Theorem exp0d 13002

Description: Value of a complex number raised to the 0th power. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	|- ( ph -> A e. CC )

Assertion

Ref	Expression
exp0d	|- ( ph -> ( A ^ 0 ) = 1 )

Proof of Theorem exp0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		exp0 12864	. 2 |- ( A e. CC -> ( A ^ 0 ) = 1 )
3	1, 2	syl 17	1 |- ( ph -> ( A ^ 0 ) = 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   ^cexp 12860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-neg 10269  df-z 11378  df-seq 12802  df-exp 12861

This theorem is referenced by:  faclbnd4lem3  13082  faclbnd4lem4  13083  faclbnd6  13086  hashmap  13222  absexp  14044  binom  14562  geoser  14599  cvgrat  14615  efexp  14831  prmdvdsexpr  15429  rpexp1i  15433  phiprm  15482  odzdvds  15500  pclem  15543  pcpre1  15547  pcexp  15564  dvdsprmpweqnn  15589  prmpwdvds  15608  pgp0  18011  sylow2alem2  18033  ablfac1eu  18472  pgpfac1lem3a  18475  plyeq0lem  23966  plyco  23997  vieta1  24067  abelthlem9  24194  advlogexp  24401  cxpmul2  24435  nnlogbexp  24519  ftalem5  24803  0sgm  24870  1sgmprm  24924  dchrptlem2  24990  bposlem5  25013  lgsval2lem  25032  lgsmod  25048  lgsdilem2  25058  lgsne0  25060  chebbnd1lem1  25158  dchrisum0flblem1  25197  qabvexp  25315  ostth2lem2  25323  ostth3  25327  rusgrnumwwlk  26870  nexple  30071  faclim  31632  faclim2  31634  knoppndvlem14  32516  mzpexpmpt  37308  pell14qrexpclnn0  37430  pellfund14  37462  rmxy0  37488  jm2.17a  37527  jm2.17b  37528  jm2.18  37555  jm2.23  37563  expdioph  37590  cnsrexpcl  37735  binomcxplemnotnn0  38555  dvnxpaek  40157  wallispilem2  40283  etransclem24  40475  etransclem25  40476  etransclem35  40486  pwdif  41501  lighneallem3  41524  lighneallem4  41527  altgsumbcALT  42131  expnegico01  42308  digexp  42401  dig1  42402