Theorem cnsubdrglem 19797

Description: Lemma for resubdrg 19954 and friends. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnsubglem.1	|- ( x e. A -> x e. CC )
cnsubglem.2	|- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( x + y ) e. A )
cnsubglem.3	|- ( x e. A -> -u x e. A )
cnsubrglem.4	|- 1 e. A
cnsubrglem.5	|- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( x x. y ) e. A )
cnsubrglem.6	|- ( ( x e. A /\ x =/= 0 ) -> ( 1 / x ) e. A )

Assertion

Ref	Expression
cnsubdrglem	|- ( A e. (SubRing ` ℂfld ) /\ (ℂfld ↾s A ) e. DivRing )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem cnsubdrglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnsubglem.1	. . 3 |- ( x e. A -> x e. CC )
2		cnsubglem.2	. . 3 |- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( x + y ) e. A )
3		cnsubglem.3	. . 3 |- ( x e. A -> -u x e. A )
4		cnsubrglem.4	. . 3 |- 1 e. A
5		cnsubrglem.5	. . 3 |- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( x x. y ) e. A )
6	1, 2, 3, 4, 5	cnsubrglem 19796	. 2 |- A e. (SubRing ` ℂfld )
7		cndrng 19775	. . . 4 |- ℂfld e. DivRing
8		eqid 2622	. . . . 5 |- (ℂfld ↾s A ) = (ℂfld ↾s A )
9		cnfld0 19770	. . . . 5 |- 0 = ( 0g ` ℂfld )
10		eqid 2622	. . . . 5 |- ( invr ` ℂfld ) = ( invr ` ℂfld )
11	8, 9, 10	issubdrg 18805	. . . 4 |- ( (ℂfld e. DivRing /\ A e. (SubRing ` ℂfld ) ) -> ( (ℂfld ↾s A ) e. DivRing <-> A. x e. ( A \ { 0 } ) ( ( invr ` ℂfld ) ` x ) e. A ) )
12	7, 6, 11	mp2an 708	. . 3 |- ( (ℂfld ↾s A ) e. DivRing <-> A. x e. ( A \ { 0 } ) ( ( invr ` ℂfld ) ` x ) e. A )
13		cnring 19768	. . . . 5 |- ℂfld e. Ring
14	1	ssriv 3607	. . . . . . 7 |- A C_ CC
15		ssdif 3745	. . . . . . 7 |- ( A C_ CC -> ( A \ { 0 } ) C_ ( CC \ { 0 } ) )
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( A \ { 0 } ) C_ ( CC \ { 0 } )
17	16	sseli 3599	. . . . 5 |- ( x e. ( A \ { 0 } ) -> x e. ( CC \ { 0 } ) )
18		cnfldbas 19750	. . . . . 6 |- CC = ( Base ` ℂfld )
19	18, 9, 7	drngui 18753	. . . . . 6 |- ( CC \ { 0 } ) = (Unit ` ℂfld )
20		cnflddiv 19776	. . . . . 6 |- / = (/r ` ℂfld )
21		cnfld1 19771	. . . . . 6 |- 1 = ( 1r ` ℂfld )
22	18, 19, 20, 21, 10	ringinvdv 18694	. . . . 5 |- ( (ℂfld e. Ring /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( ( invr ` ℂfld ) ` x ) = ( 1 / x ) )
23	13, 17, 22	sylancr 695	. . . 4 |- ( x e. ( A \ { 0 } ) -> ( ( invr ` ℂfld ) ` x ) = ( 1 / x ) )
24		eldifsn 4317	. . . . 5 |- ( x e. ( A \ { 0 } ) <-> ( x e. A /\ x =/= 0 ) )
25		cnsubrglem.6	. . . . 5 |- ( ( x e. A /\ x =/= 0 ) -> ( 1 / x ) e. A )
26	24, 25	sylbi 207	. . . 4 |- ( x e. ( A \ { 0 } ) -> ( 1 / x ) e. A )
27	23, 26	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( x e. ( A \ { 0 } ) -> ( ( invr ` ℂfld ) ` x ) e. A )
28	12, 27	mprgbir 2927	. 2 |- (ℂfld ↾s A ) e. DivRing
29	6, 28	pm3.2i 471	1 |- ( A e. (SubRing ` ℂfld ) /\ (ℂfld ↾s A ) e. DivRing )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   \ cdif 3571   C_ wss 3574   {csn 4177   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   -ucneg 10267   / cdiv 10684   ↾_s cress 15858   Ringcrg 18547   invrcinvr 18671   DivRingcdr 18747  SubRingcsubrg 18776  ℂ_fldccnfld 19746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-subg 17591  df-cmn 18195  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-drng 18749  df-subrg 18778  df-cnfld 19747

This theorem is referenced by:  qsubdrg  19798  resubdrg  19954