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Theorem efrlim 24696

Description: The limit of the sequence

is the exponential function. This is often taken as an alternate definition of the exponential function (see also dfef2 24697). (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
efrlim.1

**Assertion**
Ref	Expression
efrlim

Distinct variable group:

Allowed substitution hint:

(

)

Proof of Theorem efrlim Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rge0ssre 12280	. . . . . . . 8
2		ax-resscn 9993	. . . . . . . 8
3	1, 2	sstri 3612	. . . . . . 7
4	3	sseli 3599	. . . . . 6
5		simpll 790	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
6		1cnd 10056	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
7		simplr 792	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
8		ax-1ne0 10005	. . . . . . . . . . . 12
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
10		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
11	10	neqned 2801	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
12	5, 6, 7, 9, 11	divdiv2d 10833	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
13		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
14	13	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
15	14	div1d 10793	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
16	12, 15	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
17	16	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
18	17	oveq1d 6665	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
19	18	ifeq2da 4117	. . . . . 6 $/\$
20	4, 19	sylan2 491	. . . . 5 $/\$
21	20	mpteq2dva 4744	. . . 4
22		resmpt 5449	. . . . 5
23	3, 22	ax-mp 5	. . . 4
24	21, 23	syl6eqr 2674	. . 3
25	3	a1i 11	. . . 4
26		0e0icopnf 12282	. . . . 5
27	26	a1i 11	. . . 4
28		eqeq2 2633	. . . . . . . . 9
29		eqeq2 2633	. . . . . . . . 9
30		efrlim.1	. . . . . . . . . . . . . 14
31		cnxmet 22576	. . . . . . . . . . . . . . . 16
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15
33		0cnd 10033	. . . . . . . . . . . . . . 15
34		abscl 14018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
35		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
37		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
38		absge0 14027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
39	34	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
40	37, 34, 36, 38, 39	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
41	36, 40	elrpd 11869	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
42	41	rpreccld 11882	. . . . . . . . . . . . . . . 16
43	42	rpxrd 11873	. . . . . . . . . . . . . . 15
44		blssm 22223	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
45	32, 33, 43, 44	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14
46	30, 45	syl5eqss 3649	. . . . . . . . . . . . 13
47	46	sselda 3603	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
48		mul0or 10667	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$
49	47, 48	syldan 487	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$
50	49	biimpa 501	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $\/$
51		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
52	51, 47	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
53	7, 11	reccld 10794	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
54	52, 53	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
55	54	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
56	55	1cxpd 24453	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
57		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
58	57	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
59	47	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
60	59	mul02d 10234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
61	58, 60	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
62	61	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
63		1p0e1 11133	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
64	62, 63	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
65	64	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
66	57	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
67		ef0 14821	. . . . . . . . . . . . . . . 16
68	66, 67	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
69	56, 65, 68	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
70	69	ifeq2da 4117	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
71		ifid 4125	. . . . . . . . . . . . 13
72	70, 71	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
73		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . 13
74	73	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
75	72, 74	jaodan 826	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\/$
76		mulid1 10037	. . . . . . . . . . . . 13
77	76	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\/$
78	77	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\/$
79	75, 78	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $\/$
80	50, 79	syldan 487	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
81		mulne0b 10668	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
82	47, 81	syldan 487	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
83		df-ne 2795	. . . . . . . . . . . 12
84	82, 83	syl6bb 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
85		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
86	85	neneqd 2799	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
87	86	iffalsed 4097	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
88		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . 16
89	47, 13	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
90		addcl 10018	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
91	88, 89, 90	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
