Theorem subrgss 18781

Description: A subring is a subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgss.1	|- B = ( Base ` R )

Assertion

Ref	Expression
subrgss	|- ( A e. (SubRing ` R ) -> A C_ B )

Proof of Theorem subrgss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgss.1	. . . 4 |- B = ( Base ` R )
2		eqid 2622	. . . 4 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
3	1, 2	issubrg 18780	. . 3 |- ( A e. (SubRing ` R ) <-> ( ( R e. Ring /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) /\ ( A C_ B /\ ( 1r ` R ) e. A ) ) )
4	3	simprbi 480	. 2 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> ( A C_ B /\ ( 1r ` R ) e. A ) )
5	4	simpld 475	1 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> A C_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858   1rcur 18501   Ringcrg 18547  SubRingcsubrg 18776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-subrg 18778

This theorem is referenced by:  subrgsubg  18786  subrg1  18790  subrgsubm  18793  subrgdvds  18794  subrguss  18795  subrginv  18796  subrgdv  18797  subrgmre  18804  issubdrg  18805  subsubrg  18806  abvres  18839  sralmod  19187  issubassa  19324  sraassa  19325  aspid  19330  issubassa2  19345  resspsrbas  19415  resspsradd  19416  resspsrmul  19417  resspsrvsca  19418  mplassa  19454  ressmplbas2  19455  subrgascl  19498  subrgasclcl  19499  mplind  19502  evlsval2  19520  evlssca  19522  evlsscasrng  19526  mpfconst  19530  mpff  19533  mpfaddcl  19534  mpfmulcl  19535  mpfind  19536  ply1assa  19569  evls1val  19685  evls1rhm  19687  evls1sca  19688  evls1scasrng  19703  pf1f  19714  cnsubrg  19806  sranlm  22488  clmsscn  22879  cphreccllem  22978  cphdivcl  22982  cphabscl  22985  cphsqrtcl2  22986  cphsqrtcl3  22987  cphipcl  22991  4cphipval2  23041  resscdrg  23154  srabn  23156  plypf1  23968  dvply2g  24040  taylply2  24122  cnsrexpcl  37735  fsumcnsrcl  37736  cnsrplycl  37737  rgspnid  37742  rngunsnply  37743  sdrgacs  37771