Theorem cnpresti 21092

Description: One direction of cnprest 21093 under the weaker condition that the point is in the subset rather than the interior of the subset. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnprest.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
cnpresti	|- ( ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> ( F |` A ) e. ( ( ( J ↾t A ) CnP K ) ` P ) )

Proof of Theorem cnpresti

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnprest.1	. . . . 5 |- X = U. J
2		eqid 2622	. . . . 5 |- U. K = U. K
3	1, 2	cnpf 21051	. . . 4 |- ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) -> F : X --> U. K )
4	3	3ad2ant3 1084	. . 3 |- ( ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> F : X --> U. K )
5		simp1 1061	. . 3 |- ( ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> A C_ X )
6	4, 5	fssresd 6071	. 2 |- ( ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> ( F |` A ) : A --> U. K )
7		simpl2 1065	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. K ) -> P e. A )
8		fvres 6207	. . . . . 6 |- ( P e. A -> ( ( F |` A ) ` P ) = ( F ` P ) )
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. K ) -> ( ( F |` A ) ` P ) = ( F ` P ) )
10	9	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( ( ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. K ) -> ( ( ( F |` A ) ` P ) e. y <-> ( F ` P ) e. y ) )
11		cnpimaex 21060	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) )
12	11	3expia 1267	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ y e. K ) -> ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) )
13	12	3ad2antl3 1225	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. K ) -> ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) )
14		idd 24	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> ( P e. x -> P e. x ) )
15		simp2 1062	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> P e. A )
16	14, 15	jctird 567	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> ( P e. x -> ( P e. x /\ P e. A ) ) )
17		elin 3796	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. ( x i^i A ) <-> ( P e. x /\ P e. A ) )
18	16, 17	syl6ibr 242	. . . . . . . . 9 |- ( ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> ( P e. x -> P e. ( x i^i A ) ) )
19		inss1 3833	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x i^i A ) C_ x
20		imass2 5501	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x i^i A ) C_ x -> ( F " ( x i^i A ) ) C_ ( F " x ) )
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( F " ( x i^i A ) ) C_ ( F " x )
22		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F " x ) C_ y -> ( F " x ) C_ y )
23	21, 22	syl5ss 3614	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F " x ) C_ y -> ( F " ( x i^i A ) ) C_ y )
24	23	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> ( ( F " x ) C_ y -> ( F " ( x i^i A ) ) C_ y ) )
25	18, 24	anim12d 586	. . . . . . . 8 |- ( ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> ( ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) -> ( P e. ( x i^i A ) /\ ( F " ( x i^i A ) ) C_ y ) ) )
26	25	reximdv 3016	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> ( E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) -> E. x e. J ( P e. ( x i^i A ) /\ ( F " ( x i^i A ) ) C_ y ) ) )
27		vex 3203	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
28	27	inex1 4799	. . . . . . . . 9 |- ( x i^i A ) e. _V
29	28	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ x e. J ) -> ( x i^i A ) e. _V )
30		cnptop1 21046	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) -> J e. Top )
31	30	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . 9 |- ( ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> J e. Top )
32		uniexg 6955	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. Top -> U. J e. _V )
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> U. J e. _V )
34	5, 1	syl6sseq 3651	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> A C_ U. J )
35	33, 34	ssexd 4805	. . . . . . . . 9 |- ( ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> A e. _V )
36		elrest 16088	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ A e. _V ) -> ( z e. ( J ↾t A ) <-> E. x e. J z = ( x i^i A ) ) )
