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ n e. NN ) /\ ( ( A e. ( EE ` n ) /\ B e. ( EE ` n ) ) /\ ( C e. ( EE ` n ) /\ D e. ( EE ` n ) ) ) ) ) )
51		opeq12 4404	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a = A /\ b = B ) -> <. a , b >. = <. A , B >. )
52	51	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a = A /\ b = B ) -> ( <. a , b >.Cgr <. c , y >. <-> <. A , B >.Cgr <. c , y >. ) )
53	52	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a = A /\ b = B ) -> ( ( y Btwn <. c , d >. /\ <. a , b >.Cgr <. c , y >. ) <-> ( y Btwn <. c , d >. /\ <. A , B >.Cgr <. c , y >. ) ) )
54		opeq12 4404	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( c = C /\ d = D ) -> <. c , d >. = <. C , D >. )
55	54	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( c = C /\ d = D ) -> ( y Btwn <. c , d >. <-> y Btwn <. C , D >. ) )
56		opeq1 4402	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( c = C -> <. c , y >. = <. C , y >. )
57	56	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( c = C -> ( <. A , B >.Cgr <. c , y >. <-> <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) )
58	57	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( c = C /\ d = D ) -> ( <. A , B >.Cgr <. c , y >. <-> <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) )
59	55, 58	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( c = C /\ d = D ) -> ( ( y Btwn <. c , d >. /\ <. A , B >.Cgr <. c , y >. ) <-> ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) )
60	53, 59	sylan9bb 736	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( a = A /\ b = B ) /\ ( c = C /\ d = D ) ) -> ( ( y Btwn <. c , d >. /\ <. a , b >.Cgr <. c , y >. ) <-> ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) )
61	60	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( a = A /\ b = B ) /\ ( c = C /\ d = D ) ) -> ( E. y e. ( EE ` n ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. a , b >.Cgr <. c , y >. ) <-> E. y e. ( EE ` n ) ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) )
62	61	imbi1d 331	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( a = A /\ b = B ) /\ ( c = C /\ d = D ) ) -> ( ( E. y e. ( EE ` n ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. a , b >.Cgr <. c , y >. ) -> E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) <-> ( E. y e. ( EE ` n ) ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) -> E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) ) )
63	42, 50, 62	3imtr4d 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a = A /\ b = B ) /\ ( c = C /\ d = D ) ) -> ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ n e. NN ) /\ ( ( a e. ( EE ` n ) /\ b e. ( EE ` n ) ) /\ ( c e. ( EE ` n ) /\ d e. ( EE ` n ) ) ) ) -> ( E. y e. ( EE ` n ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. a , b >.Cgr <. c , y >. ) -> E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) ) )
64	63	com12 32	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ n e. NN ) /\ ( ( a e. ( EE ` n ) /\ b e. ( EE ` n ) ) /\ ( c e. ( EE ` n ) /\ d e. ( EE ` n ) ) ) ) -> ( ( ( a = A /\ b = B ) /\ ( c = C /\ d = D ) ) -> ( E. y e. ( EE ` n ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. a , b >.Cgr <. c , y >. ) -> E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) ) )
65	64	expd 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ n e. NN ) /\ ( ( a e. ( EE ` n ) /\ b e. ( EE ` n ) ) /\ ( c e. ( EE ` n ) /\ d e. ( EE ` n ) ) ) ) -> ( ( a = A /\ b = B ) -> ( ( c = C /\ d = D ) -> ( E. y e. ( EE ` n ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. a , b >.Cgr <. c , y >. ) -> E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) ) ) )
