Theorem cnsrplycl 37737

Description: Polynomials are closed in number rings. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnsrplycl.s	|- ( ph -> S e. (SubRing ` ℂfld ) )
cnsrplycl.p	|- ( ph -> P e. (Poly ` C ) )
cnsrplycl.x	|- ( ph -> X e. S )
cnsrplycl.c	|- ( ph -> C C_ S )

Assertion

Ref	Expression
cnsrplycl	|- ( ph -> ( P ` X ) e. S )

Proof of Theorem cnsrplycl

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnsrplycl.c	. . . . 5 |- ( ph -> C C_ S )
2		cnsrplycl.s	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. (SubRing ` ℂfld ) )
3		cnfldbas 19750	. . . . . . 7 |- CC = ( Base ` ℂfld )
4	3	subrgss 18781	. . . . . 6 |- ( S e. (SubRing ` ℂfld ) -> S C_ CC )
5	2, 4	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> S C_ CC )
6		plyss 23955	. . . . 5 |- ( ( C C_ S /\ S C_ CC ) -> (Poly ` C ) C_ (Poly ` S ) )
7	1, 5, 6	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> (Poly ` C ) C_ (Poly ` S ) )
8		cnsrplycl.p	. . . 4 |- ( ph -> P e. (Poly ` C ) )
9	7, 8	sseldd 3604	. . 3 |- ( ph -> P e. (Poly ` S ) )
10		cnsrplycl.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. S )
11	5, 10	sseldd 3604	. . 3 |- ( ph -> X e. CC )
12		eqid 2622	. . . 4 |- (coeff ` P ) = (coeff ` P )
13		eqid 2622	. . . 4 |- (deg ` P ) = (deg ` P )
14	12, 13	coeid2 23995	. . 3 |- ( ( P e. (Poly ` S ) /\ X e. CC ) -> ( P ` X ) = sum_ k e. ( 0 ... (deg ` P ) ) ( ( (coeff ` P ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) )
15	9, 11, 14	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( P ` X ) = sum_ k e. ( 0 ... (deg ` P ) ) ( ( (coeff ` P ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) )
16		fzfid 12772	. . 3 |- ( ph -> ( 0 ... (deg ` P ) ) e. Fin )
17	2	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... (deg ` P ) ) ) -> S e. (SubRing ` ℂfld ) )
18		subrgsubg 18786	. . . . . . . 8 |- ( S e. (SubRing ` ℂfld ) -> S e. (SubGrp ` ℂfld ) )
19		cnfld0 19770	. . . . . . . . 9 |- 0 = ( 0g ` ℂfld )
20	19	subg0cl 17602	. . . . . . . 8 |- ( S e. (SubGrp ` ℂfld ) -> 0 e. S )
21	2, 18, 20	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 e. S )
22	12	coef2 23987	. . . . . . 7 |- ( ( P e. (Poly ` S ) /\ 0 e. S ) -> (coeff ` P ) : NN0 --> S )
23	9, 21, 22	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> (coeff ` P ) : NN0 --> S )
24	23	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... (deg ` P ) ) ) -> (coeff ` P ) : NN0 --> S )
25		elfznn0 12433	. . . . . 6 |- ( k e. ( 0 ... (deg ` P ) ) -> k e. NN0 )
26	25	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... (deg ` P ) ) ) -> k e. NN0 )
27	24, 26	ffvelrnd 6360	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... (deg ` P ) ) ) -> ( (coeff ` P ) ` k ) e. S )
28	10	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... (deg ` P ) ) ) -> X e. S )
29	17, 28, 26	cnsrexpcl 37735	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... (deg ` P ) ) ) -> ( X ^ k ) e. S )
30		cnfldmul 19752	. . . . 5 |- x. = ( .r ` ℂfld )
31	30	subrgmcl 18792	. . . 4 |- ( ( S e. (SubRing ` ℂfld ) /\ ( (coeff ` P ) ` k ) e. S /\ ( X ^ k ) e. S ) -> ( ( (coeff ` P ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) e. S )
32	17, 27, 29, 31	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... (deg ` P ) ) ) -> ( ( (coeff ` P ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) e. S )
33	2, 16, 32	fsumcnsrcl 37736	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... (deg ` P ) ) ( ( (coeff ` P ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) e. S )
34	15, 33	eqeltrd 2701	1 |- ( ph -> ( P ` X ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   x. cmul 9941   NN0cn0 11292   ...cfz 12326   ^cexp 12860   sum_csu 14416  SubGrpcsubg 17588  SubRingcsubrg 18776  ℂ_fldccnfld 19746  Polycply 23940  coeffccoe 23942  degcdgr 23943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-subg 17591  df-cmn 18195  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-subrg 18778  df-cnfld 19747  df-0p 23437  df-ply 23944  df-coe 23946  df-dgr 23947

This theorem is referenced by:  rngunsnply  37743