37	31, 35, 36	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> ( z e. ( J ↾t A ) <-> E. x e. J z = ( x i^i A ) ) )
38		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ z = ( x i^i A ) ) -> z = ( x i^i A ) )
39	38	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ z = ( x i^i A ) ) -> ( P e. z <-> P e. ( x i^i A ) ) )
40	38	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ z = ( x i^i A ) ) -> ( ( F |` A ) " z ) = ( ( F |` A ) " ( x i^i A ) ) )
41		inss2 3834	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x i^i A ) C_ A
42		resima2 5432	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x i^i A ) C_ A -> ( ( F |` A ) " ( x i^i A ) ) = ( F " ( x i^i A ) ) )
43	41, 42	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F |` A ) " ( x i^i A ) ) = ( F " ( x i^i A ) )
44	40, 43	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ z = ( x i^i A ) ) -> ( ( F |` A ) " z ) = ( F " ( x i^i A ) ) )
45	44	sseq1d 3632	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ z = ( x i^i A ) ) -> ( ( ( F |` A ) " z ) C_ y <-> ( F " ( x i^i A ) ) C_ y ) )
46	39, 45	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ z = ( x i^i A ) ) -> ( ( P e. z /\ ( ( F |` A ) " z ) C_ y ) <-> ( P e. ( x i^i A ) /\ ( F " ( x i^i A ) ) C_ y ) ) )
47	29, 37, 46	rexxfr2d 4883	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> ( E. z e. ( J ↾t A ) ( P e. z /\ ( ( F |` A ) " z ) C_ y ) <-> E. x e. J ( P e. ( x i^i A ) /\ ( F " ( x i^i A ) ) C_ y ) ) )
48	26, 47	sylibrd 249	. . . . . 6 |- ( ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> ( E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) -> E. z e. ( J ↾t A ) ( P e. z /\ ( ( F |` A ) " z ) C_ y ) ) )
49	48	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. K ) -> ( E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) -> E. z e. ( J ↾t A ) ( P e. z /\ ( ( F |` A ) " z ) C_ y ) ) )
50	13, 49	syld 47	. . . 4 |- ( ( ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. K ) -> ( ( F ` P ) e. y -> E. z e. ( J ↾t A ) ( P e. z /\ ( ( F |` A ) " z ) C_ y ) ) )
51	10, 50	sylbid 230	. . 3 |- ( ( ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. K ) -> ( ( ( F |` A ) ` P ) e. y -> E. z e. ( J ↾t A ) ( P e. z /\ ( ( F |` A ) " z ) C_ y ) ) )
52	51	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> A. y e. K ( ( ( F |` A ) ` P ) e. y -> E. z e. ( J ↾t A ) ( P e. z /\ ( ( F |` A ) " z ) C_ y ) ) )
53	1	toptopon 20722	. . . . 5 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )
54	31, 53	sylib 208	. . . 4 |- ( ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
55		resttopon 20965	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X ) -> ( J ↾t A ) e. (TopOn ` A ) )
56	54, 5, 55	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> ( J ↾t A ) e. (TopOn ` A ) )
57		cnptop2 21047	. . . . 5 |- ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) -> K e. Top )
58	57	3ad2ant3 1084	. . . 4 |- ( ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> K e. Top )
59	2	toptopon 20722	. . . 4 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` U. K ) )
60	58, 59	sylib 208	. . 3 |- ( ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> K e. (TopOn ` U. K ) )
61		iscnp 21041	. . 3 |- ( ( ( J ↾t A ) e. (TopOn ` A ) /\ K e. (TopOn ` U. K ) /\ P e. A ) -> ( ( F |` A ) e. ( ( ( J ↾t A ) CnP K ) ` P ) <-> ( ( F |` A ) : A --> U. K /\ A. y e. K ( ( ( F |` A ) ` P ) e. y -> E. z e. ( J ↾t A ) ( P e. z /\ ( ( F |` A ) " z ) C_ y ) ) ) ) )
62	56, 60, 15, 61	syl3anc 1326	. 2 |- ( ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> ( ( F |` A ) e. ( ( ( J ↾t A ) CnP K ) ` P ) <-> ( ( F |` A ) : A --> U. K /\ A. y e. K ( ( ( F |` A ) ` P ) e. y -> E. z e. ( J ↾t A ) ( P e. z /\ ( ( F |` A ) " z ) C_ y ) ) ) ) )
63	6, 52, 62	mpbir2and 957	1 |- ( ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> ( F |` A ) e. ( ( ( J ↾t A ) CnP K ) ` P ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   U.cuni 4436   |` cres 5116   "cima 5117   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ↾_t crest 16081   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   CnP ccnp 21029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-fin 7959  df-fi 8317  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cnp 21032

This theorem is referenced by:  efrlim  24696  cvmlift2lem11  31295