66	65	3impd 1281	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ n e. NN ) /\ ( ( a e. ( EE ` n ) /\ b e. ( EE ` n ) ) /\ ( c e. ( EE ` n ) /\ d e. ( EE ` n ) ) ) ) -> ( ( ( a = A /\ b = B ) /\ ( c = C /\ d = D ) /\ E. y e. ( EE ` n ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. a , b >.Cgr <. c , y >. ) ) -> E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) )
67	66	expr 643	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ n e. NN ) /\ ( a e. ( EE ` n ) /\ b e. ( EE ` n ) ) ) -> ( ( c e. ( EE ` n ) /\ d e. ( EE ` n ) ) -> ( ( ( a = A /\ b = B ) /\ ( c = C /\ d = D ) /\ E. y e. ( EE ` n ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. a , b >.Cgr <. c , y >. ) ) -> E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) ) )
68	67	rexlimdvv 3037	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ n e. NN ) /\ ( a e. ( EE ` n ) /\ b e. ( EE ` n ) ) ) -> ( E. c e. ( EE ` n ) E. d e. ( EE ` n ) ( ( a = A /\ b = B ) /\ ( c = C /\ d = D ) /\ E. y e. ( EE ` n ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. a , b >.Cgr <. c , y >. ) ) -> E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) )
69	68	rexlimdvva 3038	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( E. a e. ( EE ` n ) E. b e. ( EE ` n ) E. c e. ( EE ` n ) E. d e. ( EE ` n ) ( ( a = A /\ b = B ) /\ ( c = C /\ d = D ) /\ E. y e. ( EE ` n ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. a , b >.Cgr <. c , y >. ) ) -> E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) )
70	69	rexlimdva 3031	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) -> ( E. n e. NN E. a e. ( EE ` n ) E. b e. ( EE ` n ) E. c e. ( EE ` n ) E. d e. ( EE ` n ) ( ( a = A /\ b = B ) /\ ( c = C /\ d = D ) /\ E. y e. ( EE ` n ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. a , b >.Cgr <. c , y >. ) ) -> E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) )
71	29, 70	syl5bi 232	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) -> ( E. n e. NN E. a e. ( EE ` n ) E. b e. ( EE ` n ) E. c e. ( EE ` n ) E. d e. ( EE ` n ) ( <. a , b >. = <. A , B >. /\ <. c , d >. = <. C , D >. /\ E. y e. ( EE ` n ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. a , b >.Cgr <. c , y >. ) ) -> E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) )
72		simpl1 1064	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) -> N e. NN )
73		simpl2l 1114	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) -> A e. ( EE ` N ) )
74		simpl2r 1115	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) -> B e. ( EE ` N ) )
75		simpl3l 1116	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) -> C e. ( EE ` N ) )
76		simpl3r 1117	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) -> D e. ( EE ` N ) )
77		eqidd 2623	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) -> <. A , B >. = <. A , B >. )
78		eqidd 2623	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) -> <. C , D >. = <. C , D >. )
79		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) -> E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) )
80		opeq1 4402	. . . . . . . . . 10 |- ( c = C -> <. c , d >. = <. C , d >. )
81	80	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 |- ( c = C -> ( <. c , d >. = <. C , D >. <-> <. C , d >. = <. C , D >. ) )
82	80	breq2d 4665	. . . . . . . . . . 11 |- ( c = C -> ( y Btwn <. c , d >. <-> y Btwn <. C , d >. ) )
83	82, 57	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( c = C -> ( ( y Btwn <. c , d >. /\ <. A , B >.Cgr <. c , y >. ) <-> ( y Btwn <. C , d >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) )
