Theorem iscau4 23077

Description: Express the property " F is a Cauchy sequence of metric D," using an arbitrary upper set of integers. (Contributed by NM, 19-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscau3.2	|- Z = ( ZZ>= ` M )
iscau3.3	|- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )
iscau3.4	|- ( ph -> M e. ZZ )
iscau4.5	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = A )
iscau4.6	|- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( F ` j ) = B )

Assertion

Ref	Expression
iscau4	|- ( ph -> ( F e. ( Cau ` D ) <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ A e. X /\ ( A D B ) < x ) ) ) )

Distinct variable groups:   j, k, x, D   j, F, k, x   ph, j, k, x   j, X, k, x   j, M   j, Z, k, x

Allowed substitution hints:   A( x, j, k)   B( x, j, k)   M( x, k)

Proof of Theorem iscau4

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscau3.2	. . . . 5 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		iscau3.3	. . . . 5 |- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )
3		iscau3.4	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ZZ )
4	1, 2, 3	iscau3 23076	. . . 4 |- ( ph -> ( F e. ( Cau ` D ) <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) ) ) )
5		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> j e. Z )
6	5, 1	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> j e. ( ZZ>= ` M ) )
7		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> j e. ZZ )
8		uzid 11702	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ZZ -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
9	6, 7, 8	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
10		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = j -> ( ZZ>= ` k ) = ( ZZ>= ` j ) )
11		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = j -> ( F ` k ) = ( F ` j ) )
12	11	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = j -> ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) = ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) )
13	12	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = j -> ( ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x <-> ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) < x ) )
14	10, 13	raleqbidv 3152	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = j -> ( A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x <-> A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) < x ) )
15	14	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( ZZ>= ` j ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x -> A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) < x ) )
16	9, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x -> A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) < x ) )
17	16	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X ) ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x -> A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) < x ) )
18		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m = k -> ( F ` m ) = ( F ` k ) )
19	18	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = k -> ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) = ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) )
20	19	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = k -> ( ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) < x <-> ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) < x ) )
21	20	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) < x <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) < x )
22		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X ) -> ( F ` k ) e. X )
23	22	ralimi 2952	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. X )
24	11	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = j -> ( ( F ` k ) e. X <-> ( F ` j ) e. X ) )
25	24	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. ( ZZ>= ` j ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. X -> ( F ` j ) e. X ) )
26	9, 23, 25	syl2im 40	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X ) -> ( F ` j ) e. X ) )
27	26	imp 445	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X ) ) -> ( F ` j ) e. X )
28		r19.26 3064	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X ) /\ ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) < x ) <-> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) < x ) )
29	2	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ ( F ` j ) e. X ) /\ ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
30		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ ( F ` j ) e. X ) /\ ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X ) ) -> ( F ` j ) e. X )
31		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ ( F ` j ) e. X ) /\ ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X ) ) -> ( F ` k ) e. X )
32		xmetsym 22152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( F ` j ) e. X /\ ( F ` k ) e. X ) -> ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) = ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) )
33	29, 30, 31, 32	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ ( F ` j ) e. X ) /\ ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X ) ) -> ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) = ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) )
34	33	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ ( F ` j ) e. X ) /\ ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X ) ) -> ( ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) < x <-> ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) )
35	34	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ ( F ` j ) e. X ) /\ ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X ) ) -> ( ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) < x -> ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) )
36	35	expimpd 629	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ ( F ` j ) e. X ) -> ( ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X ) /\ ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) < x ) -> ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) )
37	36	ralimdv 2963	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ ( F ` j ) e. X ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X ) /\ ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) < x ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) )
38	28, 37	syl5bir 233	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ ( F ` j ) e. X ) -> ( ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) < x ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) )
