Theorem climmpt2 14304

Description: Relate an integer limit on a not-quite-function to a real limit. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climmpt2.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
climmpt2.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
climmpt2.3	|- ( ph -> F e. V )
climmpt2.5	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )

Assertion

Ref	Expression
climmpt2	|- ( ph -> ( F ~~> A <-> ( n e. Z |-> ( F ` n ) ) ~~> r A ) )

Distinct variable groups:   k, F   k, Z   ph, k   n, F   A, n   n, Z   ph, n

Allowed substitution hints:   A( k)   M( k, n)   V( k, n)

Proof of Theorem climmpt2

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climmpt2.2	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		climmpt2.3	. . 3 |- ( ph -> F e. V )
3		climmpt2.1	. . . 4 |- Z = ( ZZ>= ` M )
4		eqid 2622	. . . 4 |- ( n e. Z |-> ( F ` n ) ) = ( n e. Z |-> ( F ` n ) )
5	3, 4	climmpt 14302	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( F ~~> A <-> ( n e. Z |-> ( F ` n ) ) ~~> A ) )
6	1, 2, 5	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( F ~~> A <-> ( n e. Z |-> ( F ` n ) ) ~~> A ) )
7		climmpt2.5	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
8	7	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ph -> A. k e. Z ( F ` k ) e. CC )
9		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( k = m -> ( F ` k ) = ( F ` m ) )
10	9	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( k = m -> ( ( F ` k ) e. CC <-> ( F ` m ) e. CC ) )
11	10	cbvralv 3171	. . . . . . 7 |- ( A. k e. Z ( F ` k ) e. CC <-> A. m e. Z ( F ` m ) e. CC )
12		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( m = n -> ( F ` m ) = ( F ` n ) )
13	12	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( m = n -> ( ( F ` m ) e. CC <-> ( F ` n ) e. CC ) )
14	13	cbvralv 3171	. . . . . . 7 |- ( A. m e. Z ( F ` m ) e. CC <-> A. n e. Z ( F ` n ) e. CC )
15	11, 14	bitri 264	. . . . . 6 |- ( A. k e. Z ( F ` k ) e. CC <-> A. n e. Z ( F ` n ) e. CC )
16	8, 15	sylib 208	. . . . 5 |- ( ph -> A. n e. Z ( F ` n ) e. CC )
17	16	r19.21bi 2932	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) e. CC )
18	17, 4	fmptd 6385	. . 3 |- ( ph -> ( n e. Z |-> ( F ` n ) ) : Z --> CC )
19	3, 1, 18	rlimclim 14277	. 2 |- ( ph -> ( ( n e. Z |-> ( F ` n ) ) ~~> r A <-> ( n e. Z |-> ( F ` n ) ) ~~> A ) )
20	6, 19	bitr4d 271	1 |- ( ph -> ( F ~~> A <-> ( n e. Z |-> ( F ` n ) ) ~~> r A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888   CCcc 9934   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ~~> cli 14215   ~~> r crli 14216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fl 12593  df-clim 14219  df-rlim 14220

This theorem is referenced by: (None)