84	83	rexbidv 3052	. . . . . . . . 9 |- ( c = C -> ( E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. A , B >.Cgr <. c , y >. ) <-> E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. C , d >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) )
85	81, 84	3anbi23d 1402	. . . . . . . 8 |- ( c = C -> ( ( <. A , B >. = <. A , B >. /\ <. c , d >. = <. C , D >. /\ E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. A , B >.Cgr <. c , y >. ) ) <-> ( <. A , B >. = <. A , B >. /\ <. C , d >. = <. C , D >. /\ E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. C , d >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) ) )
86		opeq2 4403	. . . . . . . . . 10 |- ( d = D -> <. C , d >. = <. C , D >. )
87	86	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 |- ( d = D -> ( <. C , d >. = <. C , D >. <-> <. C , D >. = <. C , D >. ) )
88	86	breq2d 4665	. . . . . . . . . . 11 |- ( d = D -> ( y Btwn <. C , d >. <-> y Btwn <. C , D >. ) )
89	88	anbi1d 741	. . . . . . . . . 10 |- ( d = D -> ( ( y Btwn <. C , d >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) <-> ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) )
90	89	rexbidv 3052	. . . . . . . . 9 |- ( d = D -> ( E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. C , d >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) <-> E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) )
91	87, 90	3anbi23d 1402	. . . . . . . 8 |- ( d = D -> ( ( <. A , B >. = <. A , B >. /\ <. C , d >. = <. C , D >. /\ E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. C , d >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) <-> ( <. A , B >. = <. A , B >. /\ <. C , D >. = <. C , D >. /\ E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) ) )
92	85, 91	rspc2ev 3324	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ ( <. A , B >. = <. A , B >. /\ <. C , D >. = <. C , D >. /\ E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) ) -> E. c e. ( EE ` N ) E. d e. ( EE ` N ) ( <. A , B >. = <. A , B >. /\ <. c , d >. = <. C , D >. /\ E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. A , B >.Cgr <. c , y >. ) ) )
93	75, 76, 77, 78, 79, 92	syl113anc 1338	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) -> E. c e. ( EE ` N ) E. d e. ( EE ` N ) ( <. A , B >. = <. A , B >. /\ <. c , d >. = <. C , D >. /\ E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. A , B >.Cgr <. c , y >. ) ) )
94		opeq1 4402	. . . . . . . . . 10 |- ( a = A -> <. a , b >. = <. A , b >. )
95	94	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 |- ( a = A -> ( <. a , b >. = <. A , B >. <-> <. A , b >. = <. A , B >. ) )
96	94	breq1d 4663	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = A -> ( <. a , b >.Cgr <. c , y >. <-> <. A , b >.Cgr <. c , y >. ) )
97	96	anbi2d 740	. . . . . . . . . 10 |- ( a = A -> ( ( y Btwn <. c , d >. /\ <. a , b >.Cgr <. c , y >. ) <-> ( y Btwn <. c , d >. /\ <. A , b >.Cgr <. c , y >. ) ) )
98	97	rexbidv 3052	. . . . . . . . 9 |- ( a = A -> ( E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. a , b >.Cgr <. c , y >. ) <-> E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. A , b >.Cgr <. c , y >. ) ) )
99	95, 98	3anbi13d 1401	. . . . . . . 8 |- ( a = A -> ( ( <. a , b >. = <. A , B >. /\ <. c , d >. = <. C , D >. /\ E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. a , b >.Cgr <. c , y >. ) ) <-> ( <. A , b >. = <. A , B >. /\ <. c , d >. = <. C , D >. /\ E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. A , b >.Cgr <. c , y >. ) ) ) )
100	99	2rexbidv 3057	. . . . . . 7 |- ( a = A -> ( E. c e. ( EE ` N ) E. d e. ( EE ` N ) ( <. a , b >. = <. A , B >. /\ <. c , d >. = <. C , D >. /\ E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. a , b >.Cgr <. c , y >. ) ) <-> E. c e. ( EE ` N ) E. d e. ( EE ` N ) ( <. A , b >. = <. A , B >. /\ <. c , d >. = <. C , D >. /\ E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. A , b >.Cgr <. c , y >. ) ) ) )
