Theorem dchr1cl 24976

Description: Closure of the principal Dirichlet character. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrmhm.g	|- G = (DChr ` N )
dchrmhm.z	|- Z = (ℤ/nℤ ` N )
dchrmhm.b	|- D = ( Base ` G )
dchrn0.b	|- B = ( Base ` Z )
dchrn0.u	|- U = (Unit ` Z )
dchr1cl.o	|- .1. = ( k e. B |-> if ( k e. U , 1 , 0 ) )
dchr1cl.n	|- ( ph -> N e. NN )

Assertion

Ref	Expression
dchr1cl	|- ( ph -> .1. e. D )

Distinct variable groups:   B, k   U, k   k, N   ph, k   k, Z

Allowed substitution hints:   D( k)   .1. ( k)   G( k)

Proof of Theorem dchr1cl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchr1cl.o	. 2 |- .1. = ( k e. B |-> if ( k e. U , 1 , 0 ) )
2		dchrmhm.g	. . 3 |- G = (DChr ` N )
3		dchrmhm.z	. . 3 |- Z = (ℤ/nℤ ` N )
4		dchrn0.b	. . 3 |- B = ( Base ` Z )
5		dchrn0.u	. . 3 |- U = (Unit ` Z )
6		dchr1cl.n	. . 3 |- ( ph -> N e. NN )
7		dchrmhm.b	. . 3 |- D = ( Base ` G )
8		eqidd 2623	. . 3 |- ( k = x -> 1 = 1 )
9		eqidd 2623	. . 3 |- ( k = y -> 1 = 1 )
10		eqidd 2623	. . 3 |- ( k = ( x ( .r ` Z ) y ) -> 1 = 1 )
11		eqidd 2623	. . 3 |- ( k = ( 1r ` Z ) -> 1 = 1 )
12		1cnd 10056	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> 1 e. CC )
13		1t1e1 11175	. . . . 5 |- ( 1 x. 1 ) = 1
14	13	eqcomi 2631	. . . 4 |- 1 = ( 1 x. 1 )
15	14	a1i 11	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> 1 = ( 1 x. 1 ) )
16		eqidd 2623	. . 3 |- ( ph -> 1 = 1 )
17	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16	dchrelbasd 24964	. 2 |- ( ph -> ( k e. B |-> if ( k e. U , 1 , 0 ) ) e. D )
18	1, 17	syl5eqel 2705	1 |- ( ph -> .1. e. D )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   ifcif 4086   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   NNcn 11020   Basecbs 15857   .rcmulr 15942   1rcur 18501  Unitcui 18639  ℤ/nℤczn 19851  DChrcdchr 24957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-imas 16168  df-qus 16169  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-nsg 17592  df-eqg 17593  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-lidl 19174  df-rsp 19175  df-2idl 19232  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zn 19855  df-dchr 24958

This theorem is referenced by:  dchrmulid2  24977  dchrabl  24979  dchr1  24982