92	91	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
93		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
94	93	dvlog2lem 24398	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$
95		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\$ $\$
96	95	logdmss 24388	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$ $\$
97	94, 96	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$
98		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
99	98	cnmetdval 22574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
100	91, 88, 99	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
101		pncan2 10288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
102	88, 89, 101	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
103	102	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
104	100, 103	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
105	89	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
106	36	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
107	47	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
108	106, 107	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
109		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
110		absmul 14034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
111	47, 110	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
112	34	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
113	112, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
114	47	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
115	112	lep1d 10955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
116	112, 113, 107, 114, 115	lemul1ad 10963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
117	111, 116	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
118		0cn 10032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
119	98	cnmetdval 22574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
120	47, 118, 119	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
121	47	subid1d 10381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
122	121	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
123	120, 122	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
124		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
125	124, 30	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
126	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
127	43	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
128		0cnd 10033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
129		elbl3 22197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
130	126, 127, 128, 47, 129	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
131	125, 130	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
132	123, 131	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
133	40	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
134		ltmuldiv2 10897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
135	107, 109, 113, 133, 134	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
136	132, 135	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
137	105, 108, 109, 117, 136	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
138	104, 137	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
139		1rp 11836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
140		rpxr 11840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
141	139, 140	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
142		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
143		elbl3 22197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
144	126, 141, 142, 91, 143	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
145	138, 144	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
146	97, 145	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $\$
147		eldifsni 4320	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$
148	146, 147	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
149	148	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
150	47	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
151	150, 85	reccld 10794	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
152	92, 149, 151	cxpefd 24458	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
153	91, 148	logcld 24317	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
154	153	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
155	151, 154	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
156		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
157		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
158	156, 157	dividd 10799	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
159	158	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
160	156, 156, 150, 157, 85	divdiv1d 10832	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
161	159, 160	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
162	161	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
163	89	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
164	82	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
165	154, 156, 163, 164	div12d 10837	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
166	155, 162, 165	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
167	166	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
168	87, 152, 167	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
169	168	ex 450	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
170	84, 169	sylbird 250	. . . . . . . . . 10 $/\$
171	170	imp 445	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
172	28, 29, 80, 171	ifbothda 4123	. . . . . . . 8 $/\$
173	172	mpteq2dva 4744	. . . . . . 7
174	46	resmptd 5452	. . . . . . 7
175		1cnd 10056	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