101		opeq2 4403	. . . . . . . . . 10 |- ( b = B -> <. A , b >. = <. A , B >. )
102	101	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 |- ( b = B -> ( <. A , b >. = <. A , B >. <-> <. A , B >. = <. A , B >. ) )
103	101	breq1d 4663	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = B -> ( <. A , b >.Cgr <. c , y >. <-> <. A , B >.Cgr <. c , y >. ) )
104	103	anbi2d 740	. . . . . . . . . 10 |- ( b = B -> ( ( y Btwn <. c , d >. /\ <. A , b >.Cgr <. c , y >. ) <-> ( y Btwn <. c , d >. /\ <. A , B >.Cgr <. c , y >. ) ) )
105	104	rexbidv 3052	. . . . . . . . 9 |- ( b = B -> ( E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. A , b >.Cgr <. c , y >. ) <-> E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. A , B >.Cgr <. c , y >. ) ) )
106	102, 105	3anbi13d 1401	. . . . . . . 8 |- ( b = B -> ( ( <. A , b >. = <. A , B >. /\ <. c , d >. = <. C , D >. /\ E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. A , b >.Cgr <. c , y >. ) ) <-> ( <. A , B >. = <. A , B >. /\ <. c , d >. = <. C , D >. /\ E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. A , B >.Cgr <. c , y >. ) ) ) )
107	106	2rexbidv 3057	. . . . . . 7 |- ( b = B -> ( E. c e. ( EE ` N ) E. d e. ( EE ` N ) ( <. A , b >. = <. A , B >. /\ <. c , d >. = <. C , D >. /\ E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. A , b >.Cgr <. c , y >. ) ) <-> E. c e. ( EE ` N ) E. d e. ( EE ` N ) ( <. A , B >. = <. A , B >. /\ <. c , d >. = <. C , D >. /\ E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. A , B >.Cgr <. c , y >. ) ) ) )
108	100, 107	rspc2ev 3324	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ E. c e. ( EE ` N ) E. d e. ( EE ` N ) ( <. A , B >. = <. A , B >. /\ <. c , d >. = <. C , D >. /\ E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. A , B >.Cgr <. c , y >. ) ) ) -> E. a e. ( EE ` N ) E. b e. ( EE ` N ) E. c e. ( EE ` N ) E. d e. ( EE ` N ) ( <. a , b >. = <. A , B >. /\ <. c , d >. = <. C , D >. /\ E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. a , b >.Cgr <. c , y >. ) ) )
109	73, 74, 93, 108	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) -> E. a e. ( EE ` N ) E. b e. ( EE ` N ) E. c e. ( EE ` N ) E. d e. ( EE ` N ) ( <. a , b >. = <. A , B >. /\ <. c , d >. = <. C , D >. /\ E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. a , b >.Cgr <. c , y >. ) ) )
110		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( n = N -> ( EE ` n ) = ( EE ` N ) )
111	110	rexeqdv 3145	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = N -> ( E. y e. ( EE ` n ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. a , b >.Cgr <. c , y >. ) <-> E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. a , b >.Cgr <. c , y >. ) ) )
112	111	3anbi3d 1405	. . . . . . . . . 10 |- ( n = N -> ( ( <. a , b >. = <. A , B >. /\ <. c , d >. = <. C , D >. /\ E. y e. ( EE ` n ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. a , b >.Cgr <. c , y >. ) ) <-> ( <. a , b >. = <. A , B >. /\ <. c , d >. = <. C , D >. /\ E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. a , b >.Cgr <. c , y >. ) ) ) )
113	110, 112	rexeqbidv 3153	. . . . . . . . 9 |- ( n = N -> ( E. d e. ( EE ` n ) ( <. a , b >. = <. A , B >. /\ <. c , d >. = <. C , D >. /\ E. y e. ( EE ` n ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. a , b >.Cgr <. c , y >. ) ) <-> E. d e. ( EE ` N ) ( <. a , b >. = <. A , B >. /\ <. c , d >. = <. C , D >. /\ E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. a , b >.Cgr <. c , y >. ) ) ) )
