Theorem dpfrac1 29599

Description: Prove a simple equivalence involving the decimal point. See df-dp 29596 and dpcl 29598. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dpfrac1	|- ( ( A e. NN0 /\ B e. RR ) -> ( A period B ) = (; A B / ; 1 0 ) )

Proof of Theorem dpfrac1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dp2 29578	. 2 |- _ A B = ( A + ( B / ; 1 0 ) )
2		dpval 29597	. 2 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. RR ) -> ( A period B ) = _ A B )
3		nn0cn 11302	. . 3 |- ( A e. NN0 -> A e. CC )
4		recn 10026	. . 3 |- ( B e. RR -> B e. CC )
5		dfdec10 11497	. . . . 5 |- ; A B = ( (; 1 0 x. A ) + B )
6	5	oveq1i 6660	. . . 4 |- (; A B / ; 1 0 ) = ( ( (; 1 0 x. A ) + B ) / ; 1 0 )
7		10re 11517	. . . . . . . . 9 |- ; 1 0 e. RR
8	7	recni 10052	. . . . . . . 8 |- ; 1 0 e. CC
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ; 1 0 e. CC )
10		id 22	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> A e. CC )
11	9, 10	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> (; 1 0 x. A ) e. CC )
12		10pos 11515	. . . . . . . . 9 |- 0 < ; 1 0
13	7, 12	gt0ne0ii 10564	. . . . . . . 8 |- ; 1 0 =/= 0
14	8, 13	pm3.2i 471	. . . . . . 7 |- (; 1 0 e. CC /\ ; 1 0 =/= 0 )
15		divdir 10710	. . . . . . 7 |- ( ( (; 1 0 x. A ) e. CC /\ B e. CC /\ (; 1 0 e. CC /\ ; 1 0 =/= 0 ) ) -> ( ( (; 1 0 x. A ) + B ) / ; 1 0 ) = ( ( (; 1 0 x. A ) / ; 1 0 ) + ( B / ; 1 0 ) ) )
16	14, 15	mp3an3 1413	. . . . . 6 |- ( ( (; 1 0 x. A ) e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( (; 1 0 x. A ) + B ) / ; 1 0 ) = ( ( (; 1 0 x. A ) / ; 1 0 ) + ( B / ; 1 0 ) ) )
17	11, 16	sylan 488	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( (; 1 0 x. A ) + B ) / ; 1 0 ) = ( ( (; 1 0 x. A ) / ; 1 0 ) + ( B / ; 1 0 ) ) )
18		divcan3 10711	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ ; 1 0 e. CC /\ ; 1 0 =/= 0 ) -> ( (; 1 0 x. A ) / ; 1 0 ) = A )
19	8, 13, 18	mp3an23 1416	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( (; 1 0 x. A ) / ; 1 0 ) = A )
20	19	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( (; 1 0 x. A ) / ; 1 0 ) + ( B / ; 1 0 ) ) = ( A + ( B / ; 1 0 ) ) )
21	20	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( (; 1 0 x. A ) / ; 1 0 ) + ( B / ; 1 0 ) ) = ( A + ( B / ; 1 0 ) ) )
22	17, 21	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( (; 1 0 x. A ) + B ) / ; 1 0 ) = ( A + ( B / ; 1 0 ) ) )
23	6, 22	syl5eq 2668	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> (; A B / ; 1 0 ) = ( A + ( B / ; 1 0 ) ) )
24	3, 4, 23	syl2an 494	. 2 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. RR ) -> (; A B / ; 1 0 ) = ( A + ( B / ; 1 0 ) ) )
25	1, 2, 24	3eqtr4a 2682	1 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. RR ) -> ( A period B ) = (; A B / ; 1 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   / cdiv 10684   NN0cn0 11292  ;cdc 11493  _cdp2 29577   periodcdp 29595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-dec 11494  df-dp2 29578  df-dp 29596

This theorem is referenced by: (None)