geomcau - Mathbox for Jeff Madsen

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Theorem geomcau 33555

Description: If the distance between consecutive points in a sequence is bounded by a geometric sequence, then the sequence is Cauchy. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
lmclim2.2
lmclim2.3
geomcau.4
geomcau.5
geomcau.6
geomcau.7	$/\$

**Assertion**
Ref	Expression
geomcau

Distinct variable groups:

Proof of Theorem geomcau Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 11723	. . . . . 6
2		1zzd 11408	. . . . . 6
3		geomcau.5	. . . . . . . 8
4	3	rpcnd 11874	. . . . . . 7
5	3	rpred 11872	. . . . . . . . 9
6	3	rpge0d 11876	. . . . . . . . 9
7	5, 6	absidd 14161	. . . . . . . 8
8		geomcau.6	. . . . . . . 8
9	7, 8	eqbrtrd 4675	. . . . . . 7
10	4, 9	expcnv 14596	. . . . . 6
11		geomcau.4	. . . . . . . 8
12		1re 10039	. . . . . . . . . 10
13		resubcl 10345	. . . . . . . . . 10 $/\$
14	12, 5, 13	sylancr 695	. . . . . . . . 9
15		posdif 10521	. . . . . . . . . . 11 $/\$
16	5, 12, 15	sylancl 694	. . . . . . . . . 10
17	8, 16	mpbid 222	. . . . . . . . 9
18	14, 17	elrpd 11869	. . . . . . . 8
19	11, 18	rerpdivcld 11903	. . . . . . 7
20	19	recnd 10068	. . . . . 6
21		nnex 11026	. . . . . . . 8
22	21	mptex 6486	. . . . . . 7
23	22	a1i 11	. . . . . 6
24		nnnn0 11299	. . . . . . . . 9
25	24	adantl 482	. . . . . . . 8 $/\$
26		oveq2 6658	. . . . . . . . 9
27		eqid 2622	. . . . . . . . 9
28		ovex 6678	. . . . . . . . 9
29	26, 27, 28	fvmpt 6282	. . . . . . . 8
30	25, 29	syl 17	. . . . . . 7 $/\$
31		nnz 11399	. . . . . . . . 9
32		rpexpcl 12879	. . . . . . . . 9 $/\$
33	3, 31, 32	syl2an 494	. . . . . . . 8 $/\$
34	33	rpcnd 11874	. . . . . . 7 $/\$
35	30, 34	eqeltrd 2701	. . . . . 6 $/\$
36	20	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$
37	34, 36	mulcomd 10061	. . . . . . 7 $/\$
38	26	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9
39		eqid 2622	. . . . . . . . 9
40		ovex 6678	. . . . . . . . 9
41	38, 39, 40	fvmpt 6282	. . . . . . . 8
42	41	adantl 482	. . . . . . 7 $/\$
43	30	oveq2d 6666	. . . . . . 7 $/\$
44	37, 42, 43	3eqtr4d 2666	. . . . . 6 $/\$
45	1, 2, 10, 20, 23, 35, 44	climmulc2 14367	. . . . 5
46	20	mul01d 10235	. . . . 5
47	45, 46	breqtrd 4679	. . . 4
48	33	rpred 11872	. . . . . . 7 $/\$
49	19	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$
50	48, 49	remulcld 10070	. . . . . 6 $/\$
51	50	recnd 10068	. . . . 5 $/\$
52	1, 2, 23, 42, 51	clim0c 14238	. . . 4
53	47, 52	mpbid 222	. . 3
54		nnz 11399	. . . . . . . 8
55	54	adantl 482	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
56		uzid 11702	. . . . . . 7
57		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11
58	57	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10
59	58	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9
60	59	breq1d 4663	. . . . . . . 8
61	60	rspcv 3305	. . . . . . 7
62	55, 56, 61	3syl 18	. . . . . 6 $/\$ $/\$
63		lmclim2.2	. . . . . . . . . . . . 13
64	63	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
65		lmclim2.3	. . . . . . . . . . . . 13
66		simpl 473	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
67		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
68	65, 66, 67	syl2an 494	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
69		eluznn 11758	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
70		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
71	65, 69, 70	syl2an 494	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
72		metcl 22137	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
73	64, 68, 71, 72	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
74		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13
75		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . . . . 15
76	75	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
77	76	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
78		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . 16
79	78	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15
80		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15
81		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . 15
82	79, 80, 81	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . 14
83	82	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
84	11	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
85	5	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
86		eluznn0 11757	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
87	76, 86	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
88	85, 87	reexpcld 13025	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
89	84, 88	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
90	89	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
91	11	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16
92	91	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
93	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
94	9	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
95		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
96		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
97	78, 95, 96	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
98	97	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
99	93, 94, 76, 98	geolim2 14602	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
100	88	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
101	98, 100	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
102	98	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
103	83, 102	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
104	74, 77, 92, 99, 101, 103	isermulc2 14388	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
105	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
106	105, 77	rpexpcld 13032	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
107	106	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
108	14	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16
109	108	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
110	18	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . . . . . . 16