114	110, 113	rexeqbidv 3153	. . . . . . . 8 |- ( n = N -> ( E. c e. ( EE ` n ) E. d e. ( EE ` n ) ( <. a , b >. = <. A , B >. /\ <. c , d >. = <. C , D >. /\ E. y e. ( EE ` n ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. a , b >.Cgr <. c , y >. ) ) <-> E. c e. ( EE ` N ) E. d e. ( EE ` N ) ( <. a , b >. = <. A , B >. /\ <. c , d >. = <. C , D >. /\ E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. a , b >.Cgr <. c , y >. ) ) ) )
115	110, 114	rexeqbidv 3153	. . . . . . 7 |- ( n = N -> ( E. b e. ( EE ` n ) E. c e. ( EE ` n ) E. d e. ( EE ` n ) ( <. a , b >. = <. A , B >. /\ <. c , d >. = <. C , D >. /\ E. y e. ( EE ` n ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. a , b >.Cgr <. c , y >. ) ) <-> E. b e. ( EE ` N ) E. c e. ( EE ` N ) E. d e. ( EE ` N ) ( <. a , b >. = <. A , B >. /\ <. c , d >. = <. C , D >. /\ E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. a , b >.Cgr <. c , y >. ) ) ) )
116	110, 115	rexeqbidv 3153	. . . . . 6 |- ( n = N -> ( E. a e. ( EE ` n ) E. b e. ( EE ` n ) E. c e. ( EE ` n ) E. d e. ( EE ` n ) ( <. a , b >. = <. A , B >. /\ <. c , d >. = <. C , D >. /\ E. y e. ( EE ` n ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. a , b >.Cgr <. c , y >. ) ) <-> E. a e. ( EE ` N ) E. b e. ( EE ` N ) E. c e. ( EE ` N ) E. d e. ( EE ` N ) ( <. a , b >. = <. A , B >. /\ <. c , d >. = <. C , D >. /\ E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. a , b >.Cgr <. c , y >. ) ) ) )
117	116	rspcev 3309	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ E. a e. ( EE ` N ) E. b e. ( EE ` N ) E. c e. ( EE ` N ) E. d e. ( EE ` N ) ( <. a , b >. = <. A , B >. /\ <. c , d >. = <. C , D >. /\ E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. a , b >.Cgr <. c , y >. ) ) ) -> E. n e. NN E. a e. ( EE ` n ) E. b e. ( EE ` n ) E. c e. ( EE ` n ) E. d e. ( EE ` n ) ( <. a , b >. = <. A , B >. /\ <. c , d >. = <. C , D >. /\ E. y e. ( EE ` n ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. a , b >.Cgr <. c , y >. ) ) )
118	72, 109, 117	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) -> E. n e. NN E. a e. ( EE ` n ) E. b e. ( EE ` n ) E. c e. ( EE ` n ) E. d e. ( EE ` n ) ( <. a , b >. = <. A , B >. /\ <. c , d >. = <. C , D >. /\ E. y e. ( EE ` n ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. a , b >.Cgr <. c , y >. ) ) )
119	118	ex 450	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) -> ( E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) -> E. n e. NN E. a e. ( EE ` n ) E. b e. ( EE ` n ) E. c e. ( EE ` n ) E. d e. ( EE ` n ) ( <. a , b >. = <. A , B >. /\ <. c , d >. = <. C , D >. /\ E. y e. ( EE ` n ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. a , b >.Cgr <. c , y >. ) ) ) )
120	71, 119	impbid 202	. 2 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) -> ( E. n e. NN E. a e. ( EE ` n ) E. b e. ( EE ` n ) E. c e. ( EE ` n ) E. d e. ( EE ` n ) ( <. a , b >. = <. A , B >. /\ <. c , d >. = <. C , D >. /\ E. y e. ( EE ` n ) ( y Btwn <. c , d >. /\ <. a , b >.Cgr <. c , y >. ) ) <-> E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) )
121	18, 120	syl5bb 272	1 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. A , B >. Seg<_ <. C , D >. <-> E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   <.cop 4183   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   NNcn 11020   EEcee 25768   Btwn cbtwn 25769  Cgrccgr 25770   Seg<_ csegle 32213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-ee 25771  df-segle 32214

This theorem is referenced by:  brsegle2  32216  seglecgr12im  32217  seglerflx  32219  seglemin  32220  segletr  32221  segleantisym  32222  seglelin  32223  btwnsegle  32224