39	38	expd 452	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ ( F ` j ) e. X ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) < x -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) )
40	39	impancom 456	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X ) ) -> ( ( F ` j ) e. X -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) < x -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) )
41	27, 40	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X ) ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) < x -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) )
42	21, 41	syl5bi 232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X ) ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) < x -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) )
43	17, 42	syld 47	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X ) ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) )
44	43	imdistanda 729	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) )
45		r19.26 3064	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X ) /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) <-> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) )
46		r19.26 3064	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X ) /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) <-> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) )
47	44, 45, 46	3imtr4g 285	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X ) /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X ) /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) )
48		df-3an 1039	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) <-> ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X ) /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) )
49	48	ralbii 2980	. . . . . . . 8 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X ) /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) )
50		df-3an 1039	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) <-> ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X ) /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) )
51	50	ralbii 2980	. . . . . . . 8 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X ) /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) )
52	47, 49, 51	3imtr4g 285	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) )
53	52	reximdva 3017	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) )
54	53	ralimdv 2963	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) )
55	54	anim2d 589	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) ) -> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) ) )
56	4, 55	sylbid 230	. . 3 |- ( ph -> ( F e. ( Cau ` D ) -> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) ) )
57		uzssz 11707	. . . . . . . . 9 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
58	1, 57	eqsstri 3635	. . . . . . . 8 |- Z C_ ZZ
59		ssrexv 3667	. . . . . . . 8 |- ( Z C_ ZZ -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) )
60	58, 59	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) )
61	60	ralimi 2952	. . . . . 6 |- ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) -> A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) )
62	61	anim2i 593	. . . . 5 |- ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) -> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) )
63		iscau2 23075	. . . . 5 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( F e. ( Cau ` D ) <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) ) )
64	62, 63	syl5ibr 236	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) -> F e. ( Cau ` D ) ) )
65	2, 64	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) -> F e. ( Cau ` D ) ) )
66	56, 65	impbid 202	. 2 |- ( ph -> ( F e. ( Cau ` D ) <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) ) )
67		simpl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> j e. Z )
68	1	uztrn2 11705	. . . . . . . . 9 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
69	67, 68	jca 554	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( j e. Z /\ k e. Z ) )
70		iscau4.5	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = A )
71	70	adantrl 752	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( j e. Z /\ k e. Z ) ) -> ( F ` k ) = A )
72	71	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( j e. Z /\ k e. Z ) ) -> ( ( F ` k ) e. X <-> A e. X ) )
73		iscau4.6	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( F ` j ) = B )
74	73	adantrr 753	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( j e. Z /\ k e. Z ) ) -> ( F ` j ) = B )
75	71, 74	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( j e. Z /\ k e. Z ) ) -> ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) = ( A D B ) )
76	75	breq1d 4663	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( j e. Z /\ k e. Z ) ) -> ( ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x <-> ( A D B ) < x ) )
77	72, 76	3anbi23d 1402	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( j e. Z /\ k e. Z ) ) -> ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) <-> ( k e. dom F /\ A e. X /\ ( A D B ) < x ) ) )
78	69, 77	sylan2 491	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) <-> ( k e. dom F /\ A e. X /\ ( A D B ) < x ) ) )
79	78	anassrs 680	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) <-> ( k e. dom F /\ A e. X /\ ( A D B ) < x ) ) )
80	79	ralbidva 2985	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ A e. X /\ ( A D B ) < x ) ) )
81	80	rexbidva 3049	. . . 4 |- ( ph -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ A e. X /\ ( A D B ) < x ) ) )
82	81	ralbidv 2986	. . 3 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ A e. X /\ ( A D B ) < x ) ) )
83	82	anbi2d 740	. 2 |- ( ph -> ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ A e. X /\ ( A D B ) < x ) ) ) )
84	66, 83	bitrd 268	1 |- ( ph -> ( F e. ( Cau ` D ) <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ A e. X /\ ( A D B ) < x ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^pm cpm 7858   CCcc 9934   < clt 10074   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   *Metcxmt 19731   Caucca 23051

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-2 11079  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-bl 19741  df-cau 23054

This theorem is referenced by:  iscauf  23078  cmetcaulem  23086  caures  33556  caushft  33557