111	110	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
112	92, 107, 109, 111	div12d 10837	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
113	104, 112	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
114	74, 77, 83, 90, 113	isumclim 14488	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
115		seqex 12803	. . . . . . . . . . . . . . 15
116		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . 15
117	115, 116	breldm 5329	. . . . . . . . . . . . . 14
118	104, 117	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
119	74, 77, 83, 89, 118	isumrecl 14496	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
120	114, 119	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
121	120	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
122	121	abscld 14175	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
123		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
124		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
125		elfzuz 12338	. . . . . . . . . . . . . . . 16
126		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
127		eluznn 11758	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
128	126, 127	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
129	125, 128	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
130	63	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
131	65	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
132		peano2nn 11032	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
133		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
134	65, 132, 133	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
135		metcl 22137	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
136	130, 131, 134, 135	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
137	124, 129, 136	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
138	123, 137	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
139		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
140		elfzuz 12338	. . . . . . . . . . . . . . 15
141		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
142	141, 128, 131	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
143	140, 142	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
144	64, 139, 143	mettrifi 33553	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
145	125, 89	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
146	123, 145	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
147		geomcau.7	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
148	124, 129, 147	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
149	123, 137, 145, 148	fsumle 14531	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
150		fzssuz 12382	. . . . . . . . . . . . . . . 16
151	150	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
152		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
153		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
154		rpexpcl 12879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
155	3, 153, 154	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
156	136, 155	rerpdivcld 11903	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
157	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
158		metge0 22150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
159	130, 131, 134, 158	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
160	136, 155, 159	divge0d 11912	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
161	136, 157, 155	ledivmul2d 11926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
162	147, 161	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
163	152, 156, 157, 160, 162	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
164	141, 128, 163	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
165	141, 128, 155	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
166	165	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
167	84, 88, 164, 166	mulge0d 10604	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
168	74, 77, 123, 151, 83, 89, 167, 118	isumless 14577	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
169	138, 146, 119, 149, 168	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
170	73, 138, 119, 144, 169	letrd 10194	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
171	170, 114	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
172	120	leabsd 14153	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
173	73, 120, 122, 171, 172	letrd 10194	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
174	173	adantlr 751	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
175	73	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
176	122	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
177		rpre 11839	. . . . . . . . . . 11
178	177	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
179		lelttr 10128	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
180	175, 176, 178, 179	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
181	174, 180	mpand 711	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
182	181	anassrs 680	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
183	182	ralrimdva 2969	. . . . . 6 $/\$ $/\$
184	62, 183	syld 47	. . . . 5 $/\$ $/\$
185	184	reximdva 3017	. . . 4 $/\$
186	185	ralimdva 2962	. . 3
187	53, 186	mpd 15	. 2
188		metxmet 22139	. . . 4
189	63, 188	syl 17	. . 3
190		eqidd 2623	. . 3 $/\$
191		eqidd 2623	. . 3 $/\$
192	1, 189, 2, 190, 191, 65	iscauf 23078	. 2
193	187, 192	mpbird 247	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

wrex 2913

cvv 3200

wss 3574 class class class wbr 4653

cmpt 4729

cdm 5114

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cdiv 10684

cn 11020

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

crp 11832

cfz 12326

cseq 12801

cexp 12860

cabs 13974

cli 14215

csu 14416

cxmt 19731

cme 19732

cca 23051

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ico 12181 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-sum 14417 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-cau 23054

This theorem is referenced by: bfplem1 33621

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