176	153	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
177	89	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
178		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
179	178	neqned 2801	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
180	176, 177, 179	divcld 10801	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
181	175, 180	ifclda 4120	. . . . . . . 8 $/\$
182		eqidd 2623	. . . . . . . 8
183		eqidd 2623	. . . . . . . 8
184		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10
185	184	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9
186		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11
187	186	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10
188		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11
189	188	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10
190	187, 189	ifsb 4099	. . . . . . . . 9
191	185, 190	syl6eq 2672	. . . . . . . 8
192	181, 182, 183, 191	fmptco 6396	. . . . . . 7
193	173, 174, 192	3eqtr4d 2666	. . . . . 6
194		eqidd 2623	. . . . . . . . . 10
195		eqidd 2623	. . . . . . . . . 10
196		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . 11
197		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12
198		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12
199	197, 198	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11
200	196, 199	ifbieq2d 4111	. . . . . . . . . 10
201	145, 194, 195, 200	fmptco 6396	. . . . . . . . 9
202	63	eqeq2i 2634	. . . . . . . . . . . 12
203	142, 89, 128	addcand 10239	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
204	202, 203	syl5bbr 274	. . . . . . . . . . 11 $/\$
205	102	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 $/\$
206	204, 205	ifbieq2d 4111	. . . . . . . . . 10 $/\$
207	206	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . 9
208	201, 207	eqtrd 2656	. . . . . . . 8
209		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 ℂ_fld ↾_t ℂ_fld ↾_t
210		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 ℂ_fld ℂ_fld
211	210	cnfldtopon 22586	. . . . . . . . . . . . 13 ℂ_fld TopOn
212	211	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ℂ_fld TopOn
213		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . 14
214	212, 212, 213	cnmptc 21465	. . . . . . . . . . . . 13 ℂ_fld ℂ_fld
215		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15
216	212, 212, 215	cnmptc 21465	. . . . . . . . . . . . . 14 ℂ_fld ℂ_fld
217	212	cnmptid 21464	. . . . . . . . . . . . . 14 ℂ_fld ℂ_fld
218	210	mulcn 22670	. . . . . . . . . . . . . . 15 ℂ_fld ℂ_fld ℂ_fld
219	218	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ℂ_fld ℂ_fld ℂ_fld
220	212, 216, 217, 219	cnmpt12f 21469	. . . . . . . . . . . . 13 ℂ_fld ℂ_fld
221	210	addcn 22668	. . . . . . . . . . . . . 14 ℂ_fld ℂ_fld ℂ_fld
222	221	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ℂ_fld ℂ_fld ℂ_fld
223	212, 214, 220, 222	cnmpt12f 21469	. . . . . . . . . . . 12 ℂ_fld ℂ_fld
224	209, 212, 46, 223	cnmpt1res 21479	. . . . . . . . . . 11 ℂ_fld ↾_t ℂ_fld
225		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14
226	145, 225	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . . 13
227		frn 6053	. . . . . . . . . . . . 13
228	226, 227	syl 17	. . . . . . . . . . . 12
229		difss 3737	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$
230	97, 229	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . 13
231	230	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12
232		cnrest2 21090	. . . . . . . . . . . 12 ℂ_fld TopOn $/\$ $/\$ ℂ_fld ↾_t ℂ_fld ℂ_fld ↾_t ℂ_fld ↾_t
233	212, 228, 231, 232	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 ℂ_fld ↾_t ℂ_fld ℂ_fld ↾_t ℂ_fld ↾_t
234	224, 233	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 ℂ_fld ↾_t ℂ_fld ↾_t
235		blcntr 22218	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
236	32, 33, 42, 235	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12
237	236, 30	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . 11
238		resttopon 20965	. . . . . . . . . . . . 13 ℂ_fld TopOn $/\$ ℂ_fld ↾_t TopOn
239	211, 46, 238	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 ℂ_fld ↾_t TopOn
240		toponuni 20719	. . . . . . . . . . . 12 ℂ_fld ↾_t TopOn ℂ_fld ↾_t
241	239, 240	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ℂ_fld ↾_t
242	237, 241	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . 10 ℂ_fld ↾_t
243		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 ℂ_fld ↾_t ℂ_fld ↾_t
244	243	cncnpi 21082	. . . . . . . . . 10 ℂ_fld ↾_t ℂ_fld ↾_t $/\$ ℂ_fld ↾_t ℂ_fld ↾_t ℂ_fld ↾_t
245	234, 242, 244	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ℂ_fld ↾_t ℂ_fld ↾_t
246		cnelprrecn 10029	. . . . . . . . . . 11
247		logf1o 24311	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$
248		f1of 6137	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$ $\$
249	247, 248	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 $\$
250		logrncn 24309	. . . . . . . . . . . . . 14
251	250	ssriv 3607	. . . . . . . . . . . . 13
252		fss 6056	. . . . . . . . . . . . 13 $\$ $/\$ $\$
253	249, 251, 252	mp2an 708	. . . . . . . . . . . 12 $\$
254		fssres 6070	. . . . . . . . . . . 12 $\$ $/\$ $\$
255	253, 97, 254	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11
256		blcntr 22218	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
257	31, 88, 139, 256	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . 13
258		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . 14
259	93	dvlog2 24399	. . . . . . . . . . . . . 14
260	258, 259	dmmpti 6023	. . . . . . . . . . . . 13
261	257, 260	eleqtrri 2700	. . . . . . . . . . . 12
262		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 ℂ_fld ↾_t ℂ_fld ↾_t
263	259	fveq1i 6192	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
