Theorem dp2lt 29592

Description: Comparing two decimal fractions (equal unit places). (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dp2lt.a	|- A e. NN0
dp2lt.b	|- B e. RR+
dp2lt.c	|- C e. RR+
dp2lt.l	|- B < C

Assertion

Ref	Expression
dp2lt	|- _ A B < _ A C

Proof of Theorem dp2lt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpssre 11843	. . . . . 6 |- RR+ C_ RR
2		dp2lt.b	. . . . . 6 |- B e. RR+
3	1, 2	sselii 3600	. . . . 5 |- B e. RR
4		10re 11517	. . . . 5 |- ; 1 0 e. RR
5		0re 10040	. . . . . 6 |- 0 e. RR
6		10pos 11515	. . . . . 6 |- 0 < ; 1 0
7	5, 6	gtneii 10149	. . . . 5 |- ; 1 0 =/= 0
8		redivcl 10744	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ ; 1 0 e. RR /\ ; 1 0 =/= 0 ) -> ( B / ; 1 0 ) e. RR )
9	3, 4, 7, 8	mp3an 1424	. . . 4 |- ( B / ; 1 0 ) e. RR
10		dp2lt.c	. . . . . 6 |- C e. RR+
11	1, 10	sselii 3600	. . . . 5 |- C e. RR
12		redivcl 10744	. . . . 5 |- ( ( C e. RR /\ ; 1 0 e. RR /\ ; 1 0 =/= 0 ) -> ( C / ; 1 0 ) e. RR )
13	11, 4, 7, 12	mp3an 1424	. . . 4 |- ( C / ; 1 0 ) e. RR
14		dp2lt.a	. . . . 5 |- A e. NN0
15	14	nn0rei 11303	. . . 4 |- A e. RR
16	9, 13, 15	3pm3.2i 1239	. . 3 |- ( ( B / ; 1 0 ) e. RR /\ ( C / ; 1 0 ) e. RR /\ A e. RR )
17		dp2lt.l	. . . 4 |- B < C
18	4, 6	pm3.2i 471	. . . . 5 |- (; 1 0 e. RR /\ 0 < ; 1 0 )
19		ltdiv1 10887	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR /\ (; 1 0 e. RR /\ 0 < ; 1 0 ) ) -> ( B < C <-> ( B / ; 1 0 ) < ( C / ; 1 0 ) ) )
20	3, 11, 18, 19	mp3an 1424	. . . 4 |- ( B < C <-> ( B / ; 1 0 ) < ( C / ; 1 0 ) )
21	17, 20	mpbi 220	. . 3 |- ( B / ; 1 0 ) < ( C / ; 1 0 )
22		axltadd 10111	. . . 4 |- ( ( ( B / ; 1 0 ) e. RR /\ ( C / ; 1 0 ) e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( B / ; 1 0 ) < ( C / ; 1 0 ) -> ( A + ( B / ; 1 0 ) ) < ( A + ( C / ; 1 0 ) ) ) )
23	22	imp 445	. . 3 |- ( ( ( ( B / ; 1 0 ) e. RR /\ ( C / ; 1 0 ) e. RR /\ A e. RR ) /\ ( B / ; 1 0 ) < ( C / ; 1 0 ) ) -> ( A + ( B / ; 1 0 ) ) < ( A + ( C / ; 1 0 ) ) )
24	16, 21, 23	mp2an 708	. 2 |- ( A + ( B / ; 1 0 ) ) < ( A + ( C / ; 1 0 ) )
25		df-dp2 29578	. 2 |- _ A B = ( A + ( B / ; 1 0 ) )
26		df-dp2 29578	. 2 |- _ A C = ( A + ( C / ; 1 0 ) )
27	24, 25, 26	3brtr4i 4683	1 |- _ A B < _ A C

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   / cdiv 10684   NN0cn0 11292  ;cdc 11493   RR+crp 11832  _cdp2 29577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-dec 11494  df-rp 11833  df-dp2 29578

This theorem is referenced by:  dplt  29612  hgt750lem2  30730