Theorem caures 33556

Description: The restriction of a Cauchy sequence to an upper set of integers is Cauchy. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
caures.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
caures.3	|- ( ph -> M e. ZZ )
caures.4	|- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
caures.5	|- ( ph -> F e. ( X ^pm CC ) )

Assertion

Ref	Expression
caures	|- ( ph -> ( F e. ( Cau ` D ) <-> ( F |` Z ) e. ( Cau ` D ) ) )

Proof of Theorem caures

Dummy variables j k x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caures.1	. . . . . . . . . . 11 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2	1	uztrn2 11705	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
3	2	adantll 750	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
4	3	biantrurd 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( k e. dom F <-> ( k e. Z /\ k e. dom F ) ) )
5		dmres 5419	. . . . . . . . 9 |- dom ( F |` Z ) = ( Z i^i dom F )
6	5	elin2 3801	. . . . . . . 8 |- ( k e. dom ( F |` Z ) <-> ( k e. Z /\ k e. dom F ) )
7	4, 6	syl6bbr 278	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( k e. dom F <-> k e. dom ( F |` Z ) ) )
8	7	3anbi1d 1403	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) <-> ( k e. dom ( F |` Z ) /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) )
9	8	ralbidva 2985	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( F |` Z ) /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) )
10	9	rexbidva 3049	. . . 4 |- ( ph -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( F |` Z ) /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) )
11	10	ralbidv 2986	. . 3 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( F |` Z ) /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) )
12		caures.5	. . . 4 |- ( ph -> F e. ( X ^pm CC ) )
13	12	biantrurd 529	. . 3 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) ) )
14		caures.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
15		elfvdm 6220	. . . . . . 7 |- ( D e. ( Met ` X ) -> X e. dom Met )
16	14, 15	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. dom Met )
17		cnex 10017	. . . . . 6 |- CC e. _V
18		ssid 3624	. . . . . . 7 |- X C_ X
19		uzssz 11707	. . . . . . . . 9 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
20		zsscn 11385	. . . . . . . . 9 |- ZZ C_ CC
21	19, 20	sstri 3612	. . . . . . . 8 |- ( ZZ>= ` M ) C_ CC
22	1, 21	eqsstri 3635	. . . . . . 7 |- Z C_ CC
23		pmss12g 7884	. . . . . . 7 |- ( ( ( X C_ X /\ Z C_ CC ) /\ ( X e. dom Met /\ CC e. _V ) ) -> ( X ^pm Z ) C_ ( X ^pm CC ) )
24	18, 22, 23	mpanl12 718	. . . . . 6 |- ( ( X e. dom Met /\ CC e. _V ) -> ( X ^pm Z ) C_ ( X ^pm CC ) )
25	16, 17, 24	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ph -> ( X ^pm Z ) C_ ( X ^pm CC ) )
26		fvex 6201	. . . . . . 7 |- ( ZZ>= ` M ) e. _V
27	1, 26	eqeltri 2697	. . . . . 6 |- Z e. _V
28		pmresg 7885	. . . . . 6 |- ( ( Z e. _V /\ F e. ( X ^pm CC ) ) -> ( F |` Z ) e. ( X ^pm Z ) )
29	27, 12, 28	sylancr 695	. . . . 5 |- ( ph -> ( F |` Z ) e. ( X ^pm Z ) )
30	25, 29	sseldd 3604	. . . 4 |- ( ph -> ( F |` Z ) e. ( X ^pm CC ) )
31	30	biantrurd 529	. . 3 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( F |` Z ) /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) <-> ( ( F |` Z ) e. ( X ^pm CC ) /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( F |` Z ) /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) ) )
32	11, 13, 31	3bitr3d 298	. 2 |- ( ph -> ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) <-> ( ( F |` Z ) e. ( X ^pm CC ) /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( F |` Z ) /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) ) )
33		metxmet 22139	. . . 4 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
34	14, 33	syl 17	. . 3 |- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )
35		caures.3	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
36		eqidd 2623	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) )
37		eqidd 2623	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( F ` j ) = ( F ` j ) )
38	1, 34, 35, 36, 37	iscau4 23077	. 2 |- ( ph -> ( F e. ( Cau ` D ) <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) ) )
39		fvres 6207	. . . 4 |- ( k e. Z -> ( ( F |` Z ) ` k ) = ( F ` k ) )
40	39	adantl 482	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( F |` Z ) ` k ) = ( F ` k ) )
41		fvres 6207	. . . 4 |- ( j e. Z -> ( ( F |` Z ) ` j ) = ( F ` j ) )
42	41	adantl 482	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( ( F |` Z ) ` j ) = ( F ` j ) )
43	1, 34, 35, 40, 42	iscau4 23077	. 2 |- ( ph -> ( ( F |` Z ) e. ( Cau ` D ) <-> ( ( F |` Z ) e. ( X ^pm CC ) /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( F |` Z ) /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) ) )
44	32, 38, 43	3bitr4d 300	1 |- ( ph -> ( F e. ( Cau ` D ) <-> ( F |` Z ) e. ( Cau ` D ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   |` cres 5116   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^pm cpm 7858   CCcc 9934   < clt 10074   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   *Metcxmt 19731   Metcme 19732   Caucca 23051

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-2 11079  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-cau 23054

This theorem is referenced by: (None)