264		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
265		1div1e1 10717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
266	264, 265	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
267		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
268		1ex 10035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
269	266, 267, 268	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
270	257, 269	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
271	263, 270	eqtr2i 2645	. . . . . . . . . . . . . . . 16
272	271	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15
273		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
274		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
275	257, 274	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
276		log1 24332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
277	275, 276	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
278	273, 277	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
279	97	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $\$
280		eldifsn 4317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $\$ $/\$
281	279, 280	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
282		logcl 24315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
283	281, 282	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
284	283	subid1d 10381	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
285	278, 284	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . . 16
286	285	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15
287	272, 286	ifeq12d 4106	. . . . . . . . . . . . . 14
288	287	mpteq2ia 4740	. . . . . . . . . . . . 13
289	262, 210, 288	dvcnp 23682	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ ℂ_fld ↾_t ℂ_fld
290	261, 289	mpan2 707	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ ℂ_fld ↾_t ℂ_fld
291	246, 255, 230, 290	mp3an 1424	. . . . . . . . . 10 ℂ_fld ↾_t ℂ_fld
292		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15
293	292	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14
294		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . 14
295	293, 225, 294	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . 13
296	237, 295	syl 17	. . . . . . . . . . . 12
297		mul01 10215	. . . . . . . . . . . . . 14
298	297	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13
299	298, 63	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . 12
300	296, 299	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11
301	300	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 ℂ_fld ↾_t ℂ_fld ℂ_fld ↾_t ℂ_fld
302	291, 301	syl5eleqr 2708	. . . . . . . . 9 ℂ_fld ↾_t ℂ_fld
303		cnpco 21071	. . . . . . . . 9 ℂ_fld ↾_t ℂ_fld ↾_t $/\$ ℂ_fld ↾_t ℂ_fld ℂ_fld ↾_t ℂ_fld
304	245, 302, 303	syl2anc 693	. . . . . . . 8 ℂ_fld ↾_t ℂ_fld
305	208, 304	eqeltrrd 2702	. . . . . . 7 ℂ_fld ↾_t ℂ_fld
306	212, 212, 215	cnmptc 21465	. . . . . . . . . 10 ℂ_fld ℂ_fld
307	212	cnmptid 21464	. . . . . . . . . 10 ℂ_fld ℂ_fld
308	212, 306, 307, 219	cnmpt12f 21469	. . . . . . . . 9 ℂ_fld ℂ_fld
309		efcn 24197	. . . . . . . . . . 11
310	210	cncfcn1 22713	. . . . . . . . . . 11 ℂ_fld ℂ_fld
311	309, 310	eleqtri 2699	. . . . . . . . . 10 ℂ_fld ℂ_fld
312	311	a1i 11	. . . . . . . . 9 ℂ_fld ℂ_fld
313	212, 308, 312	cnmpt11f 21467	. . . . . . . 8 ℂ_fld ℂ_fld
314		eqid 2622	. . . . . . . . . 10
315	181, 314	fmptd 6385	. . . . . . . . 9
316	315, 237	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8
317	211	toponunii 20721	. . . . . . . . 9 ℂ_fld
318	317	cncnpi 21082	. . . . . . . 8 ℂ_fld ℂ_fld $/\$ ℂ_fld ℂ_fld
319	313, 316, 318	syl2anc 693	. . . . . . 7 ℂ_fld ℂ_fld
320		cnpco 21071	. . . . . . 7 ℂ_fld ↾_t ℂ_fld $/\$ ℂ_fld ℂ_fld ℂ_fld ↾_t ℂ_fld
321	305, 319, 320	syl2anc 693	. . . . . 6 ℂ_fld ↾_t ℂ_fld
322	193, 321	eqeltrd 2701	. . . . 5 ℂ_fld ↾_t ℂ_fld
323	210	cnfldtop 22587	. . . . . . 7 ℂ_fld
324	323	a1i 11	. . . . . 6 ℂ_fld
325	210	cnfldtopn 22585	. . . . . . . . . . 11 ℂ_fld
326	325	blopn 22305	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ ℂ_fld
327	32, 33, 43, 326	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 ℂ_fld
328	30, 327	syl5eqel 2705	. . . . . . . 8 ℂ_fld
329		isopn3i 20886	. . . . . . . 8 ℂ_fld $/\$ ℂ_fld ℂ_fld
330	323, 328, 329	sylancr 695	. . . . . . 7 ℂ_fld
331	237, 330	eleqtrrd 2704	. . . . . 6 ℂ_fld
332		efcl 14813	. . . . . . . . 9
333	332	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
334	88, 14, 90	sylancr 695	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
335	334, 53	cxpcld 24454	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
336	333, 335	ifclda 4120	. . . . . . 7 $/\$
337		eqid 2622	. . . . . . 7
338	336, 337	fmptd 6385	. . . . . 6
339	317, 317	cnprest 21093	. . . . . 6 ℂ_fld $/\$ $/\$ ℂ_fld $/\$ ℂ_fld ℂ_fld ℂ_fld ↾_t ℂ_fld
340	324, 46, 331, 338, 339	syl22anc 1327	. . . . 5 ℂ_fld ℂ_fld ℂ_fld ↾_t ℂ_fld
341	322, 340	mpbird 247	. . . 4 ℂ_fld ℂ_fld
342	317	cnpresti 21092	. . . 4 $/\$ $/\$ ℂ_fld ℂ_fld ℂ_fld ↾_t ℂ_fld
343	25, 27, 341, 342	syl3anc 1326	. . 3 ℂ_fld ↾_t ℂ_fld
344	24, 343	eqeltrd 2701	. 2 ℂ_fld ↾_t ℂ_fld
345		simpl 473	. . . . . 6 $/\$
346		rpcn 11841	. . . . . . 7
347	346	adantl 482	. . . . . 6 $/\$
348		rpne0 11848	. . . . . . 7
349	348	adantl 482	. . . . . 6 $/\$
350	345, 347, 349	divcld 10801	. . . . 5 $/\$
351		addcl 10018	. . . . 5 $/\$
352	88, 350, 351	sylancr 695	. . . 4 $/\$
353	352, 347	cxpcld 24454	. . 3 $/\$
354		oveq2 6658	. . . . 5
355	354	oveq2d 6666	. . . 4
356		id 22	. . . 4
357	355, 356	oveq12d 6668	. . 3
358		eqid 2622	. . 3 ℂ_fld ↾_t ℂ_fld ↾_t
359	332, 353, 357, 210, 358	rlimcnp3 24694	. 2 ℂ_fld ↾_t ℂ_fld
360	344, 359	mpbird 247	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794 $\$ cdif 3571

