Theorem cnsrexpcl 37735

Description: Exponentiation is closed in number rings. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnsrexpcl.s	|- ( ph -> S e. (SubRing ` ℂfld ) )
cnsrexpcl.x	|- ( ph -> X e. S )
cnsrexpcl.y	|- ( ph -> Y e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
cnsrexpcl	|- ( ph -> ( X ^ Y ) e. S )

Proof of Theorem cnsrexpcl

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnsrexpcl.y	. 2 |- ( ph -> Y e. NN0 )
2		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( a = 0 -> ( X ^ a ) = ( X ^ 0 ) )
3	2	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( a = 0 -> ( ( X ^ a ) e. S <-> ( X ^ 0 ) e. S ) )
4	3	imbi2d 330	. . 3 |- ( a = 0 -> ( ( ph -> ( X ^ a ) e. S ) <-> ( ph -> ( X ^ 0 ) e. S ) ) )
5		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( a = b -> ( X ^ a ) = ( X ^ b ) )
6	5	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( a = b -> ( ( X ^ a ) e. S <-> ( X ^ b ) e. S ) )
7	6	imbi2d 330	. . 3 |- ( a = b -> ( ( ph -> ( X ^ a ) e. S ) <-> ( ph -> ( X ^ b ) e. S ) ) )
8		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( a = ( b + 1 ) -> ( X ^ a ) = ( X ^ ( b + 1 ) ) )
9	8	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( a = ( b + 1 ) -> ( ( X ^ a ) e. S <-> ( X ^ ( b + 1 ) ) e. S ) )
10	9	imbi2d 330	. . 3 |- ( a = ( b + 1 ) -> ( ( ph -> ( X ^ a ) e. S ) <-> ( ph -> ( X ^ ( b + 1 ) ) e. S ) ) )
11		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( a = Y -> ( X ^ a ) = ( X ^ Y ) )
12	11	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( a = Y -> ( ( X ^ a ) e. S <-> ( X ^ Y ) e. S ) )
13	12	imbi2d 330	. . 3 |- ( a = Y -> ( ( ph -> ( X ^ a ) e. S ) <-> ( ph -> ( X ^ Y ) e. S ) ) )
14		cnsrexpcl.s	. . . . . . 7 |- ( ph -> S e. (SubRing ` ℂfld ) )
15		cnfldbas 19750	. . . . . . . 8 |- CC = ( Base ` ℂfld )
16	15	subrgss 18781	. . . . . . 7 |- ( S e. (SubRing ` ℂfld ) -> S C_ CC )
17	14, 16	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> S C_ CC )
18		cnsrexpcl.x	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. S )
19	17, 18	sseldd 3604	. . . . 5 |- ( ph -> X e. CC )
20	19	exp0d 13002	. . . 4 |- ( ph -> ( X ^ 0 ) = 1 )
21		cnfld1 19771	. . . . . 6 |- 1 = ( 1r ` ℂfld )
22	21	subrg1cl 18788	. . . . 5 |- ( S e. (SubRing ` ℂfld ) -> 1 e. S )
23	14, 22	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. S )
24	20, 23	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ph -> ( X ^ 0 ) e. S )
25	19	3ad2ant2 1083	. . . . . . 7 |- ( ( b e. NN0 /\ ph /\ ( X ^ b ) e. S ) -> X e. CC )
26		simp1 1061	. . . . . . 7 |- ( ( b e. NN0 /\ ph /\ ( X ^ b ) e. S ) -> b e. NN0 )
27	25, 26	expp1d 13009	. . . . . 6 |- ( ( b e. NN0 /\ ph /\ ( X ^ b ) e. S ) -> ( X ^ ( b + 1 ) ) = ( ( X ^ b ) x. X ) )
28	14	3ad2ant2 1083	. . . . . . 7 |- ( ( b e. NN0 /\ ph /\ ( X ^ b ) e. S ) -> S e. (SubRing ` ℂfld ) )
29		simp3 1063	. . . . . . 7 |- ( ( b e. NN0 /\ ph /\ ( X ^ b ) e. S ) -> ( X ^ b ) e. S )
30	18	3ad2ant2 1083	. . . . . . 7 |- ( ( b e. NN0 /\ ph /\ ( X ^ b ) e. S ) -> X e. S )
31		cnfldmul 19752	. . . . . . . 8 |- x. = ( .r ` ℂfld )
32	31	subrgmcl 18792	. . . . . . 7 |- ( ( S e. (SubRing ` ℂfld ) /\ ( X ^ b ) e. S /\ X e. S ) -> ( ( X ^ b ) x. X ) e. S )
33	28, 29, 30, 32	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( b e. NN0 /\ ph /\ ( X ^ b ) e. S ) -> ( ( X ^ b ) x. X ) e. S )
34	27, 33	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( b e. NN0 /\ ph /\ ( X ^ b ) e. S ) -> ( X ^ ( b + 1 ) ) e. S )
35	34	3exp 1264	. . . 4 |- ( b e. NN0 -> ( ph -> ( ( X ^ b ) e. S -> ( X ^ ( b + 1 ) ) e. S ) ) )
36	35	a2d 29	. . 3 |- ( b e. NN0 -> ( ( ph -> ( X ^ b ) e. S ) -> ( ph -> ( X ^ ( b + 1 ) ) e. S ) ) )
37	4, 7, 10, 13, 24, 36	nn0ind 11472	. 2 |- ( Y e. NN0 -> ( ph -> ( X ^ Y ) e. S ) )
38	1, 37	mpcom 38	1 |- ( ph -> ( X ^ Y ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   NN0cn0 11292   ^cexp 12860  SubRingcsubrg 18776  ℂ_fldccnfld 19746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-subg 17591  df-cmn 18195  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-subrg 18778  df-cnfld 19747

This theorem is referenced by:  cnsrplycl  37737