wss 3574

cif 4086

csn 4177

cpr 4179

cuni 4436 class class class wbr 4653

cmpt 4729

cdm 5114

crn 5115

cres 5116

ccom 5118

wf 5884

wf1o 5887

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

cpnf 10071

cmnf 10072

cxr 10073

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cdiv 10684

crp 11832

cioc 12176

cico 12177

cabs 13974

crli 14216

ce 14792 ↾_t crest 16081

ctopn 16082

cxmt 19731

cbl 19733 ℂ_fldccnfld 19746

ctop 20698 TopOnctopon 20715

cnt 20821

ccn 21028

ccnp 21029

ctx 21363

ccncf 22679

cdv 23627

clog 24301

ccxp 24302

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015 ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-iin 4523 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-supp 7296 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-ixp 7909 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fsupp 8276 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ioo 12179 df-ioc 12180 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-fac 13061 df-bc 13090 df-hash 13118 df-shft 13807 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-limsup 14202 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-sum 14417 df-ef 14798 df-sin 14800 df-cos 14801 df-tan 14802 df-pi 14803 df-struct 15859 df-ndx 15860 df-slot 15861 df-base 15863 df-sets 15864 df-ress 15865 df-plusg 15954 df-mulr 15955 df-starv 15956 df-sca 15957 df-vsca 15958 df-ip 15959 df-tset 15960 df-ple 15961 df-ds 15964 df-unif 15965 df-hom 15966 df-cco 15967 df-rest 16083 df-topn 16084 df-0g 16102 df-gsum 16103 df-topgen 16104 df-pt 16105 df-prds 16108 df-xrs 16162 df-qtop 16167 df-imas 16168 df-xps 16170 df-mre 16246 df-mrc 16247 df-acs 16249 df-mgm 17242 df-sgrp 17284 df-mnd 17295 df-submnd 17336 df-mulg 17541 df-cntz 17750 df-cmn 18195 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-fbas 19743 df-fg 19744 df-cnfld 19747 df-top 20699 df-topon 20716 df-topsp 20737 df-bases 20750 df-cld 20823 df-ntr 20824 df-cls 20825 df-nei 20902 df-lp 20940 df-perf 20941 df-cn 21031 df-cnp 21032 df-haus 21119 df-cmp 21190 df-tx 21365 df-hmeo 21558 df-fil 21650 df-fm 21742 df-flim 21743 df-flf 21744 df-xms 22125 df-ms 22126 df-tms 22127 df-cncf 22681 df-limc 23630 df-dv 23631 df-log 24303 df-cxp 24304

This theorem is referenced by: dfef2 24697

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